Κβαντική Θεωρία Πεδίου Pries Ανοιχτό Μαθηματικό Παζλ

Τον προηγούμενο μήνα, Κάρεν Φόγκτμαν και Μιχαήλ Μπορίνσκι δημοσίευσε μια απόδειξη ότι υπάρχει ένα φορτηγό μαθηματικής δομής μέσα σε έναν μέχρι τώρα απρόσιτο μαθηματικό κόσμο που ονομάζεται χώρος δομοστοιχείων των γραφημάτων, τον οποίο ο Vogtmann και ένας συνεργάτης του για πρώτη φορά στα μέσα 1980.

«Αυτό είναι ένα εξαιρετικά δύσκολο πρόβλημα. Είναι εκπληκτικό που μπόρεσαν», είπε ο Dan Margalit, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Τζόρτζια.

Η Vogtmann και ο Borinsky ξεκίνησαν με ερωτήσεις που η Vogtmann, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Warwick, έκανε στον εαυτό της εδώ και δεκαετίες. Στη συνέχεια, το ζεύγος αναθεώρησε το ζήτημα στη γλώσσα της φυσικής, χρησιμοποιώντας τεχνικές από την κβαντική θεωρία πεδίου για να καταλήξει στο αποτέλεσμά τους.

Η απόδειξη δείχνει ότι ορισμένες δομές υπάρχουν στον χώρο των δομοστοιχείων, αλλά δεν αποκαλύπτει ρητά ποιες είναι αυτές οι δομές. Με αυτόν τον τρόπο, το νέο τους αποτέλεσμα μοιάζει περισσότερο με ανιχνευτή μετάλλων παρά με κάμερα — τους ειδοποιεί ότι κάτι ενδιαφέρον κρύβεται, παρόλο που δεν μπορούν να το περιγράψουν πλήρως.

Μπορείτε να σκεφτείτε τους χώρους των μονάδων των γραφημάτων ως μαθηματικά σχήματα με πρόσθετη διακόσμηση. Εάν στέκεστε σε οποιοδήποτε σημείο του σχήματος, θα δείτε ένα γράφημα να επιπλέει από πάνω σας — μια συλλογή σημείων ή κορυφών, που συνδέονται με ακμές. Σε διαφορετικές τοποθεσίες σε ένα χώρο συντελεστών, τα γραφήματα αλλάζουν, οι άκρες τους συρρικνώνονται ή μεγαλώνουν και μερικές φορές εξαφανίζονται εντελώς. Εξαιτίας αυτών των χαρακτηριστικών, ο Μπορίνσκι, μαθηματικός φυσικός στο Ελβετικό Ομοσπονδιακό Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Ζυρίχης, περιγράφει τους χώρους των μονάδων ως «μια μεγάλη θάλασσα από γραφήματα».

Η "κατάταξη" ενός γραφήματος είναι ο αριθμός των βρόχων που έχει. Για κάθε κατάταξη γραφημάτων, υπάρχει ένας χώρος συντελεστών. Το μέγεθος αυτού του διαστήματος μεγαλώνει γρήγορα — αν διορθώσετε τα μήκη των άκρων του γραφήματος, υπάρχουν τρία γραφήματα της κατάταξης 2, 15 της κατάταξης 3, 111 της κατάταξης 4 και 2,314,204,852 της κατάταξης 10. Στο χώρο των μονάδων, αυτά τα μήκη μπορούν ποικίλλουν, εισάγοντας ακόμη μεγαλύτερη πολυπλοκότητα.

Το σχήμα του χώρου των μονάδων για γραφήματα μιας δεδομένης κατάταξης καθορίζεται από τις σχέσεις μεταξύ των γραφημάτων. Καθώς περπατάτε στον χώρο, τα κοντινά γραφήματα πρέπει να είναι παρόμοια και να μεταμορφώνονται ομαλά το ένα στο άλλο. Αλλά αυτές οι σχέσεις είναι περίπλοκες, αφήνοντας τον χώρο των δομοστοιχείων με μαθηματικά ανησυχητικά χαρακτηριστικά, όπως περιοχές όπου τρία τοιχώματα του χώρου των μονάδων διέρχονται το ένα από το άλλο.

Οι μαθηματικοί μπορούν να μελετήσουν τη δομή ενός χώρου ή ενός σχήματος χρησιμοποιώντας αντικείμενα που ονομάζονται τάξεις συνομολογίας, τα οποία μπορούν να βοηθήσουν στην αποκάλυψη του τρόπου συναρμολόγησης ενός χώρου. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα από τα αγαπημένα σχήματα των μαθηματικών, το ντόνατ. Στο ντόνατ, τα μαθήματα κοομολογίας είναι απλά βρόχοι.

Κάποιος μπορεί να σχεδιάσει πολλά διαφορετικά είδη βρόχων στην επιφάνεια του ντόνατ: Ο βρόχος 1 περιβάλλει την κεντρική τρύπα του ντόνατ. βρόχο 2 κλωστές μέσα από την τρύπα. ο τρίτος «τετριμμένος» βρόχος κάθεται στην πλευρά του ντόνατ.

Ωστόσο, δεν δημιουργούνται όλες οι τάξεις κοομολογίας ίσες. Ένας βρόχος που κάθεται στο εξωτερικό του ντόνατ - όπως ο τρίτος βρόχος - μπορεί πάντα να γλιστρήσει ή να συρρικνωθεί για να αποφευχθεί η διασταύρωση ενός άλλου βρόχου. Αυτό το καθιστά ένα «τετριμμένο» μάθημα κοομολογίας.

Αλλά οι βρόχοι 1 και 2 λένε πολλά περισσότερα για τη δομή του ντόνατ — υπάρχουν μόνο λόγω της τρύπας. Για να διακρίνετε μαθηματικά τη διαφορά, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διασταυρώσεις, εξήγησε η Margalit. Οι βρόχοι 1 και 2 μπορούν να γλιστρήσουν στην επιφάνεια του ντόνατ, αλλά αν δεν τους αναγκάσετε να απομακρυνθούν εντελώς από την επιφάνεια, θα τέμνονται πάντα μεταξύ τους. Επειδή αυτοί οι δύο βρόχοι συνοδεύονται από συνεργάτες που δεν μπορούν παρά να διασταυρωθούν, είναι «μη τετριμμένα» μαθήματα κοομολογίας.

Σε αντίθεση με ένα ντόνατ, οι μαθηματικοί δεν μπορούν να βρουν μαθήματα κοομολογίας στους χώρους των μονάδων των γραφημάτων απλώς σχεδιάζοντας μια εικόνα. Με τόσο τεράστιους αριθμούς γραφημάτων, οι χώροι των μονάδων είναι δύσκολο να ληφθούν υπόψη, είπε η Nathalie Wahl, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης. «Πολύ γρήγορα, ο υπολογιστής δεν μπορεί να βοηθήσει πια», είπε. Πράγματι, μόνο μια περιττή, μη τετριμμένη τάξη κοομολογίας ήταν ρητά υπολογισμένο (σε 11 διαστάσεις), μαζί με μια χούφτα ζυγές.

Αυτό που απέδειξαν οι Vogtmann και Borinsky είναι ότι υπάρχουν τεράστιοι αριθμοί τάξεων κοομολογίας που βρίσκονται μέσα στο χώρο των μονάδων γραφημάτων μιας δεδομένης κατάταξης — παρόλο που δεν μπορούμε να τις βρούμε. «Γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τόνοι, και ξέρουμε έναν», είπε ο Wahl, χαρακτηρίζοντας την κατάσταση των πραγμάτων «γελοία».

Αντί να δουλέψουν απευθείας με μαθήματα κοομολογίας, ο Μπορίνσκι και ο Φόγκτμαν μελέτησαν έναν αριθμό που ονομάζεται χαρακτηριστικό του Euler. Αυτός ο αριθμός παρέχει έναν τύπο μέτρησης του χώρου των συντελεστών. Μπορείτε να τροποποιήσετε τον χώρο των μονάδων με συγκεκριμένους τρόπους χωρίς να αλλάξετε το χαρακτηριστικό του Euler, καθιστώντας το χαρακτηριστικό Euler πιο προσιτό από τις ίδιες τις τάξεις συνομολογίας. Και αυτό έκαναν ο Borinsky και ο Vogtmann. Αντί να δουλέψουν απευθείας με τον χώρο των μονάδων των γραφημάτων, μελέτησαν τη «σπονδυλική στήλη» — ουσιαστικά έναν σκελετό του συνολικού χώρου. Η σπονδυλική στήλη έχει το ίδιο χαρακτηριστικό Euler με τον ίδιο τον χώρο των moduli και είναι ευκολότερο να δουλέψει μαζί του. Ο υπολογισμός του χαρακτηριστικού Euler στη σπονδυλική στήλη κατέληξε στην καταμέτρηση μιας μεγάλης συλλογής ζευγών γραφημάτων.

Η διορατικότητα του Μπορίνσκι ήταν να χρησιμοποιήσει τεχνικές για την μέτρηση των διαγραμμάτων Feynman, τα οποία είναι γραφήματα που αντιπροσωπεύουν τρόπους αλληλεπίδρασης των κβαντικών σωματιδίων. Όταν οι φυσικοί θέλουν να υπολογίσουν, ας πούμε, τις πιθανότητες μια σύγκρουση μεταξύ ενός ηλεκτρονίου και ενός ποζιτρονίου να παράγει δύο φωτόνια, πρέπει να άθροισμα όλων των πιθανών αλληλεπιδράσεων που οδηγούν σε αυτό το αποτέλεσμα. Αυτό σημαίνει τη λήψη μέσου όρου σε πολλά διαγράμματα Feynman, παρακινώντας έξυπνες στρατηγικές μέτρησης.

«Συνειδητοποίησα ότι μπορεί κανείς να διατυπώσει αυτό το είδος προβλήματος σαν ένα σύμπαν παιχνιδιών κβαντικής θεωρίας πεδίου», εξήγησε ο Μπορίνσκι.

Ο Μπορίνσκι φαντάστηκε τα γραφήματα σαν να αντιπροσωπεύουν φυσικά συστήματα σε μια απλή εκδοχή του σύμπαντος, στην οποία, μεταξύ άλλων υποθέσεων, υπάρχει μόνο ένας τύπος σωματιδίου. Το πλαίσιο της κβαντικής θεωρίας πεδίου χρειαζόταν κάποια προσαρμογή για τους Borinsky και Vogtmann για να πάρουν τη σωστή μέτρηση. Για παράδειγμα, στην κβαντική θεωρία πεδίου, δύο γραφήματα που είναι κατοπτρικές εικόνες το ένα του άλλου δεν διακρίνονται, είπε ο Μπορίνσκι. Οι τύποι για την πρόσθεση των διαγραμμάτων Feynman περιλαμβάνουν παράγοντες που διασφαλίζουν ότι αυτά τα γραφήματα δεν υπερμετρώνται. Αλλά όταν πρόκειται για τον υπολογισμό του χαρακτηριστικού Euler, αυτά τα γραφήματα θεωρούνται διαφορετικά. «Πρέπει να παίξουμε ένα μικρό παιχνίδι με τις συμμετρίες των γραφημάτων», είπε ο Borinsky.

Με κάποια προγραμματιστική βοήθεια από τον φυσικό Jos Vermaseren, ο Borinsky και ο Vogtmann τελικά ξεπέρασαν αυτή τη δυσκολία. Στην εργασία τους τον Ιανουάριο, απέδειξαν ότι το χαρακτηριστικό Euler του χώρου συντελεστών των γραφημάτων κατάταξης n γίνεται μαζικά αρνητικό ως n γίνεται μεγαλύτερο. Αυτό συνεπάγεται ότι υπάρχουν πολλές, πολλές μη τετριμμένες τάξεις συνομολογίας που πρέπει να αποκαλυφθούν μέσα σε κάθε χώρο δομοστοιχείων.

Αν και η εργασία των Borinsky και Vogtmann δεν περιέχει περαιτέρω υποδείξεις για αυτά τα μαθήματα κοομολογίας, είναι ένα ενθαρρυντικό αποτέλεσμα για τους ερευνητές που αναζητούν να τα βρουν - και ίσως προσθέτει στη συγκίνηση του κυνηγιού. Είπε η Margalit από τα μαθήματα κοομολογίας: «Αυτά που ξέρουμε είναι μόνο αυτά τα πετράδια. Και κάθε φορά που βρίσκουμε ένα, είναι τόσο όμορφο».