Die Symmetrie, die das Lösen mathematischer Gleichungen einfach macht

Denken Sie an die Melodie zu „Pop Goes the Weasel“. Singen Sie jetzt diesen Text:

Negativ b, Plus oder minus
Die Quadratwurzel von b kariert
minus vier a c
Alle! über zwei a

Dieser Jingle hat Generationen von Algebrastudenten geholfen, sich an die quadratische Formel zu erinnern, die jede Gleichung der Form $latex ax^2+bx+c=0$ löst. Die Formel ist so nützlich, wie sie wahrscheinlich im Wörterbuch unter „Mathe-Angst“ auftaucht, und ein kurzer Blick zeigt Ihnen, warum:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

So einschüchternd das auch aussieht, im Inneren verbirgt sich ein einfaches Geheimnis, das das Lösen jeder quadratischen Gleichung einfach macht: Symmetrie. Schauen wir uns an, wie Symmetrie die quadratische Formel zum Funktionieren bringt und wie ein Mangel an Symmetrie das Lösen kubischer Gleichungen (der Form $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) viel, viel schwieriger macht. In der Tat so viel schwieriger, dass einige Mathematiker im 1500. Jahrhundert ihr Leben in erbitterte öffentliche Fehden verwickelt verbrachten, um für die Kubik zu tun, was für die Quadratik so einfach war.

Das Lösen von Gleichungen ist eine Kernkompetenz im Mathematikunterricht – es hilft uns, maximale Gewinne, minimale Entfernungen, Schnittpunkte und vieles mehr zu finden. Eine der grundlegendsten Gleichungen, die wir zu lösen lernen, ist $latex f(x)=0$. Bei einer gegebenen Funktion $latex f(x)$ fragt diese Gleichung: Welche Eingaben x eine Ausgabe von 0 zurückgeben? Aus diesem Grund werden Lösungen dieser Gleichung manchmal als „Nullen“ oder „Wurzeln“ der Funktion bezeichnet.

Bevor wir die Wurzeln jeder quadratischen Funktion finden, fangen wir mit einer einfachen an: Was sind die Wurzeln von $latex f(x)=x^2-9$? Um sie zu finden, lösen Sie einfach die Gleichung $latex f(x)=0$.

$latex f(x)=0$
$Latex x^2-9=0$
$Latex x^2=9$
$latex x=pm3$

Diese Wurzeln sind leicht zu finden, weil diese Gleichung einfach zu lösen ist. Alles, was Sie tun müssen, ist zu isolieren x. Beachten Sie, dass wir $latex pm$ in der letzten Zeile benötigen, da sowohl 3 als auch -3 die Eigenschaft haben, dass Sie 9 erhalten, wenn Sie sie quadrieren. Eine schnelle Überprüfung, ob $latex f(3)=f(-3)=0 $ verifiziert, dass dies tatsächlich die Eingaben sind, die $latex f(x)$ zur Ausgabe 0 machen.

Auch das $latex pm$ weist auf die der Situation innewohnende Symmetrie hin. Die quadratische Funktion hat zwei Wurzeln, und wenn Sie sich die beiden Wurzeln auf einem Zahlenstrahl vorstellen, werden Sie sehen, dass sie symmetrisch zu $latex x=0$ sind.

Und wenn Sie sich daran erinnern, dass der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel ist, macht das sehr viel Sinn. Jede Parabel hat eine Symmetrieachse, die die Parabel in zwei spiegelbildliche Teile teilt. Im Fall von $latex f(x)=x^2-9$ ist die Symmetrieachse die y-Achse (die Zeile $latex x=0$). Wenn Sie $latex f(x)=x^2-9$ auf die übliche Weise grafisch darstellen, indem Sie behandeln x als unabhängige Variable und wenn Sie $latex y=f(x)$ setzen, können Sie ihre Wurzeln auf dem sehen x-Achse, gleich weit entfernt von und auf beiden Seiten der y-Achse.

Bei einem komplizierteren Quadrat wie $latex f(x)=x^2-8x-9$ erfordert das Finden der Wurzeln etwas mehr Graben.

$latex f(x)=0$
$Latex x^2-8x-9=0$
$Latex x^2-8x=9$

Wir können $latex f(x)$ gleich 0 setzen und die 9 wie zuvor auf die rechte Seite verschieben, aber wir können nicht die Quadratwurzel beider Seiten ziehen, um sie zu isolieren x. Dieser andere Begriff mit der x darin steht es im Weg. Aber diese Funktion ist, wie jede quadratische Funktion, symmetrisch, und wir können diese Symmetrie nutzen, um das Problem zu umgehen. Wir brauchen nur ein wenig Algebra, um die Symmetrie transparenter zu machen.

Schreiben wir die Funktion $latex f(x)=x^2-8x-9$ um als $latex f(x)=x(x-8)-9$. Konzentrieren Sie sich nun auf den Teil $latex x(x-8)$. Dies wird in zwei Situationen auf 0 sein – wenn x = 0 oder wenn x = 8 — und dies garantiert, dass $latex f(0)$ und $latex f(8)$ denselben Wert von -9 annehmen. Das gibt uns zwei symmetrische Punkte auf der Parabel, und da die Symmetrieachse $latex x=0$ und $latex x=8$ in der Mitte teilen muss, muss es die Linie $latex x=4$ sein.

Jetzt, da wir die Symmetrie gefunden haben, ist es an der Zeit, sie zu nutzen. Wir werden unsere Parabel um vier Einheiten nach links verschieben, sodass sich ihre Symmetrieachse von der Linie $latex x=4$ zur Linie $latex x=0$ bewegt. Es gibt einen einfachen Weg, diese Übersetzung algebraisch durchzuführen: Wir ersetzen alle x mit x + 4.

Nennen wir $latex g(x)$ die neue quadratische Funktion, die wir erhalten, wenn wir ersetzen x mit x+ 4. Mit anderen Worten, sei $latex g(x)=f(x+4)$. Sehen Sie, was passiert, wenn wir $latex g(x)$ vereinfachen:

$latex g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$latex g(x)=x^2-25$

Nachdem wir das Distributivgesetz einige Male angewendet und ähnliche Terme gesammelt haben, werden die x Term unserer neu übersetzten quadratischen Verschwinder, und das macht es einfach, die Wurzeln von $latex g(x)$ zu finden:

$latexg(x)=0$
$Latex x^2-25=0$
$Latex x^2=25$
$latex x=pm5$

Die Wurzeln von $latex g(x)$ sind $latex x=pm5$, um also die Wurzeln von $latex f(x)=x^2-8x-9$ zu finden, verschieben wir einfach die Wurzeln von $latex g( x)$ vier Einheiten nach rechts zurück. Dies gibt uns die Wurzeln von $latex f(x)$: $latex 4pm5$ oder 9 und -1, was Sie überprüfen können, indem Sie $latex f(9)=f(-1)=0$ berechnen.

Das Geheimnis zum Lösen dieser etwas schwierigeren quadratischen Gleichung bestand darin, sie umzuschieben und sie in eine einfachere quadratische Gleichung umzuwandeln, indem die störenden Elemente eliminiert wurden x Begriff. Dieser Ansatz funktioniert bei jeder quadratischen Funktion. Bei einem beliebigen quadratischen $latex f(x)=ax^2+bx+c$ können Sie seine Symmetrieachse immer mit der gleichen Faktorisierung finden:

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$latex f(x)=x(ax+b)+c$

In dieser Form können Sie sehen, dass $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, was bedeutet, dass die Symmetrieachse auf halbem Weg zwischen $latex x=0$ und $latex x= liegt -frac{b}{a}$. Mit anderen Worten, die Symmetrieachse jeder quadratischen Funktion $latex f(x)=ax^2+bx+c$ ist die Gerade $latex x=-frac{b}{2a}$. Und das sollte Ihnen bekannt vorkommen. Es versteckt sich in der quadratischen Formel!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Es ist einfacher zu sehen, wenn Sie es so umschreiben:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Die quadratische Formel beruht auf der Tatsache, dass die Wurzeln des quadratischen $latex f(x)=ax^2+bx+c$ symmetrisch um $latex x=-frac{b}{2a}$ sind. Und genau wie wir es oben getan haben, können Sie diese Symmetrie verwenden, um sie zu finden: Übersetzen Sie einfach $latex f(x)$ durch $latex -frac{b}{2a}$. Dies hat den Effekt, dass die eliminiert werden x Begriff, den Sie dann leicht isolieren können x und lösen. Tun Sie dies, und Sie erhalten die quadratische Formel. (Siehe die Übungen unten für weitere Details.) Das ist nicht so einfach wie das Summen einer Kindermelodie, aber es demonstriert die wichtigen algebraischen und geometrischen Verbindungen, die diese Formel funktionieren lassen.

Quadratische Gleichungen mit der Kraft der Symmetrie zu lösen, könnte uns ermutigen, eine ähnliche Taktik bei kubischen Gleichungen auszuprobieren. Aber obwohl kubische Zahlen Symmetrie haben, ist es nicht die Art, die beim Lösen von Gleichungen wie $latex f(x)=0$ hilft. Kubische Graphen haben „Punktsymmetrie“, was bedeutet, dass es einen speziellen Punkt auf dem Graphen jeder kubischen Funktion gibt, wo, wenn eine Gerade durch diesen Punkt verläuft und die Kubik irgendwo anders schneidet, sie den Graphen erneut symmetrisch um diesen Punkt schneidet.

Dies ist eine starke Art von Symmetrie, aber es hilft nicht beim Finden von Wurzeln. Das liegt daran, dass die Wurzeln einer Funktion dort auftreten, wo ihr Graph die horizontale Linie $latex y=0$ (die x-Achse), und im Allgemeinen sind diese Schnittpunkte nicht symmetrisch um den speziellen Symmetriepunkt der Kubik.

Tatsächlich könnte eine Kubik nur eine Wurzel haben. Da gibt es keine Symmetrie.

Dennoch gibt es etwas aus unserer früheren Arbeit mit Quadraten, das hilfreich sein kann.

Wenn wir eine quadratische Funktion $latex f(x)=ax^2+bx+c$ haben und wir wissen, dass ihre Wurzeln $latex r_1 $ und $latex r_2$ sind, dann können wir immer $latex f(x)$ hineinschreiben „faktorisierte“ Form: $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Wenn wir das jetzt multiplizieren und vereinfachen, bekommen wir etwas sehr Nützliches, mit dem wir arbeiten können.

$latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Beachten Sie, wie der Koeffizient der x term besteht aus der Summe der beiden Wurzeln $latex r_1$ und $latex r_2$. Dies hängt mit einer von Vietas Formeln zusammen (die Sie vielleicht gesehen haben einmal or zweimal vorher in diesen Spalten): Bei einer quadratischen Funktion $latex f(x)=ax^2+bx+c$ ist die Summe der beiden Wurzeln immer $latex -frac{b}{a}$. Sie können dies zeigen, indem Sie die allgemeine Form des Quadrats gleich seiner faktorisierten Form $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ setzen und beobachten, dass dies nur zwei Polynome tatsächlich können gleich sein ist, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten gleich sind. In diesem Fall sind das die Koeffizienten der x Die Terme auf beiden Seiten der Gleichung müssen gleich sein, damit wir schreiben können

$latex b=-a(r_1+r_2)$

und dann teilen:

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Beachten Sie, dass das Teilen beider Seiten dieser Gleichung durch 2 eine interessante Tatsache demonstriert: Der Durchschnitt der beiden Wurzeln der quadratischen Funktion ist gleich dem x-Wert der Symmetrieachse:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

Das ist sinnvoll, weil die Symmetrieachse in der Mitte der beiden Wurzeln liegen muss und der Durchschnitt zweier beliebiger Zahlen die Zahl ist, die genau in der Mitte zwischen ihnen liegt.

Aber betrachten Sie diese neue Beziehung im Kontext unserer früheren Übersetzung. Das Übersetzen der Parabel durch Verschieben der Symmetrieachse von $latex x = -frac{b}{2a}$ nach $latex x=0$ ändert auch den Durchschnitt der beiden Wurzeln von $latex -frac{b}{2a} $ auf 0.

Aber wenn der Durchschnitt der Wurzeln 0 ist, dann muss die Summe der Wurzeln auch 0 sein, und die Summe der beiden Wurzeln erscheint in der faktorisierten Form des Quadrats:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Das bedeutet, dass das Übersetzen des Quadrats, sodass die Summe der Wurzeln 0 wird, auch das ergibt x Begriff verschwinden. Dies hat uns geholfen, unsere frühere quadratische Gleichung zu lösen, und ein ähnliches Ergebnis über die Wurzeln gilt für kubische Funktionen.

Bei einem allgemeinen kubischen $latex f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ können wir das tun, was wir mit dem Quadrat gemacht haben. Wenn die Kubik die Wurzeln $latex r_1$, $latex r_2$ und $latex r_3$ hat, können wir die kubische Funktion in ihrer faktorisierten Form schreiben $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ und multipliziere es aus. Das ergibt $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$, das wir dann der allgemeinen Form $latex f gleichsetzen (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, und da entsprechende Koeffizienten gleich sein müssen, erhalten wir Vietas Formel für die Summe der Wurzeln einer Kubikzahl:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Beachten Sie, dass wir beide Seiten der Gleichung durch 3 teilen können, um zu erhalten

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

Dies sagt uns, dass die durchschnittliche Wurzel der Kubik $latex -frac{b}{3a}$ ist. Wenn wir nun die Kubik um diesen Betrag übersetzen, ist die durchschnittliche Wurzel 0, wodurch die Summe der Wurzeln gleich 0 wird, was wiederum den Koeffizienten von $latex x^2$ in unserer übersetzten Kubik verschwinden lässt.

Kurz gesagt, die Transformation $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ ergibt eine sogenannte „depressive“ Kubik, was einfach bedeutet, dass sie keinen $latex x^2$-Term hat . Unsere transformierte und deprimierte Kubik wird so aussehen:

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

Die Koeffizienten m und n kann ausgedrückt werden als a, b, c, und d von der ursprünglichen Kubik. Was sie gleich sind, ist weniger wichtig als die Tatsache, dass es garantierte Techniken gibt, um die Wurzeln von depressiven Kubikzahlen zu finden. Tatsächlich stand eine solche Technik im Mittelpunkt eines legendären Streits zwischen Gerolamo Cardano und Niccolò Tartaglia im 1500. Jahrhundert, bei dem es um Freundschaft, Verrat und öffentliche mathematische Duelle ging. Es ist ein lange und faszinierende Geschichte, mit einer bemerkenswerten mathematischen Schlussfolgerung: Die Fähigkeit, jede Kubik in eine depressive Kubik umzuwandeln, zusammen mit der Fähigkeit, jede depressive Kubik zu lösen, ermöglicht es uns, jede kubische Gleichung zu lösen. Sie werden mir verzeihen, dass ich den Rest der Details weggelassen habe, weil es einfach einfacher ist, es Ihnen zu zeigen.

Das ist die kubische Formel, die wie die quadratische Formel jede kubische Gleichung löst. Aber im Gegensatz zur quadratischen Formel hat sie keinen Ohrwurm zum Mitsingen. Du kannst gerne versuchen, einen zu schreiben, aber es wird wahrscheinlich ein paar Strophen und ein oder zwei Refrains brauchen.

Übungen

1. Wenn Sie eine Wurzel einer Kubik kennen, können Sie sicherlich die anderen finden. Warum?

2. Die Wurzeln eines Quadrats können komplexe Zahlen sein. Beeinflusst das nicht das Symmetrie-Argument?

3. Löse bei gegebenem allgemeinen quadratischen $latex f(x)=ax^2+bx+c$ das transformierte quadratische $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$, um abzuleiten quadratische Formel.

4. Was ist der Durchschnitt der Wurzeln der quartischen Funktion $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$?

5. Verwenden Sie die Infinitesimalrechnung, um zu zeigen, dass der Wendepunkt einer Kubik auch ihr Symmetriepunkt ist.