Kvantefeltteori Pries åbent matematisk puslespil

Sidste måned, Karen Vogtmann , Michael Borinsky postet et bevis at der er et lastbillæs af matematisk struktur i en hidtil utilgængelig matematisk verden kaldet grafernes modulrum, som Vogtmann og en samarbejdspartner først beskrevet i midten af ​​1980'erne.

"Det er et super svært problem. Det er fantastisk, de var i stand til det,” sagde Dan Margalit, matematiker ved Georgia Institute of Technology.

Vogtmann og Borinsky startede med spørgsmål, som Vogtmann, en matematiker ved University of Warwick, havde stillet sig selv i årtier. Parret gentænkte derefter spørgsmålet på fysikkens sprog ved at bruge teknikker fra kvantefeltteorien til at komme med deres resultat.

Beviset viser, at visse strukturer eksisterer i modulrummet, men det afslører ikke eksplicit, hvad disse strukturer er. På den måde ligner deres nye resultat mere en metaldetektor end et kamera - det advarer dem om, at der gemmer sig noget interessant, selvom de ikke helt kan beskrive det.

Du kan tænke på modulrummene i grafer som matematiske former med tilføjet dekoration. Hvis du står på et hvilket som helst punkt på formen, vil du se en graf svæve over dig - en samling af punkter eller hjørner, forbundet med kanter. På forskellige steder på et modulrum ændrer graferne sig, deres kanter krymper eller vokser, og nogle gange forsvinder de helt. På grund af disse egenskaber beskriver Borinsky, en matematisk fysiker ved det schweiziske føderale institut for teknologi i Zürich, modulrum som "et stort hav af grafer."

"Rangen" af en graf er antallet af sløjfer, den har; for hver række af grafer findes der et modulrum. Størrelsen af ​​dette mellemrum vokser hurtigt — hvis du fikserer længderne af grafens kanter, er der tre grafer med rang 2, 15 af rang 3, 111 af rang 4 og 2,314,204,852 af rang 10. På modulrummet kan disse længder variere, hvilket introducerer endnu mere kompleksitet.

Formen af ​​modulrummet for grafer af en given rang er bestemt af forholdet mellem graferne. Når du går rundt i rummet, skal grafer i nærheden ligne hinanden og skal forvandles jævnt ind i hinanden. Men disse forhold er komplicerede og efterlader modulrummet med matematisk foruroligende funktioner, såsom områder, hvor tre vægge i modulrummet passerer gennem hinanden.

Matematikere kan studere strukturen af ​​et rum eller en form ved hjælp af objekter kaldet kohomologiklasser, som kan hjælpe med at afsløre, hvordan et rum er sat sammen. Overvej for eksempel en af ​​matematikernes yndlingsformer, doughnuten. På doughnuten er kohomologitimer simpelthen sløjfer.

Man kan tegne flere forskellige slags løkker på overfladen af ​​doughnuten: Sløjfe 1 omkranser doughnutens centrale hul; sløjfe 2 tråde gennem hullet; den tredje "trivielle" løkke sidder på doughnutens side.

Ikke alle kohomologiklasser er dog skabt lige. En løkke, der sidder på ydersiden af ​​donuten - ligesom den tredje løkke - kan altid glide rundt eller krympe for at undgå at skære en anden løkke. Det gør det til en "triviel" kohomologitime.

Men sløjfer 1 og 2 siger meget mere om donutens struktur - de eksisterer kun på grund af hullet. For matematisk at skelne forskellen kan man bruge kryds, forklarede Margalit. Sløjfe 1 og 2 kan glide rundt på overfladen af ​​doughnuten, men medmindre du tvinger dem til at bryde helt væk fra overfladen, vil de altid krydse hinanden. Fordi disse to sløjfer kommer med partnere, som de ikke kan lade være med at krydse, er de "ikke-trivielle" kohomologiklasser.

I modsætning til med en doughnut kan matematikere ikke finde kohomologiklasser på grafernes modulrum blot ved at tegne et billede. Med så store antal grafer er modulrum svære at få styr på, sagde Nathalie Wahl, matematiker ved Københavns Universitet. "Meget hurtigt kan computeren ikke hjælpe mere," sagde hun. Faktisk har kun én ulige-dimensionel ikke-triviel kohomologi-klasse været eksplicit beregnet (i 11 dimensioner), sammen med en håndfuld lige.

Hvad Vogtmann og Borinsky beviste, er, at der er et enormt antal kohomologiklasser, der ligger inden for modulrummet af grafer af en given rangorden - selvom vi ikke kan finde dem. "Vi ved, at der er tonsvis, og vi kender en," sagde Wahl og kaldte tingenes tilstand "latterlig."

I stedet for at arbejde med kohomologiklasser direkte, studerede Borinsky og Vogtmann et nummer kaldet Euler-karakteristikken. Dette tal giver en type måling af modulrummet. Du kan ændre modulrummet på bestemte måder uden at ændre dets Euler-karakteristik, hvilket gør Euler-karakteristikken mere tilgængelig end selve kohomologiklasserne. Og det gjorde Borinsky og Vogtmann. I stedet for at arbejde direkte med modulrummet af grafer, studerede de "rygsøjlen" - i det væsentlige et skelet af det samlede rum. Rygsøjlen har samme Euler-karakteristik som selve modulrummet og er lettere at arbejde med. At beregne Euler-karakteristikken på rygsøjlen kom ned til at tælle en stor samling af grafer.

Borinskys indsigt var at bruge teknikker til at tælle Feynman-diagrammer, som er grafer, der repræsenterer måder, hvorpå kvantepartikler interagerer. Når fysikere ønsker at beregne for eksempel chancerne for, at en kollision mellem en elektron og en positron vil producere to fotoner, skal de summen over alle mulige interaktioner der fører til det resultat. Det betyder et gennemsnit over mange Feynman-diagrammer, hvilket motiverer smarte tællestrategier.

"Jeg indså, at man kan formulere denne form for problem som en slags legetøjs kvantefeltteori-univers," forklarede Borinsky.

Borinsky forestillede sig, at graferne repræsenterede fysiske systemer i en simpel version af universet, hvori der blandt andre antagelser kun er én type partikel. Kvantefeltteori-rammen havde brug for en justering for Borinsky og Vogtmann for at få den rigtige optælling. For eksempel, i kvantefeltteorien, er to grafer, der er spejlbilleder af hinanden, umulige at skelne, sagde Borinsky. Formler til sammenlægning af Feynman-diagrammer inkluderer faktorer, der sikrer, at disse grafer ikke tælles for meget. Men når det kommer til at beregne Euler-karakteristikken, betragtes disse grafer som forskellige. "Vi er nødt til at spille et lille spil med symmetrierne i graferne," sagde Borinsky.

Med lidt programmeringshjælp fra fysikeren Jos Vermaseren, Borinsky og Vogtmann overvandt endelig denne vanskelighed. I deres januar-avis beviste de, at Euler-karakteristikken for modulrummet af grafer af rang n bliver massivt negativ som n bliver større. Dette indebærer, at der er mange, mange ikke-trivielle kohomologiklasser, der skal afsløres inden for hvert modulrum.

Selvom Borinsky og Vogtmanns papir ikke indeholder yderligere hints om disse kohomologiklasser, er det et opmuntrende resultat for forskere, der søger at finde dem - og måske tilføjer det spændingen ved jagten. Margalit fra kohomologiklasserne sagde: "Disse, vi kender, er bare disse ædelstene. Og hver gang vi finder en, er det denne smukke ting.”