1Google Inc., Venedig, CA 90291, USA
2Zentrum für Theoretische Physik, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA 02139, USA
3Institut für Physik, Harvard University, Cambridge, MA 02138, USA
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Abstrakt
Der Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) ist ein universeller Algorithmus für kombinatorische Optimierungsprobleme, dessen Leistung sich nur mit der Anzahl der Schichten $p$ verbessern kann. Während QAOA als Algorithmus vielversprechend ist, der auf kurzfristigen Quantencomputern ausgeführt werden kann, wurde seine Rechenleistung noch nicht vollständig erforscht. In dieser Arbeit untersuchen wir die auf das Sherrington-Kirkpatrick (SK)-Modell angewendete QAOA, die als Energieminimierung von $n$-Spins mit all-to-all-zufälligen vorzeichenbehafteten Kopplungen verstanden werden kann. Es gibt einen neueren klassischen Algorithmus von Montanari, der unter der Annahme einer weit verbreiteten Vermutung effizient eine Näherungslösung für eine typische Instanz des SK-Modells innerhalb von $(1-epsilon)$ mal der Grundzustandsenergie finden kann. Wir hoffen, seine Leistung mit der QAOA vergleichen zu können.
Unser Hauptergebnis ist eine neuartige Technik, die es uns ermöglicht, die typische Instanzenergie der auf das SK-Modell angewendeten QAOA zu bewerten. Wir erstellen eine Formel für den erwarteten Energiewert als Funktion der $2p$ QAOA-Parameter in der unendlichen Größengrenze, die auf einem Computer mit $O(16^p)$ Komplexität ausgewertet werden kann. Wir werten die Formel bis zu $p=12$ aus und stellen fest, dass die QAOA bei $p=11$ den standardmäßigen semidefiniten Programmieralgorithmus übertrifft. Darüber hinaus zeigen wir Konzentration: Mit einer Wahrscheinlichkeit von $ntoinfty$ gegen Eins werden Messungen des QAOA Saiten erzeugen, deren Energien sich auf unseren berechneten Wert konzentrieren. Als Algorithmus, der auf einem Quantencomputer läuft, müssen wir nicht von Fall zu Fall nach optimalen Parametern suchen, da wir diese im Voraus bestimmen können. Was wir hier haben, ist ein neuer Rahmen zur Analyse der QAOA, und unsere Techniken können von breitem Interesse sein, um ihre Leistung bei allgemeineren Problemen zu bewerten, bei denen klassische Algorithmen versagen könnten.
Ausgewähltes Bild: Werte, die vom QAOA erreicht wurden, angewendet auf das Problem der Minimierung der Energie des Sherrington-Kirkpatrick (SK)-Spin-Glas-Modells. Die Werte für die Tiefe $ple8$ basieren auf der Optimierung der QAOA-Parameter. Die Werte für $9le p le 12$ stammen aus der Auswertung der QAOA bei einigen Parametern, extrapoliert von denen bei niedrigeren $p$, aber nicht weiter optimiert. Bei $p=11$ und höher übertrifft die QAOA den Wert, der durch den Standardalgorithmus der semidefiniten Programmierung (SDP) erreicht wird.
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