Introduktion
I december 1977, en revolutionær papir stille og roligt dukkede op i Journal d'Analyse Mathématique, et fagtidsskrift for matematik. Forfatteren, Hillel Furstenberg, hævdede ikke nogen spændende - eller endda nye - resultater. Han havde simpelthen tilbudt et bevis på en sætning, som en anden matematiker, Endre Szemerédi, allerede havde bevist to år før.
På trods af det satte Furstenbergs papir et varigt aftryk på matematikken. Hans nye argument indeholdt en kerne af indsigt med vidtrækkende konsekvenser: Man kunne omformulere problemer som den, Szemerédi havde løst, om sæt af heltal, til spørgsmål om punkter, der bevæger sig rundt i rummet.
I årene efter er Furstenbergs teknikker blevet brugt igen og igen, og lidt efter lidt er de blevet justeret og forbedret. Tidligere i år blev de superladede, og de dukkede op i to nye artikler, der afslører uendelige mønstre i sæt af heltal - der går med stormskridt forbi Szemerédis nu 47 år gamle sætning.
Furstenbergs Bevis
Szemerédi havde undersøgt mængder, der indeholder en "positiv brøkdel" af alle heltal. Tag for eksempel sættet, der indeholder alle multipla af 5. Når du ser på større og større skår af tallinjen, fortsætter multipla af 5 med at dukke op regelmæssigt. Matematikere siger, at mængden, der indeholder alle multipla af 5, har brøkdelen af en femtedel af alle heltal.
I modsætning hertil, mens der er et uendeligt antal primtal, bliver de så sjældne, efterhånden som tallene bliver større, at mængden af alle primtal ikke indeholder en positiv brøkdel af heltal, eller sagt på en anden måde, ikke har en positiv tæthed . Primtallene siges i stedet at have tæthed nul.
Szemerédi ledte efter eksempler på såkaldte aritmetiske progressioner eller kæder af lige store tal. Forestil dig for eksempel, at du har en uendelig række af tal, såsom de perfekte kvadrater: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. De perfekte firkanter har en aritmetisk progression med længde tre, der gemmer sig i de første adskillige led: {1, 25, 49}. Hvert tal i denne progression er 24 mere end dets forgænger.
Szemerédi beviste, at ethvert sæt, der omfatter en positiv brøkdel af de heltal, skal indeholde vilkårligt lange aritmetiske progressioner. Resultatet var et skelsættende inden for underområdet af matematik kaldet additiv kombinatorik.
Szémeredis bevis, selvom det var strålende, var næsten umuligt at følge. "Den dag i dag tror jeg, at der måske kun er tre eller fire mennesker, der virkelig forstår [Szemerédis] bevis," sagde Terence tao, en matematiker ved University of California, Los Angeles.
Så Furstenbergs mere forståelige argument var kærkomment. For at skrive det, stolede Furstenberg på metoder fra sit eget matematikfelt, dynamiske systemer. Et dynamisk system er enhver proces, der ændrer sig med tiden. Dette kunne være noget så simpelt som en billardbold, der ruller rundt om et poolbord. Alt du behøver er en måde at matematisk repræsentere dit system på, og en regel for hvordan det udvikler sig. En bold kan for eksempel beskrives ved dens position og hastighed. Dette system skrider frem på en foreskreven måde over tid og følger den klassiske fysiks love.
Furstenberg var mest interesseret i noget, der hed ergodisk teori. I stedet for at se på et systems tilstand på et givet tidspunkt, studerer ergodiske teoretikere statistik over lange perioder. For en billardbold kan det betyde, at man skal finde ud af, om bolden ender nogle steder på bordet mere end andre på grund af den måde, den har en tendens til at hoppe af væggene.
Furstenbergs centrale idé var at se sæt af heltal ikke som faste objekter, men som momentane tilstande i et dynamisk system. Det kunne virke som en lille ændring i perspektivet, men det gav ham mulighed for at bruge værktøjer fra ergodisk teori til at bevise resultater i kombinatorik. På det tidspunkt anede Furstenberg ikke, at hans ideer ville få deres eget liv. "Det var bare, jeg kunne lide at have dette andet bevis," sagde han. Men andre så løftet om sammenhængen mellem ergodisk teori og kombinatorik. "En hel generation af ergodiske teoretikere begyndte på en måde at satse på kombinatorik og løse alle disse problemer og omvendt," sagde Tao.
I løbet af de sidste par år har fire matematikere - Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter , Donald Robertson — har udviklet Furstenbergs teknikker til at finde ikke bare vilkårligt lange progressioner inden for ethvert sæt, der indeholder en positiv brøkdel af heltal, men uendelige versioner af strukturer kaldet sumsæt.
“Summer er meget mindre specifikke end progressioner; de ser meget mindre specielt ud,” sagde Robertson. "Men det er mere interessant og mere delikat, fordi sumsæt er uendelige konfigurationer, hvorimod progressioner er endelige."
Hvis Furstenberg byggede en bro mellem ergodisk teori og kombinatorik, har Kra, Moreira, Richter og Robertson udvidet den til "en seks-sporet motorvej," sagde Tao.
B + C formodninger
Szemerédis teorem blev først foreslået, men ikke bevist, i 1936 af to matematikere. En af dem var en ungarsk matematiker berømt for at komme med formodninger: Paul Erdős. I 2016, da Moreira arbejdede på sin doktorafhandling ved Ohio State University, faldt han over en anden formodning, som Erdős havde fremsat om de strukturer, der kaldes sumsets.
Et sumsæt er lavet af to andre sæt; kalde dem B , C. Sumsættet, skrevet som B + C, er bygget ved at lægge alle mulige talpar sammen og tage ét tal fra B og den anden fra C. Erdős formodede det for ethvert sæt A der indeholder en positiv brøkdel af heltal, findes der andre uendelige mængder B , C hvis sumsæt er indeholdt i A. I avisen Moreira læste, havde forfatterne bevist Erdős' formodning, når A indeholder en stor brøkdel af de heltal. Men for mindre positive densitetssæt var resultatet stadig ukendt. "Så snart jeg læste udtalelsen, tænkte jeg, at det var et rigtig godt spørgsmål, fordi det er så enkelt," sagde Moreira. ”Enten er det falsk, eller også burde det ikke være svært. Hvilket selvfølgelig var forkert. Det var hverken falsk eller nemt.”
Moreira bragte Richter og Robertson, hans venner fra kandidatskolen, med på projektet. Robertson, nu ved University of Manchester, var færdiguddannet et år før Moreira, og Richter var et par år bagud. Alle tre var velbevandret i at anvende ergodiske teoriteknikker på kombinatorik. Men dette problem gav nye udfordringer.
"Der var praktisk talt ingen præcedens for at finde uendelige summer i et sæt af positiv tæthed," sagde Daniel Glasscock, en matematiker ved University of Massachusetts, Lowell, som gik på forskerskole hos Moreira, Richter og Robertson.
Måske af den grund viste det sig, at sumset-problemet var svært at afhjælpe. "Vi er lidt nødt til at tvinge den ergodiske teori til at komme igennem," sagde Moreira. Deres indsats gav til sidst frugt, og i hvad Marcin Sabok fra McGill University kaldte en "forbløffende bedrift", lykkedes det dem at bevise Erdős' formodning i 2018. Deres bevis blev senere offentliggjort i Annals of Mathematics, et af matematikkens mest prestigefyldte tidsskrifter.
De nye beviser
Det papir efterlod to store spørgsmål åbne. En af disse var en anden sumset formodning af Erdős' kaldet B + B + t formodninger.
Moreira, Richter og Robertson var også kommet med et eget spørgsmål: Hvis du har et sæt med positiv tæthed A, kan du finde tre uendelige sæt — B, C og nu D - hvor B + C + D er inde A? Hvad med fire uendelige sæt? Fem?
Efter at de havde stillet multisæt-versionen, sad matematikerne fast i en periode. Det så ud til, at de teknikker, de havde brugt til to-sæt-formodningerne, havde nået deres grænse.
"Vi kunne ikke finde en dynamisk omformulering af dette problem," sagde Richter. Deres tilgang, sagde han, "mislykkedes bare i begyndelsen."
Der gik to år, før de så reelle fremskridt. På dette tidspunkt var Richter postdoc ved Northwestern University, hvor Bryna Kra var professor. I 2020, forhindret i at mødes personligt af Covid-19-pandemien, fandt Kra og Richter sig i at diskutere det samlede problem over Zoom.
"Til sidst kom vi med nogle andre variationer, som vi forstod," sagde Kra.
Kra og Richter begyndte at tale med Moreira og Robertson hver uge og genovervejede 2018-beviset.
"Det, vi skulle gøre, er at genoverveje hvert trin i beviset, begyndende med den oversættelse til et dynamisk system," sagde Kra.
Nyttigt for deres sag var en 2019 papir af en fransk matematiker ved navn Bernard Vært. Værten havde genbevist Moreira, Richter og Robertsons resultat og havde fundet ud af, hvordan man kunne få den ergodiske teori til at synge. Efter Moreiras mening så Host "hvordan man skriver vores bevis, som det burde have været skrevet."
Med Hosts forbedringer i hånden fortsatte Kra, Moreira, Richter og Robertson med at finjustere deres bevis og forsøgte at udtrække det enkleste og mest elegante argument. "Vi dissekere det vel bare igen og igen for virkelig at se: Hvad er kernen i problemet?" sagde Richter. "Til sidst havde vi et bevis, der havde meget lidt lighed med det oprindelige bevis."
Beviset, de endte med, betragtede ligesom Furstenbergs de uendelige sæt af heltal som tidsstempler i et dynamisk system. Dette dynamiske system er dog bedre forestillet som punkter, der hopper rundt i rummet.
Her er et groft billede af, hvordan det virker: Begynd med at stå i det ene hjørne af et lukket rum, kald det hjørne 0. Du er udstyret med en liste over tidspunkter A. Det sæt, A, er et sæt af heltal med positiv tæthed.
Du er også udstyret med en regel til at bevæge dig rundt i lokalet. Hvert sekund flytter du til et nyt sted, baseret på hvor du lige stod. Den nøjagtige regel, du følger, vil blive designet til at matche dit sæt tider A - når som helst tidsstemplet er inde A, vil du befinde dig i et særligt område af rummet.
Sig for eksempel A består af alle de tal, der er delelige med 4, og hvert sekund bevæger du dig med uret til det næste hjørne af rummet. Efter et sekund bevæger du dig til hjørne 1; efter to sekunder, hjørne 2, og så videre. Derefter hvert fjerde trin - hvilket betyder for hver gang, det er inde EN- du er vendt tilbage til det oprindelige hjørne 0.
Denne proces fortsætter for evigt. Når du rejser fra hjørne til hjørne i en cirkel med uret, vil du besøge hvert hjørne uendeligt mange gange. Et punkt, man kommer tæt på et uendeligt antal gange, kaldes et akkumuleringspunkt.
Kra, Moreira, Richter og Robertson beviste, at du klogt kan vælge et af disse steder for at finde din sumset B + C. I hjørneeksemplet tager du hjørne 1. Du ankommer der på tidspunkterne 1, 5, 9 og 13 - tider, der ligner 4n + 1 for et eller andet heltal n. Lade B være sættet af disse tider.
Forestil dig nu, at du i stedet for at starte ved hjørne 0 begynder ved hjørne 1. Det betyder, at du til tider deleligt med 4, vil finde dig selv tilbage ved hjørne 1, og du kommer til hjørne 0 tre trin senere: til tider 3, 7, 11 eller et hvilket som helst nummer på formularen 4n + 3. Kald sættet af disse tider C.
Start nu din proces fra hjørne 0 igen. Denne gang, se på, hvad der sker, hvis du tager et tal fra B og et nummer fra C - siger, 13 fra B og 3 fra C - og læg dem sammen.
Dette ville tage 13 + 3 = 16 sekunder. Da 16 er et multiplum af 4, er det inde A. Men du kan også forudsige, at 13 + 3 vil være deleligt med 4, og dermed ind Auden egentlig at lægge 13 og 3 sammen. Bare følg, hvad der sker i det dynamiske system, når du venter 13 + 3 sekunder: Først går der 13 sekunder. På det tidspunkt befinder du dig i hjørne 1. Derefter, startende fra hjørne 1, flytter du tre trin mere, som fører dig tilbage til hjørne 0. Da du startede fra hjørne 0 og endte tilbage der, må du have ventet på en multiplum af fire sekunder, hvilket betyder, at den samlede tid var et tal i det originale sæt A.
For at få dette argument til at fungere, skulle gruppen håndtere mange kræsne matematiske detaljer. For eksempel har du i de fleste tilfælde et uendeligt antal pladser til rådighed at flytte til, ikke kun fire hjørner. Det betyder, at du faktisk ikke vender tilbage til et sted uendeligt mange gange; du kommer kun tæt på det uendeligt mange gange. Det introducerede nye matematiske komplikationer til argumentet. Men når de fandt ud af, hvordan processen ville fungere, vidste de, at de ville være i stand til at tackle de sværere spørgsmål, de var ude efter.
"Vi kom med dette bevis her, og det var straks klart, hvordan man generaliserer det," sagde Richter, som nu er ved det schweiziske føderale teknologiske institut i Lausanne. For at bevise multi-set versionen af formodningen, for eksempel, kunne forskerne blot tilføje et akkumuleringspunkt til stien. Det overordnede argument var det samme, bare med et nyt lag af komplikationer.
Det var ikke let at hamre ud af alle de tekniske detaljer. Efter at de havde lagt sig fast på deres dynamiske setup, tog det Kra, Moreira, Richter og Robertson over et år at udarbejde beviser for de sværere formodninger. I juni i år udsendte gruppen endelig to papirer. En beviste multisæt-versionen af sumset-formodningen. Den anden beviste B + B + t version af formodningen, som kræver, at det andet sæt C være lig med det første sæt B, forskudt af en konstant, t.
Næste trin
Selvom juni-aviserne løser to spørgsmål om sumsets, forestiller Kra, Moreira, Richter og Robertson en lang fremtid for deres forskningslinje. "Som med alt, hvad Erdős spurgte om, vil han bare have, at vi sætter vores fod inden for døren," sagde Moreira, nu ved University of Warwick. "Men nu skal vi åbne døren og gå på opdagelse i, hvad der ellers er der."
I deres nye papirer opstiller de fire matematikere flere mulige udforskningsretninger i form af endnu ubesvarede spørgsmål. Man stoler på det faktum, at selvom enhver positiv tæthed sæt A indeholder en uendelig sum B + C, den indeholder ikke nødvendigvis de to komponenter B , C. Hvornår kan du insistere på det B , C skal også være indeholdt A? Forfatterne udfordrer også matematikere til at finde ud af, om de kan finde en uendelig sekvens af uendelige mængder, hvis summængder er indeholdt i A.
Et andet åbent spørgsmål på området er allerede blevet besvaret af Matt Bowen, en kandidatstuderende fra Saboks ved McGill University. I oktober, han indsendt et bevis på, at hvis du tildeler hvert heltal en af nogle få farver, kan du finde en sum B+C og et produkt af sæt BC kun i en af farverne.
Præcis hvor ellers det nye værk fra Kra, Moreira, Richter og Robertson skal føre hen, er endnu uvist. Men Tao er i det mindste optimistisk med hensyn til de nye teknikker, gruppen har udviklet. Hvad de opnår med deres metoder er "faktisk ret fantastisk," sagde han. "Der er andre spørgsmål, der involverer uendelige sæt, som før blev betragtet som håbløse, nu inden for rækkevidde."
