Η συμμετρία που κάνει εύκολη την επίλυση μαθηματικών εξισώσεων

Σκεφτείτε τη μελωδία του "Pop Goes the Weasel". Τώρα τραγουδήστε αυτούς τους στίχους:

Αρνητικός b, συν ή πλην
Η τετραγωνική ρίζα του b τετράγωνο
μείον τέσσερα a c
Ολα! πάνω από δύο a

Αυτό το κουδούνισμα βοήθησε γενιές μαθητών της άλγεβρας να ανακαλέσουν τον τετραγωνικό τύπο που λύνει κάθε εξίσωση της μορφής $latex ax^2+bx+c=0$. Ο τύπος είναι τόσο χρήσιμος όσο είναι πιθανό να εμφανίζεται στο λεξικό με το "math anxiety" και μια γρήγορη ματιά σας δείχνει γιατί:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Όσο τρομακτικό κι αν φαίνεται αυτό, η απόκρυψη μέσα είναι ένα απλό μυστικό που κάνει εύκολη την επίλυση κάθε δευτεροβάθμιας εξίσωσης: συμμετρία. Ας δούμε πώς η συμμετρία κάνει τον τετραγωνικό τύπο να λειτουργεί και πώς η έλλειψη συμμετρίας κάνει την επίλυση κυβικών εξισώσεων (της μορφής $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) πολύ, πολύ πιο δύσκολη. Τόσο πολύ πιο δύσκολο, στην πραγματικότητα, που μερικοί μαθηματικοί στη δεκαετία του 1500 πέρασαν τη ζωή τους μπλεγμένοι σε πικρές δημόσιες διαμάχες ανταγωνιζόμενοι να κάνουν για τα κυβικά ό,τι γινόταν τόσο εύκολα για τα τετραγωνικά.

Η επίλυση εξισώσεων είναι μια βασική δεξιότητα στην τάξη των μαθηματικών — μας βοηθά να βρούμε τα μέγιστα κέρδη, τις ελάχιστες αποστάσεις, τα σημεία τομής και πολλά άλλα. Μία από τις πιο βασικές εξισώσεις που μαθαίνουμε να λύνουμε είναι $latex f(x)=0$. Με δεδομένη μια συνάρτηση $latex f(x)$, αυτή η εξίσωση ρωτά: Ποιες εισόδους x να επιστρέψει μια έξοδο 0; Για το λόγο αυτό, οι λύσεις αυτής της εξίσωσης μερικές φορές ονομάζονται «μηδενικά» ή «ρίζες» της συνάρτησης.

Πριν βρούμε τις ρίζες κάθε τετραγωνικής συνάρτησης, ας ξεκινήσουμε με μια εύκολη: Ποιες είναι οι ρίζες του $latex f(x)=x^2-9$; Για να τα βρείτε, απλώς λύστε την εξίσωση $latex f(x)=0$.

$λάτεξ f(x)=0$
$λάτεξ x^2-9=0$
$λάτεξ x^2=9$
$latex x=pm3$

Αυτές οι ρίζες είναι εύκολο να βρεθούν επειδή αυτή η εξίσωση είναι εύκολο να λυθεί. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να απομονωθείτε x. Παρατηρήστε ότι χρειαζόμαστε αυτό το $latex pm$ στην τελευταία γραμμή, επειδή και το 3 και το -3 έχουν την ιδιότητα ότι όταν τα τετραγωνίσετε παίρνετε 9. Ένας γρήγορος έλεγχος ότι $latex f(3)=f(-3)=0 Το $ επαληθεύει ότι αυτές είναι πράγματι οι είσοδοι που κάνουν την έξοδο $latex f(x)$ 0.

Αυτό το $latex pm$ δείχνει επίσης τη συμμετρία που είναι εγγενής στην κατάσταση. Η τετραγωνική συνάρτηση έχει δύο ρίζες και αν φανταστείτε τις δύο ρίζες σε μια αριθμητική γραμμή, θα δείτε ότι είναι συμμετρικές περίπου $latex x=0$.

Και όταν θυμάστε ότι η γραφική παράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης είναι μια παραβολή, αυτό είναι πολύ λογικό. Κάθε παραβολή έχει έναν άξονα συμμετρίας που χωρίζει την παραβολή σε δύο κομμάτια κατοπτρικής εικόνας. Στην περίπτωση του $latex f(x)=x^2-9$, ο άξονας συμμετρίας είναι ο y-άξονας (η γραμμή $latex x=0$). Όταν γράφετε $latex f(x)=x^2-9$ με τον συνηθισμένο τρόπο, με επεξεργασία x ως ανεξάρτητη μεταβλητή και ορίζοντας $latex y=f(x)$, μπορείτε να δείτε τις ρίζες της στο x-άξονας, σε ίση απόσταση από και εκατέρωθεν του y-άξονας.

Για ένα πιο περίπλοκο τετράγωνο όπως το $latex f(x)=x^2-8x-9$, η εύρεση των ριζών απαιτεί λίγο περισσότερο σκάψιμο.

$λάτεξ f(x)=0$
$latex x^2-8x-9=0$
$latex x^2-8x=9$

Μπορούμε να ορίσουμε το $latex f(x)$ ίσο με 0 και να μετακινήσουμε το 9 στη δεξιά πλευρά όπως κάναμε πριν, αλλά δεν μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών για να απομονώσουμε x. Αυτός ο άλλος όρος με το x σε αυτό στέκεται εμπόδιο. Αλλά αυτή η συνάρτηση, όπως κάθε τετράγωνο, είναι συμμετρική και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή τη συμμετρία για να περιηγηθούμε γύρω από το πρόβλημα. Χρειαζόμαστε μόνο λίγη άλγεβρα για να κάνουμε τη συμμετρία πιο διαφανή.

Ας ξαναγράψουμε τη συνάρτηση $latex f(x)=x^2-8x-9$ ως $latex f(x)=x(x-8)-9$. Τώρα εστιάστε στο τμήμα $latex x(x-8)$. Αυτό θα είναι στο 0 σε δύο περιπτώσεις — εάν x = 0 ή αν x = 8 — και αυτό εγγυάται ότι το $latex f(0)$ και το $latex f(8)$ θα έχουν την ίδια τιμή -9. Αυτό μας δίνει δύο συμμετρικά σημεία στην παραβολή, και εφόσον ο άξονας συμμετρίας πρέπει να χωρίσει το $latex x=0$ και το $latex x=8$ στη μέση, πρέπει να είναι η ευθεία $latex x=4$.

Τώρα που βρήκαμε τη συμμετρία, ήρθε η ώρα να την αξιοποιήσουμε. Θα μετατοπίσουμε την παραβολή μας τέσσερις μονάδες προς τα αριστερά, έτσι ώστε ο άξονας συμμετρίας της να μετακινηθεί από την ευθεία $latex x=4$ στην ευθεία $latex x=0$. Υπάρχει ένας απλός τρόπος για να εκτελέσετε αυτή τη μετάφραση αλγεβρικά: Αντικαθιστούμε κάθε x με x + 4.

Ας ονομάσουμε $latex g(x)$ τη νέα τετραγωνική συνάρτηση που παίρνουμε όταν αντικαθιστούμε x με x+ 4. Με άλλα λόγια, έστω $latex g(x)=f(x+4)$. Παρακολουθήστε τι συμβαίνει όταν απλοποιούμε το $latex g(x)$:

$λάτεξ g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$λάτεξ g(x)=x^2-25$

Αφού εφαρμόσουμε την ιδιότητα διανομής μερικές φορές και συλλέξουμε παρόμοιους όρους, οι x Ο όρος του νέου μεταφρασμένου τετραγωνικού μας εξαφανίζεται και αυτό καθιστά εύκολη την εύρεση των ριζών του $latex g(x)$:

$λάτεξ g(x)=0$
$λάτεξ x^2-25=0$
$λάτεξ x^2=25$
$latex x=pm5$

Οι ρίζες του $latex g(x)$ είναι $latex x=pm5$, οπότε για να βρούμε τις ρίζες του $latex f(x)=x^2-8x-9$, απλώς μετακινούμε τις ρίζες του $latex g( x)$ πίσω τέσσερις μονάδες προς τα δεξιά. Αυτό μας δίνει τις ρίζες του $latex f(x)$: $latex 4pm5$ ή 9 και -1, τις οποίες μπορείτε να επαληθεύσετε υπολογίζοντας $latex f(9)=f(-1)=0$.

Το μυστικό για την επίλυση αυτής της ελαφρώς δυσκολότερης τετραγωνικής εξίσωσης ήταν να την σύρετε και να την μετατρέψετε σε μια ευκολότερη τετραγωνική εξίσωση εξαλείφοντας την παρεμβολή x όρος. Αυτή η προσέγγιση θα λειτουργήσει σε οποιαδήποτε τετραγωνική συνάρτηση. Με δεδομένο ένα αυθαίρετο τετραγωνικό $latex f(x)=ax^2+bx+c$, μπορείτε πάντα να βρείτε τον άξονα συμμετρίας του με το ίδιο bit παραγοντοποίησης:

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$λάτεξ f(x)=x(ax+b)+c$

Σε αυτή τη φόρμα μπορείτε να δείτε ότι $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, που σημαίνει ότι ο άξονας συμμετρίας βρίσκεται στα μισά του δρόμου μεταξύ $latex x=0$ και $latex x= -frac{b}{a}$. Με άλλα λόγια, ο άξονας συμμετρίας οποιασδήποτε τετραγωνικής συνάρτησης $latex f(x)=ax^2+bx+c$ είναι η ευθεία $latex x=-frac{b}{2a}$. Και αυτό πρέπει να φαίνεται γνωστό. Κρύβεται στον τετραγωνικό τύπο!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Είναι πιο εύκολο να δεις αν το ξαναγράψεις ως εξής:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Ο τετραγωνικός τύπος βασίζεται στο γεγονός ότι οι ρίζες του τετραγωνικού $latex f(x)=ax^2+bx+c$ είναι συμμετρικές ως προς το $latex x=-frac{b}{2a}$. Και όπως κάναμε παραπάνω, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτήν τη συμμετρία για να τα βρείτε: Απλώς μεταφράστε $latex f(x)$ με $latex -frac{b}{2a}$. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την εξάλειψη του x όρος, ο οποίος σας επιτρέπει στη συνέχεια να απομονώσετε εύκολα x και λύσει. Κάντε αυτό και θα λάβετε τον τετραγωνικό τύπο. (Δείτε τις παρακάτω ασκήσεις για περισσότερες λεπτομέρειες.) Αυτό δεν είναι τόσο εύκολο όσο το βουητό μιας παιδικής μελωδίας, αλλά δείχνει τις σημαντικές αλγεβρικές και γεωμετρικές συνδέσεις που κάνουν αυτόν τον τύπο να λειτουργεί.

Η επίλυση τετραγωνικών με τη δύναμη της συμμετρίας μπορεί να μας ενθαρρύνει να δοκιμάσουμε μια παρόμοια τακτική στις κυβικές εξισώσεις. Αλλά ενώ τα κυβικά έχουν συμμετρία, δεν είναι το είδος που βοηθά στην επίλυση εξισώσεων όπως $latex f(x)=0$. Τα κυβικά γραφήματα έχουν "σημειακή συμμετρία", που σημαίνει ότι υπάρχει ένα ειδικό σημείο στη γραφική παράσταση κάθε κυβικής συνάρτησης όπου, εάν μια ευθεία διέρχεται από αυτό το σημείο και τέμνει το κυβικό οπουδήποτε αλλού, τέμνει το γράφημα και πάλι συμμετρικά ως προς αυτό το σημείο.

Αυτός είναι ένας ισχυρός τύπος συμμετρίας, αλλά δεν βοηθά στην εύρεση ριζών. Αυτό συμβαίνει επειδή οι ρίζες μιας συνάρτησης εμφανίζονται εκεί όπου το γράφημα της διασχίζει την οριζόντια γραμμή $latex y=0$ (το x-άξονας), και γενικά, αυτές οι τομές δεν είναι συμμετρικές ως προς το ειδικό σημείο συμμετρίας του κυβικού.

Στην πραγματικότητα, ένα κυβικό μπορεί να έχει μόνο ρίζα. Δεν υπάρχει συμμετρία.

Ωστόσο, υπάρχει κάτι από την προηγούμενη δουλειά μας με τετράγωνα που μπορεί να βοηθήσει.

Εάν έχουμε μια τετραγωνική συνάρτηση $latex f(x)=ax^2+bx+c$ και γνωρίζουμε ότι οι ρίζες της είναι $latex r_1 $ και $latex r_2$, τότε μπορούμε πάντα να γράφουμε $latex f(x)$ Μορφή "factored": $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Τώρα, όταν το πολλαπλασιάσουμε και το απλοποιήσουμε, έχουμε κάτι πολύ χρήσιμο για να δουλέψουμε.

$λάτεξ f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Παρατηρήστε πώς ο συντελεστής του x ο όρος περιλαμβάνει το άθροισμα των δύο ριζών $latex r_1$ και $latex r_2$. Αυτό σχετίζεται με έναν από τους τύπους του Vieta (που μπορεί να έχετε δει μια φορά or δυο φορές πριν σε αυτές τις στήλες): Με δεδομένη μια τετραγωνική συνάρτηση $latex f(x)=ax^2+bx+c$, το άθροισμα των δύο ριζών θα είναι πάντα $latex -frac{b}{a}$. Μπορείτε να το δείξετε αυτό ορίζοντας τη γενική μορφή του τετραγωνικού ίση με τη συντελεστή του μορφή $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ και παρατηρώντας ότι ο μόνος τρόπος που δύο πολυώνυμα μπορούν πραγματικά να είναι το ίδιο εάν οι αντίστοιχοι συντελεστές τους είναι ίδιοι. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό σημαίνει τους συντελεστές του x Οι όροι και στις δύο πλευρές της εξίσωσης πρέπει να είναι ίσοι, ώστε να μπορούμε να γράψουμε

$λάτεξ b=-a(r_1+r_2)$

και μετά διαιρέστε:

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Παρατηρήστε ότι η διαίρεση και των δύο πλευρών αυτής της εξίσωσης με το 2 δείχνει ένα ενδιαφέρον γεγονός: Ο μέσος όρος των δύο ριζών της τετραγωνικής συνάρτησης είναι ίσος με το x-τιμή του άξονα συμμετρίας:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

Αυτό είναι λογικό, επειδή ο άξονας συμμετρίας πρέπει να βρίσκεται στο μέσο των δύο ριζών και ο μέσος όρος οποιωνδήποτε δύο αριθμών είναι ο αριθμός ακριβώς στη μέση τους.

Εξετάστε όμως αυτή τη νέα σχέση στο πλαίσιο της προηγούμενης μετάφρασής μας. Η μετάφραση της παραβολής από την αρχή μετακινώντας τον άξονα συμμετρίας από $latex x = -frac{b}{2a}$ σε $latex x=0$ αλλάζει επίσης τον μέσο όρο των δύο ριζών από $latex -frac{b}{2a} $ έως 0.

Αλλά αν ο μέσος όρος των ριζών είναι 0, τότε το άθροισμα των ριζών πρέπει επίσης να είναι 0, και το άθροισμα των δύο ριζών εμφανίζεται στην παραγοντική μορφή του τετραγωνικού:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Αυτό σημαίνει ότι η μετάφραση του τετραγωνικού έτσι ώστε το άθροισμα των ριζών να γίνει 0 κάνει επίσης το x ο όρος εξαφανίζεται. Αυτό είναι που μας βοήθησε να λύσουμε την προηγούμενη τετραγωνική μας εξίσωση, και ένα παρόμοιο αποτέλεσμα σχετικά με τις ρίζες ισχύει για τις κυβικές συναρτήσεις.

Δεδομένου ενός γενικού κυβικού $latex f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, μπορούμε να κάνουμε ό,τι κάναμε με το τετράγωνο. Εάν το κυβικό έχει ρίζες $latex r_1$, $latex r_2$ και $latex r_3$, μπορούμε να γράψουμε την κυβική συνάρτηση με την παραγοντική της μορφή $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ και πολλαπλασιάστε το. Αυτό μας δίνει $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$ που στη συνέχεια ορίσαμε ίσο με τη γενική μορφή $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, και εφόσον οι αντίστοιχοι συντελεστές πρέπει να είναι ίδιοι, καταλήγουμε στον τύπο του Vieta για το άθροισμα των ριζών ενός κυβικού:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Παρατηρήστε ότι μπορούμε να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3 για να πάρουμε

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

Αυτό μας λέει ότι η μέση ρίζα του κυβικού είναι $latex -frac{b}{3a}$. Τώρα, αν μεταφράσουμε το κυβικό με αυτό το ποσό, η μέση ρίζα θα είναι 0, που θα κάνει το άθροισμα των ριζών ίσο με 0, το οποίο με τη σειρά του θα κάνει τον συντελεστή $latex x^2$ στο μεταφρασμένο κυβικό μας να εξαφανιστεί.

Εν ολίγοις, ο μετασχηματισμός $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ αποδίδει αυτό που είναι γνωστό ως "καταθλιπτικό" κυβικό, που σημαίνει απλώς ότι δεν έχει όρο $latex x^2$ . Ο μετασχηματισμένος και καταθλιπτικός κυβικός μας θα μοιάζει με αυτό:

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

Οι συντελεστές m και n μπορεί να εκφραστεί με όρους α, β, γ, και d από το αρχικό κυβικό. Το τι ισούνται είναι λιγότερο σημαντικό από το γεγονός ότι υπάρχουν εγγυημένες τεχνικές για την εύρεση των ριζών των καταθλιπτικών κυβικών. Στην πραγματικότητα, μια τέτοια τεχνική ήταν στο επίκεντρο μιας θρυλικής διαμάχης μεταξύ του Gerolamo Cardano και του Niccolò Tartaglia το 1500 που περιελάμβανε φιλία, προδοσία και δημόσιες μαθηματικές μονομαχίες. Είναι ένα μακρά και συναρπαστική ιστορία, με ένα αξιοσημείωτο μαθηματικό συμπέρασμα: Η ικανότητα να μετατρέπουμε οποιοδήποτε κυβικό σε συμπιεσμένο κυβικό, μαζί με την ικανότητα να λύνουμε οποιοδήποτε συμπιεσμένο κυβικό, μας επιτρέπει να λύνουμε κάθε κυβική εξίσωση. Θα με συγχωρήσετε που άφησα τις υπόλοιπες λεπτομέρειες γιατί, λοιπόν, είναι πιο εύκολο να σας δείξω.

Αυτός είναι ο κυβικός τύπος, ο οποίος, όπως και ο τετραγωνικός τύπος, λύνει κάθε κυβική εξίσωση. Αλλά σε αντίθεση με την τετραγωνική φόρμουλα, δεν έχει κανένα πιασάρικο τραγούδι για να τραγουδήσει. Είστε ευπρόσδεκτοι να προσπαθήσετε να γράψετε ένα, αλλά μάλλον θα χρειαστεί μερικούς στίχους και ένα ή δύο ρεφρέν.

Ασκήσεις

1. Αν γνωρίζετε μια ρίζα ενός κυβικού, σίγουρα μπορείτε να βρείτε και τις άλλες. Γιατί;

2. Οι ρίζες ενός τετραγωνικού μπορεί να είναι μιγαδικοί αριθμοί. Αυτό δεν επηρεάζει το όρισμα συμμετρίας;

3. Δεδομένου του γενικού τετραγωνικού $latex f(x)=ax^2+bx+c$, λύστε το μετασχηματισμένο τετραγωνικό $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ για να προκύψει η τετραγωνικός τύπος.

4. Ποιος είναι ο μέσος όρος των ριζών της συνάρτησης quartic $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$;

5. Χρησιμοποιήστε τον λογισμό για να δείξετε ότι το σημείο καμπής ενός κυβικού είναι και το σημείο συμμετρίας του.