تفتح نظرية المجال الكمومي لغزًا رياضيًا

الشهر الماضي، كارين فوجتمان و مايكل بورينسكي نشر دليل أن هناك حمولة شاحنة من البنية الرياضية داخل عالم رياضي لا يمكن الوصول إليه حتى الآن يسمى مساحة وحدات الرسوم البيانية ، والتي قام فوغتمان وزملاؤها وصف لأول مرة في منتصف 1980.

"هذه مشكلة صعبة للغاية. قال دان مارغاليت ، عالم الرياضيات في معهد جورجيا للتكنولوجيا ، إنه لأمر مدهش أنهم تمكنوا من ذلك.

بدأ فوغتمان وبورينسكي بأسئلة لطالما كانت فوغتمان ، عالمة الرياضيات بجامعة وارويك ، تطرحها على نفسها منذ عقود. ثم أعاد الزوجان تصور المسألة في لغة الفيزياء ، باستخدام تقنيات من نظرية المجال الكمومي للتوصل إلى نتيجتهما.

يوضح الدليل وجود بعض الهياكل في فضاء النماذج ، لكنه لا يكشف صراحة عن ماهية تلك الهياكل. وبهذه الطريقة ، تكون نتيجتهم الجديدة أشبه بجهاز الكشف عن المعادن أكثر من كونها كاميرا - فهي تنبههم إلى وجود شيء مثير للاهتمام يختبئ ، على الرغم من أنهم لا يستطيعون وصفه بشكل كامل.

يمكنك التفكير في المساحات المعيارية للرسوم البيانية كأشكال رياضية مع زخرفة إضافية. إذا وقفت في أي نقطة على الشكل ، فسترى رسمًا بيانيًا يطفو فوقك - مجموعة من النقاط ، أو القمم ، متصلة بواسطة الحواف. في مواقع مختلفة في فضاء معياري ، تتغير الرسوم البيانية ، وتتقلص حوافها أو تنمو ، وأحيانًا تختفي تمامًا. بسبب هذه الميزات ، يصف بورينسكي ، عالم الفيزياء الرياضية في المعهد الفيدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ ، المساحات المعيارية بأنها "بحر كبير من الرسوم البيانية".

"ترتيب" الرسم البياني هو عدد الحلقات التي يحتوي عليها ؛ لكل رتبة من الرسوم البيانية ، توجد مساحة معيارية. ينمو حجم هذه المساحة بسرعة - إذا قمت بإصلاح أطوال حواف الرسم البياني ، فهناك ثلاثة رسوم بيانية من الرتبة 2 ، و 15 من المرتبة 3 ، و 111 من المرتبة 4 ، و 2,314,204,852 من المرتبة 10. في مساحة النماذج ، يمكن لهذه الأطوال تتنوع ، مقدمة تعقيدًا أكثر.

يتم تحديد شكل مساحة النماذج للرسوم البيانية من رتبة معينة من خلال العلاقات بين الرسوم البيانية. أثناء تجولك في الفضاء ، يجب أن تكون الرسوم البيانية القريبة متشابهة ، ويجب أن تتحول بسلاسة إلى بعضها البعض. لكن هذه العلاقات معقدة ، مما يترك مساحة المعيارية بسمات مقلقة رياضيًا ، مثل المناطق التي تمر فيها ثلاثة جدران من مساحة النماذج عبر بعضها البعض.

يمكن لعلماء الرياضيات دراسة بنية الفضاء أو الشكل باستخدام كائنات تسمى فئات cohomology ، والتي يمكن أن تساعد في الكشف عن كيفية تجميع الفضاء معًا. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك أحد الأشكال المفضلة لعلماء الرياضيات ، الدونات. على الدونات ، فصول علم التعايش هي مجرد حلقات.

يمكن للمرء رسم عدة أنواع مختلفة من الحلقات على سطح الكعكة: الحلقة 1 تحيط بالفتحة المركزية للعجين ؛ حلقة 2 خيوط من خلال الفتحة ؛ الحلقة الثالثة "التافهة" تقع على جانب العجين.

ومع ذلك ، لم يتم إنشاء جميع فئات علم التعايش على قدم المساواة. يمكن للحلقة الموجودة على الجزء الخارجي من الدونات - مثل الحلقة الثالثة - أن تنزلق أو تتقلص دائمًا لتجنب تقاطع حلقة أخرى. وهذا يجعلها فئة "تافهة" من علم التعايش.

لكن الحلقتين 1 و 2 تتحدثان أكثر عن هيكل الدونات - فهي موجودة فقط بسبب الفتحة. وأوضح مارغاليت أنه لتمييز الاختلاف رياضيًا ، يمكنك استخدام التقاطعات. يمكن أن تنزلق الحلقتان 1 و 2 على سطح الكعكة ، لكن ما لم تجبرهما على الانفصال عن السطح تمامًا ، فسيتقاطعان دائمًا مع بعضهما البعض. نظرًا لأن هاتين الحلقتين تأتيان مع شركاء لا يسعهم إلا عبورهما ، فإنهما عبارة عن فصول مشتركة "غير بديهية".

على عكس الدونات ، لا يمكن لعلماء الرياضيات العثور على فصول علم التعايش على المساحات المعيارية للرسوم البيانية فقط من خلال رسم صورة. قالت ناتالي وال ، عالمة الرياضيات بجامعة كوبنهاغن ، إنه مع وجود هذه الأعداد الهائلة من الرسوم البيانية ، يصعب التعامل مع فضاءات النماذج. قالت: "بسرعة كبيرة ، لم يعد الكمبيوتر قادرًا على المساعدة". في الواقع ، لم يكن هناك سوى فئة واحدة فقط من علم التعايش المشترك غير التافه محسوبة صراحة (في 11 بُعدًا) ، إلى جانب عدد قليل من الأبعاد المتساوية.

ما أثبته فوغتمان وبورينسكي هو أن هناك عددًا هائلاً من فئات علم التعايش التي تقع ضمن مساحة نماذج الرسوم البيانية لرتبة معينة - على الرغم من أننا لا نستطيع العثور عليها. قال وال: "نحن نعلم أن هناك أطنانًا ، ونعرف واحدًا" ، واصفًا الحالة بـ "السخيفة".

بدلاً من العمل مع فصول علم التعايش بشكل مباشر ، درس بورينسكي وفوغتمان رقمًا يسمى خاصية أويلر. يوفر هذا الرقم نوعًا من قياس مساحة الوحدات. يمكنك تعديل مساحة النماذج بطرق معينة دون تغيير خاصية أويلر الخاصة بها ، مما يجعل خاصية أويلر أكثر سهولة من فئات علم المجتمع نفسها. وهذا ما فعله بورينسكي وفوغتمان. وبدلاً من العمل مع فضاء وحدات الرسوم البيانية مباشرة ، قاموا بدراسة "العمود الفقري" - وهو في الأساس هيكل عظمي للفضاء الكلي. يحتوي العمود الفقري على نفس خاصية أويلر مثل مساحة النموذج نفسه ويسهل التعامل معه. جاء حساب خاصية أويلر على العمود الفقري لعد مجموعة كبيرة من أزواج الرسوم البيانية.

كانت رؤية بورينسكي هي استخدام تقنيات لحساب مخططات فاينمان ، وهي رسوم بيانية تمثل طرق تفاعل الجسيمات الكمومية. عندما يريد الفيزيائيون حساب ، على سبيل المثال ، احتمالات أن ينتج عن تصادم بين إلكترون وبوزيترون فوتونين ، فإنهم بحاجة إلى تلخيص جميع التفاعلات الممكنة التي أدت إلى تلك النتيجة. هذا يعني حساب المتوسط ​​على العديد من مخططات Feynman ، وتحفيز استراتيجيات العد الذكية.

أوضح بورينسكي: "أدركت أنه يمكن للمرء صياغة هذا النوع من المشاكل كنوع من كون لعبة نظرية المجال الكمومي".

تخيل بورينسكي الرسوم البيانية على أنها تمثل الأنظمة الفيزيائية في نسخة بسيطة من الكون ، أحدها ، من بين افتراضات أخرى ، هناك نوع واحد فقط من الجسيمات. احتاج إطار نظرية المجال الكمومي إلى بعض التعديل من أجل Borinsky و Vogtmann للحصول على العدد الصحيح. على سبيل المثال ، في نظرية المجال الكمومي ، لا يمكن التمييز بين رسمين بيانيين يمثلان صورًا معكوسة لبعضهما البعض ، كما قال بورينسكي. تتضمن صيغ جمع مخططات Feynman عوامل تضمن عدم تجاوز هذه الرسوم البيانية. ولكن عندما يتعلق الأمر بحساب خاصية أويلر ، فإن هذه الرسوم البيانية تعتبر مختلفة. قال بورينسكي: "علينا أن نلعب لعبة صغيرة مع تناسقات الرسوم البيانية".

مع بعض البرمجة بمساعدة من الفيزيائي جوس فيرماسيرينو Borinsky و Vogtmann تغلبوا أخيرًا على هذه الصعوبة. في ورقتهم البحثية في يناير ، أثبتوا أن أويلر خاصية فضاء وحدات الرسوم البيانية للرتبة n يصبح سلبيًا بشكل كبير n يحصل على أكبر. هذا يعني أن هناك العديد من فئات علم التعايش غير التافهة التي يجب الكشف عنها داخل كل مساحة معيارية.

على الرغم من أن ورقة بورينسكي وفوغتمان لا تحتوي على أي تلميحات أخرى حول فئات علم التعايش ، إلا أنها نتيجة مشجعة للباحثين الذين يسعون للعثور عليها - وربما تضيف إلى إثارة البحث. قال مارغاليت من فصول علم التعايش: "هؤلاء الذين نعرفهم ليسوا سوى هذه الأحجار الكريمة. وفي كل مرة نجد واحدة ، إنه هذا الشيء الجميل ".