Introducción
A principios de este año, un trío de matemáticos decidió convertir limones en limonada y terminó haciendo gran avance en un problema en el que los matemáticos han estado pensando durante siglos.
Los tres estaban terminando un proyecto y pensando en los próximos pasos cuando, a fines de marzo, dos de ellos: Alpoge de Levent de la Universidad de Harvard y Ari Shnidman de la Universidad Hebrea de Jerusalén, contrajo Covid-19, por separado pero casi simultáneamente. Muchas personas se tomarían un descanso en tales circunstancias, pero el tercer miembro del equipo, Manuel Bhargava de la Universidad de Princeton, propuso lo contrario. Sugirió que aumentar sus reuniones semanales de Zoom a tres o cuatro veces por semana podría distraer a sus colaboradores enfermos de sus síntomas. La cuarentena, decidieron los tres, podría ser una oportunidad para pensar sin ser molestados.
Durante estas reuniones, consideraron una de las preguntas más antiguas de la teoría de números: ¿Cuántos enteros se pueden escribir como la suma de dos fracciones al cubo o, como los llaman los matemáticos, números racionales? El número 6, por ejemplo, se puede escribir como (17/21)3 + (37/21)3, mientras que 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Los matemáticos han sospechado durante décadas que la mitad de todos los números enteros se pueden escribir de esta manera. Al igual que con los números pares e impares, esta propiedad parece dividir los números enteros en dos campos iguales: los que son la suma de dos cubos y los que no lo son.
Pero nadie pudo probar esto, ni siquiera dar un límite a la proporción de números enteros que caen en cada campo. Por lo que sabían los matemáticos, el campo que consiste en sumas de cubos racionales podría ser extremadamente pequeño, o podría contener casi todos los números enteros. matemáticos han calculado que, si algo llamado la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es cierta (como se cree ampliamente), alrededor del 59% de los números hasta 10 millones son la suma de dos cubos racionales. Pero tales datos pueden, en el mejor de los casos, ofrecer pistas sobre cómo podría comportarse el resto de la recta numérica.
A diferencia de los números pares e impares, "estos dos campos son sutiles", dijo barry mazur de Harvard. No existe una prueba para determinar qué números pertenecen a qué campo que se sabe que funciona para todos los números. Los matemáticos han ideado pruebas que son buenas candidatas, pero por ahora cada una tiene algún inconveniente: los matemáticos no pueden probar que la prueba siempre llegará a una conclusión, o no pueden probar que la conclusión es correcta.
La dificultad de comprender las sumas de cubos y las ecuaciones cúbicas en general ha sido "una vergüenza recurrente para los teóricos de los números", dijo Bhargava. Él ganó la medalla Fields en 2014 en parte por su trabajo sobre soluciones racionales a las ecuaciones cúbicas conocidas como curvas elípticas, de las cuales las sumas de dos cubos son un caso especial.
Ahora, en un papel publicado en línea a fines de octubre, Alpöge, Bhargava y Shnidman han demostrado que al menos 2/21 (alrededor del 9.5%) y como máximo 5/6 (alrededor del 83%) de los números enteros se pueden escribir como la suma de dos fracciones al cubo.
La cuestión de las sumas de cubos no es solo una curiosidad. Las curvas elípticas tienen una estructura rica e intrincada que las ha llevado al centro de muchas áreas de las matemáticas puras y aplicadas, lo que ha permitido en particular a los criptógrafos construir potentes sistemas de cifrado. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, la pregunta central en el campo, tiene una recompensa de $ 1 millón por su cabeza como uno de los Problemas del Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute.
El nuevo trabajo se basa en un conjunto de herramientas que Bhargava ha desarrollado durante los últimos 20 años, junto con colaboradores, para explorar la familia completa de curvas elípticas. Comprender las sumas de dos cubos significa analizar una familia mucho más pequeña, y “cuanto más pequeña es la familia, más difícil es el problema”, dijo Pedro Sarnak del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton.
Esta familia en particular parecía "muy fuera de alcance", agregó Sarnak. “Hubiera dicho: 'Eso parece demasiado difícil, demasiado difícil'”.
Una transición de fase
A diferencia de las sumas de fracciones al cubo, que parecen abundar, casi ningún número entero es la suma de dos fracciones al cuadrado. A principios de la década de 1600, los matemáticos Albert Girard y Pierre de Fermat habían ideado una prueba simple para determinar qué números enteros son la suma de dos cuadrados: factoriza tu número en números primos, luego verifica el exponente de cada número primo que tiene un resto de 3. cuando lo divides por 4. Si esos exponentes son todos pares, tu número es la suma de dos fracciones al cuadrado; de lo contrario, no lo es. Por ejemplo, 490 factores en 21 × 51 × 72. El único de estos factores que tiene un resto de 3 cuando se divide por 4 es 7, y 7 tiene un exponente par. Por lo tanto, 490 es la suma de dos cuadrados (para los curiosos, es igual a 72 + 212).
La gran mayoría de los números fallan la prueba de exponente par. Si elige un número entero al azar, la probabilidad de que sea la suma de dos fracciones al cuadrado es esencialmente cero. Los matemáticos creen que lo mismo ocurre con las sumas de dos fracciones elevadas a la cuarta potencia, oa la quinta potencia, oa cualquier potencia superior a tres. Es sólo con las sumas de cubos que de repente hay abundancia.
Los matemáticos están acostumbrados a que las ecuaciones cúbicas se comporten de forma diferente a las de todas las demás potencias. Entre las ecuaciones formadas por dos variables (como las ecuaciones de la suma de dos cubos), las ecuaciones cuyo exponente más alto es 1 o 2 tienden a entenderse bien; por lo general, no tienen soluciones racionales o tienen infinitas soluciones, y generalmente es sencillo resolverlas. dime cual Mientras tanto, las ecuaciones cuyo mayor exponente es 4 o mayor generalmente tienen solo una aspersión finita de soluciones racionales.
Las ecuaciones cúbicas, por el contrario, pueden tener un número finito de soluciones, un número infinito o ninguna. Estas ecuaciones representan una especie de transición de fase entre los exponentes por debajo de 3 y los que están por encima, mostrando fenómenos que nunca se ven en estos otros escenarios. “Los cubos son diferentes en todos los aspectos”, dijo Mazur.
A diferencia de las ecuaciones con exponentes más bajos, los cubos son sorprendentemente difíciles de comprender. No existe un método general para encontrar o incluso contar las soluciones racionales de las cúbicas que se haya demostrado que siempre funciona.
“Incluso con todo el poder de cómputo que tenemos, si me das una curva elíptica con coeficientes muy grandes, no necesariamente sé cuántas soluciones racionales tiene”, dijo. wei-ho, un ex alumno de Bhargava que es actualmente profesor visitante en el Instituto de Estudios Avanzados.
En el problema de la suma de dos cubos, las fracciones involucradas pueden ser enormes: el número 2,803, por ejemplo, es la suma de dos fracciones al cubo cuyos denominadores tienen 40 dígitos cada una. Y una vez que estamos viendo números en millones, dijo Bhargava, muchas de las fracciones "involucrarían más dígitos de los que podrían caber en todo el papel de este mundo".
Matrices de mapeo
Debido a que las curvas elípticas son tan ingobernables, los teóricos de los números buscan formas de vincularlas con objetos más tratables. Este abril, mientras Alpöge y Shnidman luchaban contra el covid, ellos y Bhargava se basaron en el trabajo que este último había hecho previamente con Ho y descubrieron que cada vez que una ecuación de suma de cubos tiene soluciones racionales, hay una manera de construir al menos un 2 especial. Matriz × 2 × 2 × 2: un análogo de cuatro dimensiones de la matriz bidimensional más familiar. “Comenzamos a diseñar un plan para contar estas matrices de 2 × 2 × 2 × 2”, escribieron los tres.
Para hacerlo, el equipo se basó en dos temas clásicos que se han estudiado durante más de un siglo. Uno es la "geometría de los números", que implica cómo contar los puntos de la red dentro de diferentes formas geométricas. Este tema ha disfrutado de un renacimiento en el campo de las curvas elípticas durante los últimos 20 años, debido en gran parte al trabajo de Bhargava y colaboradores.
La otra técnica, conocida como el método del círculo, se originó en el trabajo del legendario matemático indio Srinivasa Ramanujan y su antiguo colaborador GH Hardy a principios del siglo XX. “Esta es la primera aplicación importante de combinar el método del círculo con estas técnicas de geometría de números”, dijo Ho. "Esa parte es muy buena".
Usando estos métodos, el trío pudo demostrar que para al menos 1/6 de todos los números enteros, no existe una matriz de 2 × 2 × 2 × 2. Eso significa que para esos números, la ecuación de suma de cubos no tiene soluciones racionales. Entonces, no más de 5/6 de números enteros, o alrededor del 83%, puede ser la suma de cubos de dos fracciones.
En la dirección inversa, encontraron que al menos 5/12 de todos los números enteros tienen exactamente una matriz coincidente. Es tentador concluir que estos números son la suma de dos cubos, pero eso no se sigue automáticamente. Cada número que es la suma de dos cubos tiene una matriz, pero eso no significa necesariamente que lo contrario sea cierto: que cada número con una matriz es la suma de dos cubos.
Alpöge, Bhargava y Shnidman necesitaban lo que los investigadores de curvas elípticas llaman un teorema inverso, algo que toma información sobre una ecuación cúbica y la usa para construir soluciones racionales. Los teoremas inversos forman un subcampo floreciente de la teoría de las curvas elípticas, por lo que el trío recurrió a dos de los practicantes expertos del subcampo: Ashay Burungale de la Universidad de Texas, Austin y de Princeton. Burungale y Skinner pudieron demostrar que, al menos algunas veces, si un número entero tiene una sola matriz asociada, entonces ese número debe ser la suma de dos cubos racionales. Su teorema, que esencialmente prueba una parte relevante de la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, aparece en el documento como un apéndice de tres páginas, que Sarnak describe como maravilloso en sí mismo.
Burungale y Skinner no demostraron su teorema para cada número entero con exactamente una matriz: tuvieron que imponer una condición técnica que redujo el subconjunto 5/12 a 2/21, o alrededor del 9.5 %, de todos los números enteros. Pero Bhargava es optimista de que Burungale y Skinner, u otros investigadores en su área, lleguen al resto del 5/12 (alrededor del 41 % en total) en poco tiempo. “Sus técnicas son cada vez más fuertes”, dijo Bhargava.
Demostrar la conjetura completa, que exactamente la mitad de todos los números enteros son la suma de dos cubos, requerirá eventualmente abordar el conjunto de números que tienen más de una matriz asociada. Este conjunto, que Bhargava llama "muy confuso", incluye tanto números que son la suma de dos cubos como números que no lo son. Manejar tales números requerirá ideas completamente nuevas, dijo.
Por ahora, los investigadores están contentos de haber resuelto finalmente la cuestión de una proporción sustancial de números enteros, y están ansiosos por probar más las técnicas en la demostración. “Es una de esas cosas hermosas: puedes explicar el resultado muy fácilmente, pero las herramientas están muy, muy a la vanguardia de la teoría de números”, dijo Sarnak.
