Quantenfeldtheorie öffnet mathematisches Puzzle

Letzten Monat Karen Vogtmann und Michael Borinski einen Beweis gepostet dass es eine Wagenladung mathematischer Strukturen in einer bisher unzugänglichen mathematischen Welt namens Modulraum der Graphen gibt, die Vogtmann und ein Mitarbeiter zuerst beschrieben in den mittleren 1980s.

„Das ist ein super schwieriges Problem. Es ist erstaunlich, dass sie dazu in der Lage waren“, sagte Dan Margalit, Mathematiker am Georgia Institute of Technology.

Vogtmann und Borinsky begannen mit Fragen, die sich Vogtmann, Mathematikerin an der University of Warwick, seit Jahrzehnten stellten. Das Paar stellte sich das Problem dann in der Sprache der Physik neu vor und verwendete Techniken aus der Quantenfeldtheorie, um zu ihrem Ergebnis zu kommen.

Der Beweis zeigt, dass bestimmte Strukturen im Modulraum existieren, aber er offenbart nicht explizit, was diese Strukturen sind. Auf diese Weise ähnelt ihr neues Ergebnis eher einem Metalldetektor als einer Kamera – es warnt sie, dass sich etwas Interessantes verbirgt, auch wenn sie es nicht vollständig beschreiben können.

Sie können sich die Modulräume von Graphen als mathematische Formen mit zusätzlicher Dekoration vorstellen. Wenn Sie an einem beliebigen Punkt auf der Form stehen, sehen Sie ein Diagramm, das über Ihnen schwebt – eine Sammlung von Punkten oder Scheitelpunkten, die durch Kanten verbunden sind. An verschiedenen Stellen auf einem Modulraum ändern sich die Graphen, ihre Ränder schrumpfen oder wachsen und verschwinden manchmal ganz. Aufgrund dieser Eigenschaften beschreibt Borinsky, ein mathematischer Physiker an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich, Modulräume als „ein großes Meer von Graphen“.

Der „Rang“ eines Graphen ist die Anzahl der Schleifen, die er hat; für jeden Rang von Graphen existiert ein Modulraum. Die Größe dieses Raums wächst schnell – wenn Sie die Kantenlängen des Graphen festlegen, gibt es drei Graphen mit Rang 2, 15 mit Rang 3, 111 mit Rang 4 und 2,314,204,852 mit Rang 10. Auf dem Modulraum können diese Längen variieren, was zu noch mehr Komplexität führt.

Die Form des Modulraums für Graphen eines gegebenen Ranges wird durch Beziehungen zwischen den Graphen bestimmt. Während Sie durch den Raum gehen, sollten benachbarte Graphen ähnlich sein und sich nahtlos ineinander verwandeln. Aber diese Beziehungen sind kompliziert und verlassen den Modulraum mit mathematisch beunruhigenden Merkmalen, wie zum Beispiel Bereichen, wo drei Wände des Modulraums durcheinander gehen.

Mathematiker können die Struktur eines Raums oder einer Form mithilfe von Objekten untersuchen, die als Kohomologieklassen bezeichnet werden und dabei helfen können, aufzudecken, wie ein Raum zusammengesetzt ist. Betrachten Sie zum Beispiel eine der Lieblingsformen der Mathematiker, den Donut. Auf dem Donut sind Kohomologieklassen einfach Schleifen.

Man kann verschiedene Arten von Schleifen auf die Oberfläche des Donuts zeichnen: Schleife 1 umgibt das zentrale Loch des Donuts; 2 Fäden durch das Loch fädeln; Die dritte „triviale“ Schleife sitzt auf der Seite des Donuts.

Allerdings sind nicht alle Kohomologieklassen gleich. Eine Schleife, die auf der Außenseite des Donuts sitzt – wie die dritte Schleife – kann immer herumrutschen oder schrumpfen, um zu vermeiden, dass sie eine andere Schleife schneidet. Das macht es zu einer „trivialen“ Kohomologieklasse.

Aber die Schleifen 1 und 2 sagen viel mehr über die Struktur des Donuts aus – sie existieren nur wegen des Lochs. Um den Unterschied mathematisch zu erkennen, können Sie Schnittpunkte verwenden, erklärte Margalit. Die Schleifen 1 und 2 können auf der Oberfläche des Donuts herumrutschen, aber wenn Sie sie nicht dazu zwingen, sich vollständig von der Oberfläche zu lösen, werden sie sich immer schneiden. Da diese beiden Schleifen mit Partnern einhergehen, die sie nicht überqueren können, handelt es sich um „nichttriviale“ Kohomologieklassen.

Anders als bei einem Donut können Mathematiker keine Kohomologieklassen zu den Modulräumen von Graphen finden, indem sie einfach ein Bild zeichnen. Bei einer so großen Anzahl von Graphen sind Modulräume schwer zu handhaben, sagte Nathalie Wahl, Mathematikerin an der Universität Kopenhagen. „Sehr schnell kann der Computer nicht mehr helfen“, sagte sie. Tatsächlich gab es nur eine ungeraddimensionale nichttriviale Kohomologieklasse explizit berechnet (in 11 Dimensionen), zusammen mit einer Handvoll gerader.

Was Vogtmann und Borinsky bewiesen haben, ist, dass es eine enorme Anzahl von Kohomologieklassen gibt, die innerhalb des Modulraums von Graphen eines bestimmten Ranges liegen – auch wenn wir sie nicht finden können. “Wir wissen, dass es Tonnen gibt, und wir kennen einen”, sagte Wahl und nannte den Stand der Dinge “lächerlich”.

Anstatt direkt mit Kohomologieklassen zu arbeiten, untersuchten Borinsky und Vogtmann eine Zahl namens Euler-Charakteristik. Diese Zahl liefert eine Art Maß für den Modulraum. Sie können den Modulraum auf bestimmte Weise modifizieren, ohne seine Euler-Charakteristik zu ändern, wodurch die Euler-Charakteristik zugänglicher wird als die Kohomologieklassen selbst. Und das haben Borinsky und Vogtmann getan. Anstatt direkt mit dem Modulraum von Graphen zu arbeiten, untersuchten sie das „Rückgrat“ – im Wesentlichen ein Skelett des Gesamtraums. Die Wirbelsäule hat die gleiche Euler-Charakteristik wie der Modulraum selbst und ist einfacher zu handhaben. Die Berechnung der Euler-Charakteristik auf der Wirbelsäule lief darauf hinaus, eine große Sammlung von Diagrammpaaren zu zählen.

Borinskys Erkenntnis bestand darin, Techniken zum Zählen von Feynman-Diagrammen zu verwenden, bei denen es sich um Diagramme handelt, die darstellen, wie Quantenteilchen interagieren. Wenn Physiker zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit berechnen wollen, dass eine Kollision zwischen einem Elektron und einem Positron zwei Photonen erzeugt, müssen sie das tun Summe über alle möglichen Wechselwirkungen die zu diesem Ergebnis führen. Das bedeutet, über viele Feynman-Diagramme zu mitteln, was zu cleveren Zählstrategien motiviert.

„Mir wurde klar, dass man diese Art von Problem als eine Art Spielzeuguniversum der Quantenfeldtheorie formulieren kann“, erklärte Borinsky.

Borinsky stellte sich vor, dass die Graphen physikalische Systeme in einer einfachen Version des Universums darstellen, in der es neben anderen Annahmen nur eine Art von Teilchen gibt. Der Rahmen der Quantenfeldtheorie musste für Borinsky und Vogtmann angepasst werden, um die richtige Zählung zu erhalten. Zum Beispiel sind in der Quantenfeldtheorie zwei Graphen, die Spiegelbilder voneinander sind, nicht zu unterscheiden, sagte Borinsky. Formeln zum Addieren von Feynman-Diagrammen enthalten Faktoren, die sicherstellen, dass diese Diagramme nicht überzählt werden. Aber wenn es um die Berechnung der Euler-Charakteristik geht, werden diese Graphen als unterschiedlich betrachtet. „Wir müssen ein kleines Spiel mit den Symmetrien der Graphen spielen“, sagte Borinsky.

Mit etwas Programmierhilfe vom Physiker Jos Vermaseren, Borinsky und Vogtmann haben diese Schwierigkeit schließlich überwunden. In ihrer Januar-Arbeit bewiesen sie, dass die Euler-Charakteristik des Modulraums von Ranggraphen gilt n wird massiv negativ wie n wird größer. Dies impliziert, dass es viele, viele nichttriviale Kohomologieklassen gibt, die in jedem Modulraum aufgedeckt werden müssen.

Obwohl die Veröffentlichung von Borinsky und Vogtmann keine weiteren Hinweise auf diese Kohomologie-Klassen enthält, ist sie ein ermutigendes Ergebnis für Forscher, die nach ihnen suchen – und vielleicht trägt es zum Nervenkitzel der Jagd bei. Margalit von den Kohomologieklassen sagte: „Die, die wir kennen, sind einfach diese Edelsteine. Und jedes Mal, wenn wir eine finden, ist es dieses schöne Ding.“