Matematisk trio fremskrider århundreder gammelt talteoriproblem

Tidligere i år besluttede en trio af matematikere at lave citroner til limonade - og endte med at lave større fremskridt på et problem, som matematikere har tænkt på i århundreder.

De tre var lige ved at afslutte et projekt og tænkte på de næste skridt, da to af dem sidst i marts - Levent Alpöge fra Harvard University og Ari Shnidman fra det hebraiske universitet i Jerusalem - pådrog sig Covid-19, separat men næsten samtidigt. Mange mennesker ville tage en pause under sådanne omstændigheder, men det tredje teammedlem, Manjul Bhargava fra Princeton University, foreslog det modsatte. At øge deres ugentlige Zoom-møder til tre eller fire gange om ugen, foreslog han, kunne distrahere hans syge samarbejdspartnere fra deres symptomer. Karantæne, besluttede de tre, kunne være en mulighed for at tænke uforstyrret.

Under disse møder overvejede de et af de ældste spørgsmål inden for talteori: Hvor mange heltal kan skrives som summen af ​​to terninger, eller, som matematikere kalder dem, rationelle tal? Tallet 6 kan for eksempel skrives som (17/21)³ + (37/21)³, mens 13 = (7/3)³+(2/3)³.

Matematikere har i årtier haft mistanke om, at halvdelen af ​​alle heltal kan skrives på denne måde. Ligesom med ulige og lige tal, ser denne egenskab ud til at dele hele tal i to lige store lejre: dem, der er summen af ​​to terninger, og dem, der ikke er det.

Men ingen var i stand til at bevise dette, eller endda sætte nogen grænse for andelen af ​​hele tal, der falder ind i hver lejr. Så vidt matematikere vidste, kan lejren, der består af summer af rationelle terninger, være forsvindende lille - eller den kan indeholde næsten alle heltal. Matematikere har beregnet at hvis noget, der kaldes Birch og Swinnerton-Dyer formodningen er sandt (som det er almindeligt antaget), er omkring 59 % af tallene op til 10 millioner summen af ​​to rationelle terninger. Men sådanne data kan i bedste fald give hints om, hvordan resten af ​​tallinjen kan opføre sig.

I modsætning til de ulige og lige tal, "er disse to lejre subtile," sagde Barry Mazur af Harvard. Der er ingen test til at afgøre, hvilke tal der hører hjemme i hvilken lejr, der vides at fungere for alle tal. Matematikere er kommet med tests, der er stærke kandidater, men indtil videre har hver en ulempe - enten kan matematikere ikke bevise, at testen altid vil nå en konklusion, eller også kan de ikke bevise, at konklusionen er korrekt.

Vanskeligheden ved at forstå summen af ​​terninger og kubiske ligninger mere generelt har været "en tilbagevendende forlegenhed for talteoretikere," sagde Bhargava. Han vandt Fields-medaljen i 2014 til dels for hans arbejde med rationelle løsninger til de kubiske ligninger kendt som elliptiske kurver, hvor summen af ​​to terninger er et specialtilfælde.

Nu, i et papir offentliggjort på nettet i slutningen af ​​oktober, har Alpöge, Bhargava og Shnidman vist, at mindst 2/21 (ca. 9.5%) og højst 5/6 (ca. 83%) af hele tal kan skrives som summen af ​​to terninger.

Spørgsmålet om summen af ​​terninger er ikke kun et kuriosum. Elliptiske kurver har en rigt indviklet struktur, der har drevet dem til centrum af mange områder af både ren og anvendt matematik, hvilket især gør det muligt for kryptografer at bygge kraftfulde cifre. Birch og Swinnerton-Dyer-formodningen, det centrale spørgsmål på området, har en dusør på 1 million dollars på hovedet som et af Clay Mathematics Institutes Millennium Prize-problemer.

Det nye arbejde bygger på et sæt værktøjer, som Bhargava har udviklet gennem de sidste 20 år, sammen med samarbejdspartnere, for at udforske hele familien af elliptiske kurver. At forstå summer af to terninger betyder at analysere en meget mindre familie, og "jo mindre familie, jo sværere er problemet," sagde Peter Sarnak fra Institute for Advanced Study i Princeton.

Denne særlige familie virkede "vej uden for rækkevidde," tilføjede Sarnak. "Jeg ville have sagt, 'Det ser for hårdt ud, alt for hårdt'."

En faseovergang

I modsætning til summen af ​​brøkdele i terninger, som synes at være rigelige, er næsten ingen heltal summen af ​​to kvadratiske brøker. I begyndelsen af ​​1600-tallet havde matematikerne Albert Girard og Pierre de Fermat fundet frem til en simpel test til at bestemme, hvilke hele tal der er summen af ​​to kvadrater: Faktor dit tal i primtal, og kontroller derefter eksponenten for hvert primtal, der har en rest på 3 når du dividerer det med 4. Hvis disse eksponenter alle er lige, er dit tal summen af ​​to kvadratiske brøker; ellers er det ikke. For eksempel, 490 faktorer til 2¹ × 5¹ × 7². Den eneste af disse faktorer, der har en rest på 3, når du dividerer med 4, er 7, og 7 har en lige eksponent. Derfor er 490 summen af ​​to kvadrater (for de nysgerrige er det lig med 7² + 21²).

Langt de fleste tal fejler lige-eksponenttesten. Hvis du vælger et helt tal tilfældigt, er sandsynligheden for, at det er summen af ​​to kvadratiske brøker i det væsentlige nul. Matematikere mener, at det samme gælder for summer af to brøker hævet til fjerde potens, eller femte potens, eller enhver potens højere end tre. Det er kun med summen af ​​terninger, at der pludselig er en overflod.

Matematikere er vant til, at kubiske ligninger opfører sig anderledes end alle andre magters. Blandt ligninger lavet af to variable (som summen af ​​to-kuber ligningerne), har ligningerne, hvis højeste eksponent er 1 eller 2, en tendens til at være godt forstået - typisk har de enten ingen rationelle løsninger eller uendeligt mange, og det er generelt ligetil at fortælle hvilken. I mellemtiden har de ligninger, hvis højeste eksponent er 4 eller højere, generelt kun et endeligt drys af rationelle løsninger.

Kubiske ligninger kan derimod have uendeligt mange løsninger, uendeligt mange eller slet ingen. Disse ligninger repræsenterer en slags faseovergang mellem eksponenterne under 3 og dem ovenfor, og viser fænomener, der aldrig ses i disse andre indstillinger. "Kuber er forskellige i enhver henseende," sagde Mazur.

I modsætning til ligninger med lavere eksponenter er terninger overraskende svære at gennemskue. Der er ingen overordnet metode til at finde eller endda tælle de rationelle løsninger på kubik, som har vist sig altid at fungere.

"Selv med al den computerkraft, vi har, hvis du giver mig en elliptisk kurve med meget store koefficienter, ved jeg ikke nødvendigvis, hvor mange rationelle løsninger den har," sagde Wei Ho, en tidligere elev af Bhargava, som er i øjeblikket gæsteprofessor ved Institut for Avancerede Studier.

I sum-af-to-kuber-problemet kan de involverede brøker være enorme: Tallet 2,803 er for eksempel summen af ​​to kuberede brøker, hvis nævnere hver har 40 cifre. Og når vi ser på tal i millioner, sagde Bhargava, ville mange af fraktionerne "indebære flere cifre, end der kunne være plads til på alt papir i denne verden."

Kortlægning af matricer

Fordi elliptiske kurver er så ustyrlige, leder talteoretikere efter måder at forbinde dem med mere håndterbare objekter. I april, mens Alpöge og Shnidman kæmpede mod Covid, byggede de og Bhargava på arbejde, som sidstnævnte tidligere havde udført med Ho og fandt ud af, at når en sum-af-terning-ligning har rationelle løsninger, er der en måde at bygge mindst én speciel 2 på. × 2 × 2 × 2 matrix — en firedimensionel analog til den mere velkendte todimensionelle matrix. "Vi begyndte at lægge en plan for at tælle disse 2 × 2 × 2 × 2 matricer," skrev de tre.

For at gøre det trak holdet på to klassiske emner, der hver er blevet studeret i mere end et århundrede. Den ene er "talgeometrien", som involverer, hvordan man tæller gitterpunkter inde i forskellige geometriske former. Dette emne har fået en renæssance inden for elliptiske kurver i løbet af de sidste 20 år, i høj grad på grund af Bhargavas og samarbejdspartneres arbejde.

Den anden teknik, kendt som cirkelmetoden, opstod i den legendariske indiske matematiker Srinivasa Ramanujans og hans mangeårige samarbejdspartner GH Hardys arbejde i begyndelsen af ​​det 20. århundrede. "Dette er den første store anvendelse af at kombinere cirkelmetoden med disse geometri-af-tal-teknikker," sagde Ho. "Den del er meget cool."

Ved at bruge disse metoder var trioen i stand til at vise, at for mindst 1/6 af alle hele tal eksisterer der ingen 2 × 2 × 2 × 2 matrix. Det betyder, at for disse tal har sum-af-kubes ligningen ingen rationelle løsninger. Så ikke mere end 5/6 af heltal, eller omkring 83 %, kan være summen af ​​terninger af to brøker.

I den modsatte retning fandt de ud af, at mindst 5/12 af alle hele tal har nøjagtig én matchende matrix. Det er fristende at konkludere, at disse tal er summen af ​​to terninger, men det følger ikke automatisk. Hvert tal, der er summen af ​​to terninger, har en matrix, men det betyder ikke nødvendigvis, at det modsatte er sandt: at hvert tal med en matrix er summen af ​​to terninger.

Alpöge, Bhargava og Shnidman havde brug for, hvad elliptiske kurveforskere kalder en omvendt sætning - noget, der tager information om en kubisk ligning og bruger den til at konstruere rationelle løsninger. Omvendte sætninger danner et blomstrende underfelt af teorien om elliptiske kurver, så trioen henvendte sig til to af underfeltets eksperter - Ashay Burungale fra University of Texas, Austin og Princeton. Burungale og Skinner var i stand til at vise, at i det mindste nogle gange, hvis et helt tal har en enkelt tilknyttet matrix, så skal det tal være summen af ​​to rationelle terninger. Deres teorem, som i det væsentlige beviser en relevant del af Birch og Swinnerton-Dyer-formodningen, optræder i papiret som et tre-siders appendiks, som Sarnak beskriver som forunderligt i sig selv.

Burungale og Skinner beviste ikke deres sætning for hvert heltal med præcis én matrix - de var nødt til at pålægge en teknisk betingelse, der reducerede 5/12-undergruppen til 2/21, eller omkring 9.5%, af alle hele tal. Men Bhargava er optimistisk om, at Burungale og Skinner, eller andre forskere i deres område, vil nå resten af ​​5/12 (omkring 41 % i alt) inden alt for længe. "Deres teknikker bliver støt stærkere," sagde Bhargava.

At bevise den fulde formodning - at præcis halvdelen af ​​alle heltal er summen af ​​to terninger - vil kræve, at man til sidst skal tackle det sæt af tal, der har mere end én tilknyttet matrix. Dette sæt, som Bhargava kalder "meget sløret", inkluderer både tal, der er summen af ​​to terninger, og tal, der ikke er. Håndtering af sådanne tal vil kræve helt nye ideer, sagde han.

For nu er forskere glade for endelig at have afgjort spørgsmålet for en betydelig del af hele tal, og de er ivrige efter at undersøge teknikkerne i beviset yderligere. "Det er en af ​​de smukke ting: Du kan forklare resultatet meget nemt, men værktøjerne er meget, meget på forkant med talteorien," sagde Sarnak.