Matrixkonzentrationsungleichungen und Effizienz von zufälligen universellen Sätzen von Quantengattern

Matrixkonzentrationsungleichungen und Effizienz von zufälligen universellen Sätzen von Quantengattern

Zeitstempel: 20. April 2023, 7:57 Uhr
Quellknoten: 2066403

Piotr Dulian1,2 und Adam Sawicki1

1Zentrum für Theoretische Physik, Polnische Akademie der Wissenschaften, Al. Lotników 32/46, 02-668 Warschau, Polen
2Fakultät für Physik, Universität Warschau, Pasteura 5, 02-093 Warschau, Polen

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Abstrakt

Für eine zufällige Menge $mathcal{S} Teilmenge U(d)$ von Quantengattern geben wir Schranken für die Wahrscheinlichkeit an, dass $mathcal{S}$ ein $delta$-näherungsweises $t$-Design bildet. Insbesondere haben wir festgestellt, dass für $mathcal{S}$, das aus einem exakten $t$-Design gezogen wird, die Wahrscheinlichkeit, dass es ein $delta$-approximatives $t$-Design bildet, die Ungleichung $mathbb{P}left(delta geq x rechts)leq 2D_t , frac{e^{-|mathcal{S}| x , mathrm{arctanh}(x)}}{(1-x^2)^{|mathcal{S}|/2}} = Oleft( 2D_t left( frac{e^{-x^2}}{sqrt {1-x^2}} rechts)^{|mathcal{S}|} rechts)$, wobei $D_t$ eine Summe über Dimensionen eindeutiger irreduzibler Darstellungen ist, die in der Zerlegung von $U-Karten zu U^{otimes t} erscheinen otimes bar{U}^{otimes t}$. Wir verwenden unsere Ergebnisse, um zu zeigen, dass man $O( delta^{-2}(tlog(d)-log(1-P))) benötigt, um ein $delta$-approximatives $t$-Design mit der Wahrscheinlichkeit $P$ zu erhalten. $ viele zufällige Tore. Wir analysieren auch, wie sich $delta$ um seinen erwarteten Wert $mathbb{E}delta$ für zufällige $mathcal{S}$ konzentriert. Unsere Ergebnisse gelten sowohl für symmetrische als auch für nichtsymmetrische Gattersätze.

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