1Global Technology Applied Research, JPMorgan Chase, New York, NY 10017
2Fakultät für Mathematik, University of California, Berkeley, CA 94720
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Abstrakt
Der Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) ist ein führender Kandidatenalgorithmus zur Lösung kombinatorischer Optimierungsprobleme auf Quantencomputern. Allerdings erfordert QAOA in vielen Fällen eine rechenintensive Parameteroptimierung. Die Herausforderung der Parameteroptimierung ist besonders akut bei gewichteten Problemen, bei denen die Eigenwerte des Phasenoperators nicht ganzzahlig sind und die QAOA-Energielandschaft nicht periodisch ist. In dieser Arbeit entwickeln wir Parametereinstellungsheuristiken für QAOA, die auf eine allgemeine Klasse gewichteter Probleme angewendet werden. Zunächst leiten wir optimale Parameter für QAOA mit der Tiefe $p=1$ ab, die auf das gewichtete MaxCut-Problem unter verschiedenen Annahmen zu den Gewichten angewendet werden. Insbesondere beweisen wir rigoros die herkömmliche Meinung, dass im Durchschnittsfall das erste lokale Optimum nahe Null global optimale QAOA-Parameter ergibt. Zweitens beweisen wir für $pgeq 1$, dass sich die QAOA-Energielandschaft für gewichteten MaxCut durch eine einfache Neuskalierung der Parameter der für den ungewichteten Fall annähert. Daher können wir Parameter, die zuvor für ungewichtetes MaxCut erhalten wurden, für gewichtete Probleme verwenden. Schließlich beweisen wir, dass sich das QAOA-Ziel für $p=1$ stark auf seine Erwartung konzentriert, was bedeutet, dass unsere Parametereinstellungsregeln mit hoher Wahrscheinlichkeit für eine zufällig gewichtete Instanz gelten. Wir validieren diesen Ansatz anhand allgemein gewichteter Diagramme numerisch und zeigen, dass die QAOA-Energie mit den vorgeschlagenen festen Parametern im Durchschnitt nur 1.1 Prozentpunkte von der mit optimierten Parametern entfernt ist. Drittens schlagen wir ein allgemeines heuristisches Neuskalierungsschema vor, das von den Analyseergebnissen für gewichtetes MaxCut inspiriert ist, und demonstrieren seine Wirksamkeit unter Verwendung von QAOA mit dem XY-Hamming-gewichtserhaltenden Mischer, der auf das Portfoliooptimierungsproblem angewendet wird. Unsere Heuristik verbessert die Konvergenz lokaler Optimierer und reduziert die Anzahl der Iterationen im Durchschnitt um das 7.4-fache.
Ausgewähltes Bild: Verfahren zur Übertragung optimaler QAOA-Parameter vom Sherrington-Kirkpatrick (SK)-Modell auf ein gewichtetes MaxCut-Problem in einem regulären Diagramm derselben Größe. Die $gamma^{text{inf}}$-Parameter werden gemäß der vorgeschlagenen Methode skaliert, während die $beta^{text{inf}}$ fest sind. Das Diagramm zeigt, dass QAOA mit der neuartigen Skalierungstechnik ein höheres Approximationsverhältnis als frühere Techniken erreicht und mit optimierten Parametern vergleichbar ist.
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