কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি গাণিতিক ধাঁধা খুলুন

গত মাসে, কারেন ভোগটম্যান এবং মাইকেল বোরিনস্কি একটি প্রমাণ পোস্ট করেছেন যে গাণিতিক কাঠামোর একটি ট্রাকলোড এখন পর্যন্ত একটি দুর্গম গাণিতিক জগতের মধ্যে রয়েছে যাকে গ্রাফের মডুলি স্পেস বলা হয়, যা ভোগটম্যান এবং একজন সহযোগী প্রথম বর্ণিত 1980 এর দশকের মাঝামাঝি।

"এটি একটি সুপার কঠিন সমস্যা. এটা আশ্চর্যজনক যে তারা করতে পেরেছিল,” জর্জিয়া ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজির গণিতবিদ ড্যান মার্গালিট বলেছেন।

ভোগটম্যান এবং বোরিনস্কি এমন প্রশ্নগুলি দিয়ে শুরু করেছিলেন যা ওয়ারউইক বিশ্ববিদ্যালয়ের একজন গণিতবিদ ভোগটম্যান কয়েক দশক ধরে নিজেকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন। এই জুটি তখন পদার্থবিজ্ঞানের ভাষায় সমস্যাটিকে পুনরায় কল্পনা করে, কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্বের কৌশল ব্যবহার করে তাদের ফলাফল নিয়ে আসে।

প্রমাণটি দেখায় যে মডুলি স্পেসে নির্দিষ্ট কাঠামো বিদ্যমান, তবে সেই কাঠামোগুলি কী তা স্পষ্টভাবে প্রকাশ করে না। এইভাবে, তাদের নতুন ফলাফলটি ক্যামেরার চেয়ে একটি ধাতব আবিষ্কারকের মতো - এটি তাদের সতর্ক করে যে আকর্ষণীয় কিছু লুকিয়ে আছে, যদিও তারা এটি সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করতে পারে না।

আপনি গ্রাফের মডুলি স্পেসগুলিকে গাণিতিক আকার হিসাবে অতিরিক্ত সাজসজ্জার সাথে ভাবতে পারেন। আপনি যদি আকৃতির যে কোনও বিন্দুতে দাঁড়ান, আপনি আপনার উপরে একটি গ্রাফ ভাসমান দেখতে পাবেন — প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত বিন্দু বা শীর্ষবিন্দুগুলির একটি সংগ্রহ৷ একটি মডুলি স্পেসের বিভিন্ন স্থানে, গ্রাফগুলি পরিবর্তিত হয়, তাদের প্রান্তগুলি সঙ্কুচিত বা বৃদ্ধি পায় এবং কখনও কখনও সম্পূর্ণরূপে অদৃশ্য হয়ে যায়। এই বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে, সুইস ফেডারেল ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি জুরিখের গাণিতিক পদার্থবিদ বোরিনস্কি, মডুলি স্পেসকে "গ্রাফের একটি বড় সমুদ্র" হিসাবে বর্ণনা করেছেন।

একটি গ্রাফের "র্যাঙ্ক" হল এটির লুপের সংখ্যা; গ্রাফের প্রতিটি র্যাঙ্কের জন্য, একটি মডিউলি স্থান রয়েছে। এই স্থানের আকার দ্রুত বৃদ্ধি পায় — আপনি যদি গ্রাফের প্রান্তের দৈর্ঘ্য ঠিক করেন, তাহলে র‌্যাঙ্ক 2-এর তিনটি গ্রাফ, 15 নম্বর র‌্যাঙ্কের 3, র‌্যাঙ্ক 111-এর 4 এবং 2,314,204,852 নম্বর র‌্যাঙ্ক-এর 10 গ্রাফ রয়েছে৷ মডুলি স্পেসে, এই দৈর্ঘ্যগুলি হতে পারে৷ পরিবর্তিত হয়, আরও জটিলতার পরিচয় দেয়।

একটি প্রদত্ত র্যাঙ্কের গ্রাফগুলির জন্য মডুলি স্থানের আকৃতি গ্রাফগুলির মধ্যে সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়। আপনি স্থানের চারপাশে হাঁটার সময়, কাছাকাছি গ্রাফগুলি একই রকম হওয়া উচিত এবং একে অপরের মধ্যে মসৃণভাবে রূপান্তরিত হওয়া উচিত। কিন্তু এই সম্পর্কগুলি জটিল, গাণিতিকভাবে অস্থির বৈশিষ্ট্য সহ মডুলি স্থান ছেড়ে যায়, যেমন অঞ্চল যেখানে মডুলি স্থানের তিনটি দেয়াল একে অপরের মধ্য দিয়ে যায়।

গণিতবিদরা কোহোমোলজি ক্লাস নামক বস্তু ব্যবহার করে একটি স্থান বা আকৃতির গঠন অধ্যয়ন করতে পারেন, যা একটি স্থানকে কীভাবে একত্রিত করা হয় তা প্রকাশ করতে সাহায্য করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, গণিতবিদদের প্রিয় আকারগুলির মধ্যে একটি, ডোনাট বিবেচনা করুন। ডোনাটে, কোহোমোলজি ক্লাসগুলি কেবল লুপ।

ডোনাটের পৃষ্ঠে কেউ বিভিন্ন ধরণের লুপ আঁকতে পারে: লুপ 1 ডোনাটের কেন্দ্রীয় গর্তকে ঘিরে রাখে; লুপ 2 গর্ত মাধ্যমে থ্রেড; তৃতীয় "তুচ্ছ" লুপটি ডোনাটের পাশে বসে।

তবে সব কোহোমোলজি ক্লাস সমান তৈরি করা হয় না। ডোনাটের বাইরের দিকে বসে থাকা একটি লুপ — তৃতীয় লুপের মতো — অন্য লুপকে ছেদ না করতে সবসময় চারপাশে স্লাইড বা সঙ্কুচিত হতে পারে। এটি এটিকে একটি "তুচ্ছ" কোহোমোলজি ক্লাস করে তোলে।

কিন্তু লুপ 1 এবং 2 ডোনাটের গঠন সম্পর্কে আরও অনেক কিছু বলে — তারা শুধুমাত্র গর্তের কারণেই বিদ্যমান। গাণিতিকভাবে পার্থক্য বুঝতে, আপনি ছেদ ব্যবহার করতে পারেন, মার্গালিট ব্যাখ্যা করেছেন। লুপ 1 এবং 2 ডোনাটের পৃষ্ঠের চারপাশে স্লাইড করতে পারে, কিন্তু যতক্ষণ না আপনি তাদের পৃষ্ঠ থেকে সম্পূর্ণভাবে দূরে সরে যেতে বাধ্য করেন, তারা সবসময় একে অপরকে ছেদ করবে। কারণ এই দুটি লুপ অংশীদারদের সাথে আসে যেগুলিকে তারা সাহায্য করতে পারে না কিন্তু অতিক্রম করতে পারে, সেগুলি হল "ননট্রিভিয়াল" কোহোমোলজি ক্লাস।

একটি ডোনাটের বিপরীতে, গণিতবিদরা শুধুমাত্র একটি ছবি আঁকার মাধ্যমে গ্রাফের মডুলি স্পেসগুলিতে কোহোমোলজি ক্লাসগুলি খুঁজে পান না। কোপেনহেগেন ইউনিভার্সিটির গণিতবিদ নাথালি ওয়াহল বলেছেন, এত বিপুল সংখ্যক গ্রাফের সাথে, মডুলি স্পেসগুলি পরিচালনা করা কঠিন। "খুব দ্রুত, কম্পিউটার আর সাহায্য করতে পারে না," সে বলল। প্রকৃতপক্ষে, শুধুমাত্র একটি বিজোড়-মাত্রিক ননট্রিভিয়াল কোহোমোলজি ক্লাস হয়েছে স্পষ্টভাবে গণনা করা হয়েছে (11টি মাত্রায়), মুষ্টিমেয় জোড়ের সাথে।

ভোগটম্যান এবং বোরিনস্কি যা প্রমাণ করেছেন তা হল যে প্রচুর সংখ্যক কোহোমোলজি ক্লাস রয়েছে যা একটি প্রদত্ত র্যাঙ্কের গ্রাফের মডুলি স্পেসের মধ্যে রয়েছে — যদিও আমরা সেগুলি খুঁজে পাচ্ছি না। "আমরা জানি যে টন আছে, এবং আমরা একটি জানি," ওয়াহল পরিস্থিতিটিকে "হাস্যকর" বলে অভিহিত করেছেন।

কোহোমোলজি ক্লাসের সাথে সরাসরি কাজ করার পরিবর্তে, বোরিনস্কি এবং ভোগটম্যান অয়লার বৈশিষ্ট্য নামে একটি সংখ্যা অধ্যয়ন করেছিলেন। এই সংখ্যাটি মডিউলির স্থান পরিমাপের একটি প্রকার প্রদান করে। আপনি অয়লার বৈশিষ্ট্য পরিবর্তন না করে নির্দিষ্ট উপায়ে মডিউলির স্থান পরিবর্তন করতে পারেন, অয়লার বৈশিষ্ট্যটিকে কোহোমোলজি ক্লাসের তুলনায় আরও অ্যাক্সেসযোগ্য করে তোলে। এবং বোরিনস্কি এবং ভোগটম্যান সেটাই করেছিলেন। সরাসরি গ্রাফের মডুলি স্পেসের সাথে কাজ করার পরিবর্তে, তারা "মেরুদন্ড" অধ্যয়ন করেছিল - মূলত সামগ্রিক স্থানের একটি কঙ্কাল। মেরুদণ্ডে মডুলি স্পেসের মতো একই অয়লার বৈশিষ্ট্য রয়েছে এবং এর সাথে কাজ করা সহজ। মেরুদণ্ডে অয়লার বৈশিষ্ট্য গণনা করা গ্রাফের জোড়ার একটি বড় সংগ্রহ গণনা করতে নেমে আসে।

বোরিনস্কির অন্তর্দৃষ্টি ছিল ফাইনম্যান ডায়াগ্রাম গণনা করার জন্য কৌশলগুলি ব্যবহার করা, যা গ্রাফ যা কোয়ান্টাম কণার যোগাযোগের উপায়গুলিকে উপস্থাপন করে। পদার্থবিদরা যখন গণনা করতে চান, বলুন, একটি ইলেকট্রন এবং পজিট্রনের মধ্যে সংঘর্ষের ফলে দুটি ফোটন তৈরি হওয়ার সম্ভাবনা, তাদের প্রয়োজন সমস্ত সম্ভাব্য মিথস্ক্রিয়া উপর যোগফল যে ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়। এর মানে অনেক ফাইনম্যান ডায়াগ্রামের উপর গড় করা, চতুর গণনা কৌশলগুলিকে অনুপ্রাণিত করা।

"আমি বুঝতে পেরেছি যে কেউ এই ধরণের সমস্যাটিকে একটি খেলনা কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি মহাবিশ্বের মতো তৈরি করতে পারে," বোরিনস্কি ব্যাখ্যা করেছিলেন।

বোরিনস্কি গ্রাফগুলিকে মহাবিশ্বের একটি সাধারণ সংস্করণে ভৌত সিস্টেমের প্রতিনিধিত্বকারী হিসাবে কল্পনা করেছিলেন, যেটিতে, অন্যান্য অনুমানের মধ্যে, শুধুমাত্র এক ধরনের কণা রয়েছে। কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরি ফ্রেমওয়ার্কের সঠিক গণনা পেতে বোরিনস্কি এবং ভোগটম্যানের জন্য কিছু সমন্বয় প্রয়োজন। উদাহরণ স্বরূপ, কোয়ান্টাম ফিল্ড তত্ত্বে, দুটি গ্রাফ যা একে অপরের মিরর ইমেজ, তা আলাদা করা যায় না, বোরিনস্কি বলেন। ফাইনম্যান ডায়াগ্রাম যোগ করার জন্য সূত্রগুলি এমন ফ্যাক্টরগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যা নিশ্চিত করে যে এই গ্রাফগুলি অতিরিক্ত গণনা করা হয় না। কিন্তু যখন অয়লার বৈশিষ্ট্য গণনা করার কথা আসে, তখন সেই গ্রাফগুলিকে আলাদা বিবেচনা করা হয়। "আমাদের গ্রাফের প্রতিসাম্যের সাথে একটি ছোট খেলা খেলতে হবে," বোরিনস্কি বলেছিলেন।

পদার্থবিদ থেকে কিছু প্রোগ্রামিং সাহায্য নিয়ে জোস ভার্মাসেরেন, Borinsky এবং Vogtmann অবশেষে এই অসুবিধা অতিক্রম. তাদের জানুয়ারির গবেষণাপত্রে, তারা প্রমাণ করেছে যে অয়লারের বৈশিষ্ট্য র্যাঙ্কের গ্রাফের মডুলি স্থানের n হিসাবে ব্যাপকভাবে নেতিবাচক পায় n বড় হয় এটি বোঝায় যে প্রতিটি মডিউলি স্থানের মধ্যে অনেকগুলি, অনেকগুলি অ-তুচ্ছ কোহোমোলজি ক্লাস রয়েছে।

যদিও বোরিনস্কি এবং ভোগটম্যানের গবেষণাপত্রে এই কোহোমোলজি ক্লাসগুলি সম্পর্কে আর কোনও ইঙ্গিত নেই, তবে এটি গবেষকদের জন্য একটি উত্সাহজনক ফলাফল যারা সেগুলি খুঁজে পেতে চায় - এবং সম্ভবত এটি শিকারের রোমাঞ্চকে বাড়িয়ে তোলে। কোহোমোলজি ক্লাসের মার্গালিট বলেছেন: “আমরা যাদের জানি তারা শুধু এই রত্ন। এবং যখনই আমরা একটি খুঁজে পাই, এটি এই সুন্দর জিনিস।"