Einleitung
Anfang dieses Jahres beschloss ein Trio von Mathematikern, Zitronen zu Limonade zu machen – und machte es schließlich großen Fortschritt zu einem Problem, über das Mathematiker seit Jahrhunderten nachdenken.
Die drei beendeten gerade ein Projekt und dachten über die nächsten Schritte nach, als Ende März zwei von ihnen – Levent Alpöge der Harvard University und Ari Shnidman der Hebräischen Universität Jerusalem – erkrankte separat, aber fast gleichzeitig an Covid-19. Viele Leute würden unter solchen Umständen eine Pause machen, aber das dritte Teammitglied, Manjul Bhargava von der Princeton University, schlug das Gegenteil vor. Er schlug vor, ihre wöchentlichen Zoom-Meetings auf drei- oder viermal pro Woche zu erhöhen, könnte seine kranken Mitarbeiter von ihren Symptomen ablenken. Die Quarantäne, entschieden die drei, könnte eine Gelegenheit sein, ungestört nachzudenken.
Bei diesen Treffen beschäftigten sie sich mit einer der ältesten Fragen der Zahlentheorie: Wie viele ganze Zahlen lassen sich als Summe zweier Kubikbrüche oder, wie Mathematiker sie nennen, als rationale Zahlen schreiben? Die Zahl 6 zum Beispiel kann geschrieben werden als (17/21)3 + (37/21)3, während 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Mathematiker vermuten seit Jahrzehnten, dass sich die Hälfte aller ganzen Zahlen auf diese Weise schreiben lässt. Genau wie bei geraden und ungeraden Zahlen scheint diese Eigenschaft ganze Zahlen in zwei gleiche Lager zu teilen: diejenigen, die die Summe zweier Kubikzahlen sind, und diejenigen, die es nicht sind.
Aber niemand war in der Lage, dies zu beweisen oder auch nur eine Grenze für den Anteil ganzer Zahlen anzugeben, die in jedes Lager fallen. Soweit die Mathematiker wussten, könnte das Lager aus Summen rationaler Würfel verschwindend klein sein – oder es könnte fast jede ganze Zahl enthalten. Mathematiker ausgerechnet haben dass, wenn die so genannte Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung wahr ist (wie allgemein angenommen wird), etwa 59 % der Zahlen bis 10 Millionen die Summe zweier rationaler Würfel sind. Aber solche Daten können bestenfalls Hinweise darauf geben, wie sich der Rest des Zahlenstrahls verhalten könnte.
Im Gegensatz zu den geraden und ungeraden Zahlen „sind diese beiden Lager subtil“, sagte er Barry Mazur von Harvard. Es gibt keinen Test, um festzustellen, welche Nummern in welches Lager gehören, der bekanntermaßen für alle Nummern funktioniert. Mathematiker haben Tests entwickelt, die starke Kandidaten sind, aber im Moment hat jeder einen Nachteil – entweder können Mathematiker nicht beweisen, dass der Test immer zu einem Ergebnis führt, oder sie können nicht beweisen, dass das Ergebnis richtig ist.
Die Schwierigkeit, Kubiksummen und kubische Gleichungen im Allgemeinen zu verstehen, war „eine immer wiederkehrende Verlegenheit für Zahlentheoretiker“, sagte Bhargava. Er gewann die Fields-Medaille 2014 teilweise für seine Arbeit an rationalen Lösungen zu den als elliptische Kurven bekannten kubischen Gleichungen, von denen die Summen zweier Kubikzahlen ein Sonderfall sind.
Nun, in ein Papier Ende Oktober online gestellt, haben Alpöge, Bhargava und Shnidman gezeigt, dass mindestens 2/21 (ca. 9.5 %) und höchstens 5/6 (ca. 83 %) ganzer Zahlen als Summe zweier Kubikbrüche geschrieben werden können.
Die Frage nach Würfelsummen ist nicht nur eine Kuriosität. Elliptische Kurven haben eine äußerst komplizierte Struktur, die sie in den Mittelpunkt vieler Bereiche sowohl der reinen als auch der angewandten Mathematik gerückt hat und insbesondere Kryptographen in die Lage versetzt hat, leistungsstarke Chiffren zu erstellen. Auf die Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung, die zentrale Frage in diesem Bereich, ist als eines der Millennium-Preisprobleme des Clay Mathematics Institute ein Kopfgeld von 1 Million Dollar ausgesetzt.
Die neue Arbeit baut auf einer Reihe von Tools auf, die Bhargava in den letzten 20 Jahren zusammen mit Mitarbeitern entwickelt hat Entdecken Sie die ganze Familie von elliptischen Kurven. Die Summen zweier Würfel zu verstehen bedeutet, eine viel kleinere Familie zu analysieren, und „je kleiner die Familie, desto schwieriger das Problem“, sagte er Peter Sarak des Institute for Advanced Study in Princeton.
Diese besondere Familie schien „außer Reichweite“ zu sein, fügte Sarnak hinzu. „Ich hätte gesagt: ‚Das sieht zu hart aus, viel zu hart.'“
Ein Phasenübergang
Im Gegensatz zu Summen von Brüchen in Kubikzahl, die reichlich vorhanden zu sein scheinen, sind kaum ganze Zahlen die Summe von zwei Quadratbrüchen. Zu Beginn des 1600. Jahrhunderts hatten die Mathematiker Albert Girard und Pierre de Fermat einen einfachen Test entwickelt, um zu bestimmen, welche ganzen Zahlen die Summe zweier Quadrate sind: Zerlege deine Zahl in Primzahlen und überprüfe dann den Exponenten jeder Primzahl, die einen Rest von 3 hat wenn Sie es durch 4 teilen. Wenn diese Exponenten alle gerade sind, ist Ihre Zahl die Summe von zwei Quadratbrüchen; ansonsten ist es nicht. Beispiel: 490 Faktoren in 21 × 51 × 72. Der einzige dieser Faktoren, der beim Teilen durch 3 einen Rest von 4 hat, ist 7, und 7 hat einen geraden Exponenten. Daher ist 490 die Summe zweier Quadrate (für Neugierige ist es gleich 72 + 212).
Die überwiegende Mehrheit der Zahlen fällt beim Test auf gerade Exponenten durch. Wenn Sie zufällig eine ganze Zahl auswählen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um die Summe zweier Quadratbrüche handelt, im Wesentlichen null. Mathematiker glauben, dass dasselbe für Summen von zwei Brüchen gilt, die mit der vierten Potenz oder der fünften Potenz oder jeder Potenz größer als drei erhoben werden. Nur bei den Würfelsummen entsteht plötzlich Fülle.
Mathematiker sind daran gewöhnt, dass sich kubische Gleichungen anders verhalten als die aller anderen Potenzen. Unter den Gleichungen, die aus zwei Variablen bestehen (wie die Summe-von-zwei-Würfel-Gleichungen), sind die Gleichungen, deren höchster Exponent 1 oder 2 ist, in der Regel gut verstanden – normalerweise haben sie entweder keine rationalen Lösungen oder unendlich viele, und es ist im Allgemeinen einfach sag welche. Inzwischen haben die Gleichungen, deren höchster Exponent 4 oder höher ist, im Allgemeinen nur eine endliche Berieselung von rationalen Lösungen.
Kubische Gleichungen hingegen können endlich viele Lösungen haben, unendlich viele oder gar keine. Diese Gleichungen stellen eine Art Phasenübergang zwischen den Exponenten unter 3 und den darüber dar und zeigen Phänomene, die in diesen anderen Einstellungen nie zu sehen sind. „Würfel sind in jeder Hinsicht anders“, sagte Mazur.
Im Gegensatz zu Gleichungen mit niedrigeren Exponenten sind Würfel erschreckend schwer zu ergründen. Es gibt keine übergreifende Methode, um die rationalen Lösungen für kubische Zahlen zu finden oder auch nur zu zählen, die nachweislich immer funktioniert.
„Selbst mit all der Rechenleistung, die wir haben, wenn Sie mir eine elliptische Kurve mit sehr großen Koeffizienten geben, weiß ich nicht unbedingt, wie viele rationale Lösungen sie hat“, sagte er Wei Ho, ein ehemaliger Schüler von Bhargava, der ist derzeit Gastprofessor am Institut für Höhere Studien.
Beim Zweiersummenproblem kann es um gewaltige Brüche gehen: Die Zahl 2,803 zum Beispiel ist die Summe zweier Kubikbrüche, deren Nenner jeweils 40 Stellen haben. Und wenn wir uns einmal Zahlen in Millionenhöhe ansehen, sagte Bhargava, würden viele der Brüche „mehr Ziffern beinhalten, als auf das ganze Papier dieser Welt passen könnten“.
Abbildungsmatrizen
Da elliptische Kurven so unkontrollierbar sind, suchen Zahlentheoretiker nach Wegen, sie mit handhabbareren Objekten zu verknüpfen. Als Alpöge und Shnidman diesen April gegen Covid kämpften, bauten sie und Bhargava auf der Arbeit auf, die letzterer zuvor mit Ho gemacht hatte, und fanden heraus, dass es immer dann eine Möglichkeit gibt, mindestens eine spezielle 2 zu erstellen, wenn eine Würfelsummengleichung rationale Lösungen hat × 2 × 2 × 2 Matrix – ein vierdimensionales Analogon der bekannteren zweidimensionalen Matrix. „Wir fingen an, einen Plan auszuarbeiten, um diese 2 × 2 × 2 × 2-Matrizen zu zählen“, schrieben die drei.
Dazu stützte sich das Team auf zwei klassische Fächer, die jeweils seit mehr als einem Jahrhundert erforscht werden. Eine davon ist die „Geometrie der Zahlen“, bei der es darum geht, Gitterpunkte innerhalb verschiedener geometrischer Formen zu zählen. Dieses Thema hat in den letzten 20 Jahren eine Renaissance auf dem Gebiet der elliptischen Kurven erlebt, was zu einem großen Teil auf die Arbeit von Bhargava und Mitarbeitern zurückzuführen ist.
Die andere Technik, bekannt als Kreismethode, entstand im frühen 20. Jahrhundert in der Arbeit des legendären indischen Mathematikers Srinivasa Ramanujan und seines langjährigen Mitarbeiters GH Hardy. „Dies ist die erste große Anwendung der Kombination der Kreismethode mit diesen Zahlengeometrietechniken“, sagte Ho. „Dieser Teil ist sehr cool.“
Mit diesen Methoden konnte das Trio zeigen, dass für mindestens 1/6 aller ganzen Zahlen keine 2 × 2 × 2 × 2-Matrix existiert. Das bedeutet, dass die Würfelsummengleichung für diese Zahlen keine rationalen Lösungen hat. Also können nicht mehr als 5/6 ganzer Zahlen oder etwa 83 % die Summe von Kubikzahlen zweier Brüche sein.
In umgekehrter Richtung fanden sie heraus, dass mindestens 5/12 aller ganzen Zahlen genau eine übereinstimmende Matrix haben. Es ist verlockend zu schließen, dass diese Zahlen die Summe zweier Kubikzahlen sind, aber das folgt nicht automatisch. Jede Zahl, die die Summe zweier Kubikzahlen ist, hat eine Matrix, aber das bedeutet nicht unbedingt, dass das Gegenteil wahr ist: dass jede Zahl mit einer Matrix die Summe zweier Kubikzahlen ist.
Alpöge, Bhargava und Shnidman brauchten das, was Forscher für elliptische Kurven einen umgekehrten Satz nennen – etwas, das Informationen über eine kubische Gleichung nimmt und sie verwendet, um rationale Lösungen zu konstruieren. Umgekehrte Theoreme bilden ein blühendes Teilgebiet der Theorie der elliptischen Kurven, also wandte sich das Trio an zwei der erfahrenen Praktiker des Teilgebiets – Ashay Burungale der University of Texas, Austin und Princeton. Burungale und Skinner konnten zeigen, dass, wenn eine ganze Zahl eine einzige zugehörige Matrix hat, diese Zahl zumindest zeitweise die Summe zweier rationaler Kubikzahlen sein muss. Ihr Satz, der im Wesentlichen einen relevanten Teil der Birch- und Swinnerton-Dyer-Vermutung beweist, erscheint in der Arbeit als dreiseitiger Anhang, den Sarnak an sich als wunderbar beschreibt.
Burungale und Skinner bewiesen ihren Satz nicht für jede ganze Zahl mit genau einer Matrix – sie mussten eine technische Bedingung aufstellen, die die 5/12-Teilmenge auf 2/21 oder etwa 9.5 % aller ganzen Zahlen reduzierte. Aber Bhargava ist optimistisch, dass Burungale und Skinner oder andere Forscher in ihrem Bereich den Rest des 5/12 (insgesamt etwa 41%) in Kürze erreichen werden. „Ihre Techniken werden immer stärker“, sagte Bhargava.
Der Beweis der vollständigen Vermutung – dass genau die Hälfte aller ganzen Zahlen die Summe zweier Kubikzahlen ist – erfordert schließlich die Behandlung der Menge von Zahlen, die mehr als eine zugehörige Matrix haben. Diese Menge, die Bhargava als „sehr verschwommen“ bezeichnet, enthält sowohl Zahlen, die die Summe zweier Würfel sind, als auch solche, die dies nicht sind. Der Umgang mit solchen Zahlen erfordere völlig neue Ideen, sagte er.
Fürs Erste sind die Forscher froh, die Frage endlich für einen beträchtlichen Anteil ganzer Zahlen geklärt zu haben, und sind bestrebt, die Techniken im Beweis weiter zu untersuchen. „Es ist eines dieser schönen Dinge: Man kann das Ergebnis sehr einfach erklären, aber die Werkzeuge sind sehr, sehr auf dem neuesten Stand der Zahlentheorie“, sagte Sarnak.
