ভূমিকা
এই বছরের শুরুর দিকে, গণিতবিদদের একটি ত্রয়ী লেবুকে লেবুপানে তৈরি করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে — এবং তৈরি করা শেষ হয়েছে প্রধান অগ্রগতি একটি সমস্যা যা গণিতবিদরা শতাব্দী ধরে চিন্তা করছেন।
তিনজন মাত্র একটি প্রজেক্ট শেষ করছিলেন এবং পরবর্তী পদক্ষেপের কথা ভাবছিলেন, যখন মার্চের শেষ দিকে, তাদের মধ্যে দুজন— Levent Alpöge হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের এবং আরি শ্নিদমান জেরুজালেমের হিব্রু ইউনিভার্সিটি - আলাদাভাবে কিন্তু প্রায় একই সময়ে কোভিড-১৯ সংক্রামিত হয়েছে। এমন পরিস্থিতিতে অনেকেই বিরতি নেবে, কিন্তু তৃতীয় দলের সদস্য, মঞ্জুল ভার্গব প্রিন্সটন বিশ্ববিদ্যালয়ের, বিপরীত প্রস্তাব. তাদের সাপ্তাহিক জুম মিটিংগুলিকে সপ্তাহে তিন বা চারবার বাড়িয়ে দেওয়া, তিনি পরামর্শ দিয়েছিলেন, তার অসুস্থ সহযোগীদের তাদের লক্ষণগুলি থেকে বিভ্রান্ত করতে পারে। কোয়ারেন্টাইন, তিনজন সিদ্ধান্ত নিয়েছিল, অবাধ চিন্তা করার সুযোগ হতে পারে।
এই বৈঠকের সময়, তারা সংখ্যা তত্ত্বের প্রাচীনতম প্রশ্নগুলির মধ্যে একটি বিবেচনা করেছিল: দুটি ঘনক ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে কয়টি পূর্ণসংখ্যা লেখা যেতে পারে, বা, গণিতবিদরা তাদের মূলদ সংখ্যা বলে? 6 নম্বর, উদাহরণস্বরূপ, হিসাবে লেখা যেতে পারে (17/21)3 + (37/21)3, যখন 13 = (7/3)3+(2/3)3.
গণিতবিদরা কয়েক দশক ধরে সন্দেহ করেছেন যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার অর্ধেক এভাবে লেখা যেতে পারে। বিজোড় এবং জোড় সংখ্যার মতোই, এই বৈশিষ্ট্যটি পূর্ণ সংখ্যাকে দুটি সমান শিবিরে বিভক্ত করে বলে মনে হচ্ছে: যেগুলি দুটি ঘনকের যোগফল, এবং যেগুলি নয়।
কিন্তু কেউই এটি প্রমাণ করতে পারেনি, এমনকি প্রতিটি শিবিরে পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে কোনো সীমানাও দিতে পারেনি। যতদূর গণিতবিদরা জানতেন, যৌক্তিক ঘনকগুলির যোগফল নিয়ে গঠিত শিবিরটি অদৃশ্যভাবে ছোট হতে পারে - অথবা এতে প্রায় প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যা থাকতে পারে। গণিতবিদ গণনা করেছেন যে, যদি বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমান নামক কিছু সত্য হয় (যেমনটি ব্যাপকভাবে বিশ্বাস করা হয়), 59 মিলিয়ন পর্যন্ত সংখ্যার প্রায় 10% হল দুটি মূলদ কিউবের সমষ্টি। কিন্তু এই ধরনের ডেটা, সর্বোত্তমভাবে, বাকি নম্বর লাইনগুলি কীভাবে আচরণ করতে পারে সে সম্পর্কে ইঙ্গিত দিতে পারে।
বিজোড় এবং জোড় সংখ্যার বিপরীতে, "এই দুটি শিবির সূক্ষ্ম," বলেছেন ব্যারি মাজুর হার্ভার্ড এর। কোন সংখ্যাগুলি কোন ক্যাম্পের অন্তর্গত তা নির্ধারণ করার জন্য কোন পরীক্ষা নেই যা সমস্ত সংখ্যার জন্য কাজ করে। গণিতবিদরা এমন পরীক্ষা নিয়ে এসেছেন যা শক্তিশালী প্রার্থী, কিন্তু এখন প্রত্যেকেরই কিছু ত্রুটি রয়েছে — হয় গণিতবিদরা প্রমাণ করতে পারেন না যে পরীক্ষা সর্বদা একটি সিদ্ধান্তে পৌঁছাবে, অথবা তারা প্রমাণ করতে পারে না যে উপসংহারটি সঠিক।
ঘনক্ষেত্রের যোগফল এবং ঘন সমীকরণগুলি আরও সাধারণভাবে বোঝার অসুবিধা হল "সংখ্যা তাত্ত্বিকদের জন্য একটি পুনরাবৃত্তি বিব্রতকর বিষয়," ভার্গব বলেছিলেন। সে ফিল্ডস মেডেল জিতেছেন জন্য অংশ 2014 সালে যুক্তিসঙ্গত সমাধান নিয়ে তার কাজ উপবৃত্তাকার বক্ররেখা হিসাবে পরিচিত ঘন সমীকরণে, যার মধ্যে দুটি ঘনকের যোগফল একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।
এখন একটি কাগজ অক্টোবরের শেষের দিকে অনলাইনে পোস্ট করা, Alpöge, ভার্গব এবং Shnidman দেখিয়েছেন যে কমপক্ষে 2/21 (প্রায় 9.5%) এবং সর্বাধিক 5/6 (প্রায় 83%) পূর্ণ সংখ্যা দুটি ঘন ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে।
ঘনক্ষেত্রের সমষ্টির প্রশ্নটি কেবল একটি কৌতূহল নয়। উপবৃত্তাকার বক্ররেখাগুলির একটি সমৃদ্ধভাবে জটিল কাঠামো রয়েছে যা তাদের বিশুদ্ধ এবং প্রয়োগকৃত উভয় গণিতের অনেক ক্ষেত্রের কেন্দ্রে নিয়ে গেছে, উল্লেখযোগ্যভাবে ক্রিপ্টোগ্রাফারদের শক্তিশালী সাইফার তৈরি করতে সক্ষম করে। দ্য বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমান, ক্ষেত্রের কেন্দ্রীয় প্রশ্ন, ক্লে ম্যাথমেটিক্স ইনস্টিটিউটের মিলেনিয়াম প্রাইজ সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হিসাবে তার মাথায় $1 মিলিয়ন পুরস্কার রয়েছে।
নতুন কাজটি ভার্গব বিগত 20 বছরে সহযোগীদের সাথে বিকশিত সরঞ্জামগুলির একটি সেট তৈরি করে পুরো পরিবার অন্বেষণ উপবৃত্তাকার বক্ররেখার। দুটি কিউবের যোগফল বোঝার অর্থ হল একটি অনেক ছোট পরিবার বিশ্লেষণ করা, এবং "পরিবার যত ছোট হবে, সমস্যা তত কঠিন," বলেছেন পিটার সারনাক প্রিন্সটনের ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডির।
এই বিশেষ পরিবারটিকে "নাগালের বাইরে" বলে মনে হচ্ছে, সারনাক যোগ করেছেন। "আমি বলতাম, 'এটা খুব কঠিন মনে হচ্ছে, খুব কঠিন'"
একটি ফেজ ট্রানজিশন
ঘনক ভগ্নাংশের যোগফলের বিপরীতে, যা প্রচুর বলে মনে হয়, খুব কমই কোনো পূর্ণসংখ্যাই দুটি বর্গ ভগ্নাংশের সমষ্টি। 1600-এর দশকের গোড়ার দিকে, গণিতবিদ আলবার্ট গিরার্ড এবং পিয়েরে ডি ফার্মাট একটি সাধারণ পরীক্ষা বের করেছিলেন যে কোন পূর্ণ সংখ্যা দুটি বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি: আপনার সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যায় নির্ণয় করুন, তারপর প্রতিটি মৌলিকের সূচক পরীক্ষা করুন যার অবশিষ্ট 3 আছে। যখন আপনি এটিকে 4 দ্বারা ভাগ করেন। যদি এই সূচকগুলি সবগুলো জোড় হয়, আপনার সংখ্যাটি দুটি বর্গ ভগ্নাংশের সমষ্টি; অন্যথায়, এটা না। উদাহরণস্বরূপ, 490 এর মধ্যে 2 গুণনীয়ক1 । 51 । 72. এই গুণনীয়কগুলির মধ্যে একমাত্র যেটির 3 অবশিষ্ট থাকে যখন আপনি 4 দিয়ে ভাগ করেন তখন 7, এবং 7 এর একটি জোড় সূচক থাকে। অতএব, 490 হল দুটি বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি (জিজ্ঞাসুদের জন্য, এটি 7 এর সমান2 + + 212).
সংখ্যার সিংহভাগ সংখ্যাই সম-ঘটনা পরীক্ষায় ব্যর্থ হয়। আপনি যদি এলোমেলোভাবে একটি পূর্ণ সংখ্যা বাছাই করেন, তাহলে সম্ভাব্যতা যে এটি দুটি বর্গ ভগ্নাংশের সমষ্টি মূলত শূন্য। গণিতবিদরা বিশ্বাস করেন যে দুটি ভগ্নাংশের যোগফলের জন্য একই কথা সত্য যা চতুর্থ শক্তি, বা পঞ্চম শক্তি, বা তিনটির চেয়ে বেশি যে কোনো শক্তিতে উত্থাপিত হয়। এটি শুধুমাত্র ঘনক্ষেত্রের যোগফলের সাথেই যে হঠাৎ একটি প্রাচুর্য রয়েছে।
গণিতবিদরা ঘন সমীকরণে অভ্যস্ত হন যা অন্যান্য সমস্ত শক্তির থেকে আলাদাভাবে আচরণ করে। দুটি ভেরিয়েবল দিয়ে তৈরি সমীকরণের মধ্যে (যেমন যোগ-অফ-টু-কিউবস সমীকরণ), যে সমীকরণগুলির সর্বোচ্চ সূচক 1 বা 2 ভালভাবে বোঝা যায় - সাধারণত তাদের হয় কোন যুক্তিসঙ্গত সমাধান নেই বা অসীম অনেকগুলি, এবং এটি সাধারণত সহজবোধ্য যা বলুন। এদিকে, যে সমীকরণের সর্বোচ্চ সূচক 4 বা তার বেশি সাধারণত থাকে শুধুমাত্র একটি সীমিত ছিটানো যৌক্তিক সমাধানের।
কিউবিক সমীকরণ, বিপরীতে, সীমাবদ্ধভাবে অনেকগুলি সমাধান থাকতে পারে, অসীমভাবে অনেকগুলি বা কোনওটিই নয়। এই সমীকরণগুলি 3 এর নীচের সূচক এবং উপরেরগুলির মধ্যে এক ধরণের ফেজ ট্রানজিশনের প্রতিনিধিত্ব করে, যা এই অন্যান্য সেটিংসে কখনও দেখা যায় না এমন ঘটনা প্রদর্শন করে। "কিউব প্রতিটি ক্ষেত্রেই আলাদা," মাজুর বলেন।
নিম্ন সূচক সহ সমীকরণের বিপরীতে, ঘনকগুলি বোঝা খুব কঠিন। কিউবিক্সের যৌক্তিক সমাধানগুলি খুঁজে বের করার বা গণনা করার জন্য কোনও অত্যধিক পদ্ধতি নেই যা সর্বদা কাজ করে বলে প্রমাণিত হয়েছে।
"আমাদের সমস্ত কম্পিউটিং ক্ষমতা থাকা সত্ত্বেও, আপনি যদি আমাকে খুব বড় সহগ সহ একটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখা দেন, আমি অগত্যা জানি না এর কতগুলি যুক্তিযুক্ত সমাধান রয়েছে," বলেছিলেন ওয়েই হো, ভার্গবের প্রাক্তন ছাত্র যিনি বর্তমানে একজন ভিজিটিং প্রফেসর ইনস্টিটিউট ফর অ্যাডভান্সড স্টাডিতে।
দুই ঘনক সমস্যার সমষ্টিতে, জড়িত ভগ্নাংশগুলি বিশাল হতে পারে: 2,803 সংখ্যাটি, উদাহরণস্বরূপ, দুটি ঘনক ভগ্নাংশের সমষ্টি যার প্রত্যেকটির হর 40টি সংখ্যা। এবং একবার আমরা লক্ষাধিক সংখ্যার দিকে তাকাই, ভার্গব বলেছিলেন, অনেক ভগ্নাংশে "এই বিশ্বের সমস্ত কাগজে ফিট করার চেয়ে বেশি সংখ্যা যুক্ত হবে।"
ম্যাপিং ম্যাট্রিক্স
যেহেতু উপবৃত্তাকার বক্ররেখাগুলি এতটাই নিয়ন্ত্রণযোগ্য নয়, সংখ্যা তাত্ত্বিকরা তাদের আরও ট্র্যাক্টেবল বস্তুর সাথে লিঙ্ক করার উপায়গুলি সন্ধান করে। এই এপ্রিলে, যখন Alpöge এবং Shnidman Covid-এর বিরুদ্ধে যুদ্ধ করছিলেন, তারা এবং ভার্গব এর আগে Ho-এর সাথে কাজ করে ফেলেছিলেন এবং বুঝতে পেরেছিলেন যে যখনই সম-অব-কিউব সমীকরণের যুক্তিযুক্ত সমাধান থাকে, তখন অন্তত একটি বিশেষ 2 তৈরি করার একটি উপায় থাকে। × 2 × 2 × 2 ম্যাট্রিক্স — আরও পরিচিত দ্বি-মাত্রিক ম্যাট্রিক্সের একটি চার-মাত্রিক অ্যানালগ। "আমরা এই 2 × 2 × 2 × 2 ম্যাট্রিক্সগুলি গণনা করার জন্য একটি পরিকল্পনা তৈরি করতে শুরু করেছি," তিনজন লিখেছেন।
এটি করার জন্য, দলটি দুটি শাস্ত্রীয় বিষয়ের উপর আঁকেন যা প্রতিটি এক শতাব্দীরও বেশি সময় ধরে অধ্যয়ন করা হয়েছে। একটি হল "সংখ্যার জ্যামিতি", যার মধ্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক আকারের মধ্যে জালি বিন্দু গণনা করা জড়িত। এই বিষয়টি গত 20 বছর ধরে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার ক্ষেত্রে একটি নবজাগরণ উপভোগ করছে, বড় অংশে ভার্গব এবং সহযোগীদের কাজের কারণে।
বৃত্ত পদ্ধতি নামে পরিচিত অন্য কৌশলটি 20 শতকের গোড়ার দিকে কিংবদন্তি ভারতীয় গণিতবিদ শ্রীনিবাস রামানুজন এবং তার দীর্ঘ সময়ের সহযোগী জিএইচ হার্ডির কাজে উদ্ভূত হয়েছিল। "এই জ্যামিতি-অফ-সংখ্যার কৌশলগুলির সাথে বৃত্ত পদ্ধতিকে একত্রিত করার প্রথম প্রধান প্রয়োগ," হো বলেন৷ "সেই অংশটি খুব দুর্দান্ত।"
এই পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করে, ত্রয়ী দেখাতে সক্ষম হয়েছিল যে সমস্ত পূর্ণ সংখ্যার অন্তত 1/6টির জন্য, কোন 2 × 2 × 2 × 2 ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান নেই। এর মানে হল যে এই সংখ্যাগুলির জন্য, যোগ-অফ-কিউব সমীকরণের কোন যুক্তিসঙ্গত সমাধান নেই। সুতরাং পূর্ণসংখ্যার 5/6 এর বেশি নয়, বা প্রায় 83%, দুটি ভগ্নাংশের ঘনক্ষেত্রের সমষ্টি হতে পারে না।
বিপরীত দিকে, তারা দেখতে পেল যে সমস্ত পূর্ণ সংখ্যার অন্তত 5/12 টিতে ঠিক একটি মিলে যাওয়া ম্যাট্রিক্স রয়েছে। এটা উপসংহারে লোভনীয় যে এই সংখ্যা দুটি কিউবের সমষ্টি, কিন্তু এটি স্বয়ংক্রিয়ভাবে অনুসরণ করে না। প্রতিটি সংখ্যা যা দুটি ঘনকের যোগফলের একটি ম্যাট্রিক্স আছে, কিন্তু এর অর্থ এই নয় যে কথোপকথনটি সত্য: একটি ম্যাট্রিক্স সহ প্রতিটি সংখ্যা দুটি ঘনকের সমষ্টি।
Alpöge, ভার্গব এবং Shnidman এর প্রয়োজন ছিল যাকে উপবৃত্তাকার বক্ররেখার গবেষকরা একটি কনভার্স থিওরেম বলে — এমন কিছু যা একটি ঘন সমীকরণ সম্পর্কে তথ্য নেয় এবং এটিকে যুক্তিযুক্ত সমাধান তৈরি করতে ব্যবহার করে। কথোপকথন উপপাদ্যগুলি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার তত্ত্বের একটি সমৃদ্ধ সাবফিল্ড গঠন করে, তাই ত্রয়ীটি সাবফিল্ডের বিশেষজ্ঞ অনুশীলনকারীদের দুজনের দিকে ফিরে যায় — আশায় বুরুঙ্গলে টেক্সাস বিশ্ববিদ্যালয়, অস্টিন এবং প্রিন্সটনের। বুরুঙ্গেল এবং স্কিনার দেখাতে পেরেছিলেন যে, অন্তত কিছু সময়, যদি একটি পূর্ণ সংখ্যার একটি একক যুক্ত ম্যাট্রিক্স থাকে, তবে সেই সংখ্যাটি অবশ্যই দুটি মূলদ ঘনকের সমষ্টি হতে হবে। তাদের উপপাদ্য, যা মূলত বার্চ এবং সুইনারটন-ডায়ার অনুমানের একটি প্রাসঙ্গিক অংশকে প্রমাণ করে, কাগজে একটি তিন পৃষ্ঠার পরিশিষ্ট হিসাবে উপস্থিত হয়, যা সরনাক নিজেই বিস্ময়কর বলে বর্ণনা করেছেন।
বুরুঙ্গেল এবং স্কিনার প্রতিটি পূর্ণ সংখ্যার জন্য তাদের উপপাদ্যকে ঠিক একটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে প্রমাণ করতে পারেননি - তাদের একটি প্রযুক্তিগত শর্ত আরোপ করতে হয়েছিল যা 5/12 উপসেটকে 2/21 বা সমস্ত পূর্ণ সংখ্যার প্রায় 9.5%-এ নামিয়ে দেয়। কিন্তু ভার্গব আশাবাদী যে বুরুঙ্গেল এবং স্কিনার বা তাদের এলাকার অন্যান্য গবেষকরা বাকি 5/12 (সব মিলিয়ে প্রায় 41%) খুব বেশি সময়ের আগেই পৌঁছে যাবে। "তাদের কৌশল ক্রমশ শক্তিশালী হচ্ছে," ভার্গব বলেছেন।
সম্পূর্ণ অনুমান প্রমাণ করার জন্য - যে সমস্ত পূর্ণসংখ্যার ঠিক অর্ধেক হল দুটি ঘনকের সমষ্টি - শেষ পর্যন্ত একাধিক যুক্ত ম্যাট্রিক্স আছে এমন সংখ্যার সেটকে মোকাবেলা করতে হবে। এই সেটটি, যাকে ভার্গব "খুবই অস্পষ্ট" বলে অভিহিত করেছেন, এতে দুটি সংখ্যাই রয়েছে যা দুটি ঘনকের যোগফল এবং যেগুলি নয়। এই জাতীয় সংখ্যাগুলি পরিচালনা করার জন্য সম্পূর্ণ নতুন ধারণার প্রয়োজন হবে, তিনি বলেছিলেন।
আপাতত, গবেষকরা শেষ পর্যন্ত পূর্ণ সংখ্যার একটি উল্লেখযোগ্য অনুপাতের জন্য প্রশ্নটি নিষ্পত্তি করতে পেরে খুশি, এবং প্রমাণের কৌশলগুলি আরও তদন্ত করতে আগ্রহী। "এটি সেই সুন্দর জিনিসগুলির মধ্যে একটি: আপনি খুব সহজে ফলাফলটি ব্যাখ্যা করতে পারেন, তবে সরঞ্জামগুলি সংখ্যা তত্ত্বের কাটিয়া প্রান্তে খুব বেশি," সরনাক বলেছিলেন।
