لماذا يعيد علماء الرياضيات إثبات ما يعرفونه بالفعل

الدليل الأول الذي تعلمه الكثير من الناس ، في وقت مبكر من المدرسة الثانوية ، هو دليل عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية. لا يتطلب الأمر سوى بضعة أسطر ولا يستخدم أي مفاهيم أكثر تعقيدًا من الأعداد الصحيحة والضرب.

يعتمد دليله على حقيقة أنه إذا كان هناك عدد محدود من الأعداد الأولية ، فإن ضربهم جميعًا معًا وإضافة 1 يعني وجود عدد أولي آخر. هذا التناقض يعني أن الأعداد الأولية يجب أن تكون لانهائية.

يمتلك علماء الرياضيات هواية شائعة بشكل مثير للفضول: إثبات ذلك مرارًا وتكرارًا.

لماذا تهتم بفعل هذا؟ لسبب واحد ، إنه ممتع. والأهم من ذلك ، "أعتقد أن الخط الفاصل بين الرياضيات الترفيهية والرياضيات الجادة ضعيف جدًا" وليام جاسارخ، أستاذ علوم الكمبيوتر بجامعة ماريلاند ومؤلف دليل جديد نشرت على الإنترنت في وقت سابق من هذا العام.

إن إثبات جاسارش ليس سوى الأحدث في سلسلة طويلة من البراهين الجديدة. في 2018 ، روميو ميتروفيتش من جامعة مونتينيغرو جمعت ما يقرب من 200 دليل على نظرية إقليدس في أ مسح تاريخي شامل. في الواقع ، المجال الكامل لنظرية الأعداد التحليلية ، التي تستخدم كميات متغيرة باستمرار لدراسة الأعداد الصحيحة ، يمكن القول في عام 1737 ، عندما استخدم عملاق الرياضيات ليونارد أويلر حقيقة أن السلسلة اللانهائية 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... تتباعد (بمعنى أنها لا تصل إلى عدد محدد) ، لإثبات وجود عدد لا حصر له من الأعداد الأولية.

كريستيان الشولتز، عالم رياضيات في جامعة غراتس للتكنولوجيا في النمسا ومؤلف دليل آخر حديث، قال إنه بدلاً من إثبات النتائج الصعبة من العديد من النتائج الأصغر - ما يفعله علماء الرياضيات عندما يقومون بشكل منهجي بتجميع lemmas في نظريات - فعل العكس. "أستخدم نظرية فيرما الأخيرة ، وهي في الحقيقة نتيجة غير بديهية. وبعد ذلك أخلص إلى نتيجة بسيطة للغاية ". قال إن العمل للخلف مثل هذا يمكن أن يكشف عن روابط خفية بين مجالات مختلفة من الرياضيات.

قال "هناك القليل من المنافسة هناك للناس ليكون لديهم الدليل الأكثر صعوبة يبعث على السخرية" أندرو جرانفيل، عالم رياضيات في جامعة مونتريال ومؤلف من اثنان البراهين الأخرى. "يجب أن تكون مسلية. إن القيام بشيء فظيع من الناحية الفنية ليس هو الهدف. الطريقة الوحيدة التي تريد بها القيام بشيء صعب هي أنه مسلي ".

قال جرانفيل أن هناك نقطة جدية لهذه المهارة الودية. لا يُطعم الباحثون فقط الأسئلة التي يحاولون حلها. "لا تتعلق عملية الخلق في الرياضيات ، كل ما عليك هو تعيين مهمة إلى آلة وتحلها الآلة. يتعلق الأمر بشخص ما أخذ ما فعلوه في الماضي واستخدام ذلك لخلق أسلوب وخلق طريقة لتطوير الأفكار ".

كما قال غاسارخ ، "كل الأوراق ، تنقسم من دليل جديد لطيف على أن الأعداد الأولية لانهائية في الرياضيات الجادة. في أحد الأيام كنت تنظر فقط إلى الأعداد الأولية ، وفي اليوم التالي تنظر إلى كثافات المربعات ".

يبدأ إثبات جاسارخ بحقيقة أنه إذا قمت بتلوين الأعداد الصحيحة بعدد محدود من الألوان ، فسيكون هناك دائمًا زوج من الأرقام بنفس اللون ومجموعهما هو أيضًا اللون ، والذي كان ثبت في عام 1916 بواسطة إيساي شور. استخدم غاسارخ نظرية شور لإظهار أنه إذا كان هناك عدد محدود من الأعداد الأولية ، فسيكون هناك مكعب كامل (عدد صحيح ، مثل 125 ، يساوي عددًا صحيحًا آخر مضروبًا في نفسه ثلاث مرات) أي مجموع اثنين مكعبات أخرى مثالية. لكن في عام 1770 ، أثبت أويلر عدم وجود مثل هذا المكعب - n = 3 حالة من نظرية فيرما الأخيرة ، والتي تفترض أنه لا توجد حلول صحيحة لها aⁿ + bⁿ = cⁿ For n أكبر من 2. بناءً على هذا التناقض ، استنتج جاسارش أنه يجب أن يكون هناك عدد لا نهائي من الأعداد الأولية.

استخدم أحد براهين جرانفيل لعام 2017 نظرية مختلفة عن نظرية فيرمات. اعتمدت جرانفيل بشكل أساسي على أ 1927 نظرية بواسطة Bartel Leendert van der Waerden ، والذي أظهر أنه إذا قمت بتلوين الأعداد الصحيحة بعدد محدود من الألوان ، فهناك دائمًا سلاسل طويلة عشوائية من الأعداد الصحيحة المتباعدة بالتساوي مع نفس اللون. مثل جاسارخ ، بدأ جرانفيل بافتراض أن الأعداد الأولية محدودة. ثم استخدم نظرية فان دير وايردن لإيجاد سلسلة من أربعة مربعات كاملة متباعدة بشكل متساوٍ وذات ألوان متطابقة. لكن فيرمات أثبت أنه لا يمكن أن يوجد مثل هذا التسلسل. تناقض! نظرًا لأن مثل هذا التسلسل يمكن أن يوجد إذا كان هناك عدد محدود من الأعداد الأولية ، لكنه لا يمكن أن يكون موجودًا ، يجب أن يكون هناك عدد لا حصر له من الأعداد الأولية. كان دليل جرانفيل هو ثاني دليل رئيسي حديث يعتمد على نظرية فان دير ويردين - ليفينت ألبوج، وهو الآن باحث ما بعد الدكتوراة في جامعة هارفارد ، استخدم أيضًا النتيجة في a ورقة 2015تم نشره بينما كان لا يزال في الكلية.

جرانفيل هو معجب بشكل خاص بورقة Elsholtz ، والتي تطبق أيضًا نظرية فيرما الأخيرة والافتراض المضاد بأن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الأولية. مثل Gasarch ، دمج Elsholtz نظرية شور ، وإن كان بطريقة مختلفة نوعًا ما. أعطى Elsholtz أيضًا دليلًا ثانيًا باستخدام a 1953 نظرية كلاوس روث، والتي تنص على أن مجموعات الأعداد الصحيحة التي تزيد عن حجم معين يجب أن تحتوي على مجموعات من ثلاثة أرقام متباعدة بشكل متساوٍ.

يمكن الإجابة على بعض الأسئلة الرياضية الأعمق - وحتى العملية - من خلال البناء على هذا العمل. على سبيل المثال ، سيكون من السهل جدًا كسر تشفير المفتاح العام الذي يعتمد على صعوبة تحليل أعداد كبيرة إذا كنا نعيش في عالم به عدد كبير من الأعداد الأولية. يتساءل Elsholtz عما إذا كان يمكن أن يكون هناك بالتالي بعض الصلة بين البراهين على عدد لانهائي من الأعداد الأولية وإثبات مدى صعوبة كسر مخططات التشفير هذه. قال Elsholtz "هناك صلة ضعيفة بنظرية إقليدس". "سيكون من المثير للاهتمام رؤية الروابط الأعمق."

قال جرانفيل إن أفضل الرياضيات يمكن أن تنمو من مجموعات غريبة من مجالات وموضوعات مختلفة ، وغالبًا ما تظهر بعد أن أمضى علماء الرياضيات سنوات في التفكير في مسائل ذات مستوى أدنى ولكنها مسلية. إنه مفتون بحقيقة أن الموضوعات التي تبدو بعيدة يمكن تطبيقها على نظرية الأعداد. في دراسة استقصائية حديثة ، أشاد Granville بـ "الأناقة المتناثرة" لـ a 1955 برهان هيليل فورستنبرغ، والتي تستخدم طوبولوجيا مجموعة النقاط. مثل Alpöge ، كان فورستنبرغ لا يزال في الكلية عندما تم نشر إثباته. سوف يذهب إلى مهنة لامعة في مجموعة متنوعة من التخصصات الرياضية.

سأل جرانفيل خطابيًا عما إذا كانت البراهين الجديدة للنتيجة القديمة لإقليدس هي "مجرد فضول أو شيء له بعض الأهمية على المدى الطويل." قال ردا على سؤاله: "لا أستطيع إخبارك".