La teoría cuántica de campos saca un rompecabezas matemático abierto

El mes pasado, Karen Vogtman y Michael Borinski publicó una prueba que hay un montón de estructura matemática dentro de un mundo matemático hasta ahora inaccesible llamado espacio de módulos de gráficos, que Vogtmann y un colaborador describió por primera vez en la mitad de 1980.

“Ese es un problema súper difícil. Es asombroso que hayan podido hacerlo”, dijo Dan Margalit, matemático del Instituto de Tecnología de Georgia.

Vogtmann y Borinsky comenzaron con preguntas que Vogtmann, matemática de la Universidad de Warwick, se había estado haciendo durante décadas. Luego, la pareja volvió a imaginar el problema en el lenguaje de la física, utilizando técnicas de la teoría cuántica de campos para llegar a su resultado.

La prueba demuestra que existen ciertas estructuras en el espacio de módulos, pero no revela explícitamente cuáles son esas estructuras. De esa manera, su nuevo resultado se parece más a un detector de metales que a una cámara: les advierte que se esconde algo interesante, aunque no puedan describirlo completamente.

Puede pensar en los espacios de módulos de los gráficos como formas matemáticas con decoración adicional. Si te paras en cualquier punto de la forma, verás un gráfico flotando sobre ti: una colección de puntos o vértices conectados por bordes. En diferentes ubicaciones en un espacio de módulos, los gráficos cambian, sus bordes se reducen o aumentan y, a veces, desaparecen por completo. Debido a estas características, Borinsky, físico matemático del Instituto Federal Suizo de Tecnología de Zúrich, describe los espacios de módulos como "un gran mar de gráficos".

El “rango” de un gráfico es el número de bucles que tiene; para cada rango de grafos, existe un espacio de módulos. El tamaño de este espacio crece rápidamente: si fija las longitudes de los bordes del gráfico, hay tres gráficos de rango 2, 15 de rango 3, 111 de rango 4 y 2,314,204,852 10 XNUMX XNUMX de rango XNUMX. En el espacio de módulos, estas longitudes pueden varían, introduciendo aún más complejidad.

La forma del espacio de módulos para gráficos de un rango dado está determinada por las relaciones entre los gráficos. A medida que camina por el espacio, los gráficos cercanos deben ser similares y deben transformarse suavemente entre sí. Pero estas relaciones son complicadas, dejando el espacio de módulos con características matemáticamente inquietantes, como regiones donde tres paredes del espacio de módulos se cruzan entre sí.

Los matemáticos pueden estudiar la estructura de un espacio o forma usando objetos llamados clases de cohomología, que pueden ayudar a revelar cómo se forma un espacio. Por ejemplo, considere una de las formas favoritas de los matemáticos, la rosquilla. En la rosquilla, las clases de cohomología son simplemente bucles.

Se pueden dibujar varios tipos diferentes de bucles en la superficie de la rosquilla: el bucle 1 rodea el orificio central de la rosquilla; pase 2 hilos a través del agujero; el tercer bucle "trivial" se encuentra en el lado de la rosquilla.

Sin embargo, no todas las clases de cohomología son iguales. Un bucle que se encuentra en el exterior de la dona, como el tercer bucle, siempre puede deslizarse o encogerse para evitar cruzarse con otro bucle. Eso lo convierte en una clase de cohomología "trivial".

Pero los bucles 1 y 2 dicen mucho más sobre la estructura de la rosquilla: solo existen debido al agujero. Para discernir matemáticamente la diferencia, puede usar intersecciones, explicó Margalit. Los bucles 1 y 2 pueden deslizarse por la superficie de la dona, pero a menos que los obligues a separarse de la superficie por completo, siempre se cruzarán entre sí. Debido a que estos dos bucles vienen con socios que no pueden evitar cruzar, son clases de cohomología "no triviales".

A diferencia de una dona, los matemáticos no pueden encontrar clases de cohomología en los espacios de módulos de los gráficos con solo hacer un dibujo. Con una cantidad tan grande de gráficos, los espacios de módulos son difíciles de manejar, dijo Nathalie Wahl, matemática de la Universidad de Copenhague. “Muy rápido, la computadora ya no puede ayudar”, dijo. De hecho, sólo se ha identificado una clase de cohomología no trivial de dimensiones impares. calculado explícitamente (en 11 dimensiones), junto con un puñado de pares.

Lo que Vogtmann y Borinsky demostraron es que hay una enorme cantidad de clases de cohomología que se encuentran dentro del espacio de módulos de los gráficos de un rango dado, aunque no podamos encontrarlos. “Sabemos que hay toneladas, y conocemos una”, dijo Wahl, calificando la situación de “ridícula”.

En lugar de trabajar directamente con clases de cohomología, Borinsky y Vogtmann estudiaron un número llamado característica de Euler. Este número proporciona un tipo de medida del espacio de módulos. Puede modificar el espacio de módulos de ciertas maneras sin cambiar su característica de Euler, lo que hace que la característica de Euler sea más accesible que las propias clases de cohomología. Y eso es lo que hicieron Borinsky y Vogtmann. En lugar de trabajar directamente con el espacio de módulos de los gráficos, estudiaron la "columna vertebral", esencialmente un esqueleto del espacio general. La columna vertebral tiene la misma característica de Euler que el propio espacio de módulos y es más fácil trabajar con ella. Calcular la característica de Euler en la columna se redujo a contar una gran colección de pares de gráficos.

La idea de Borinsky fue utilizar técnicas para contar los diagramas de Feynman, que son gráficos que representan las formas en que interactúan las partículas cuánticas. Cuando los físicos quieren calcular, digamos, las posibilidades de que una colisión entre un electrón y un positrón produzca dos fotones, necesitan suma de todas las posibles interacciones que conducen a ese resultado. Eso significa promediar muchos diagramas de Feynman, motivando estrategias de conteo inteligentes.

“Me di cuenta de que uno puede formular este tipo de problema como una especie de universo de teoría cuántica de campos de juguete”, explicó Borinsky.

Borinsky imaginó que los gráficos representaban sistemas físicos en una versión simple del universo, uno en el que, entre otras suposiciones, solo hay un tipo de partícula. El marco de la teoría cuántica de campos necesitaba algunos ajustes para que Borinsky y Vogtmann obtuvieran la cuenta correcta. Por ejemplo, en la teoría cuántica de campos, dos gráficos que son imágenes especulares entre sí son indistinguibles, dijo Borinsky. Las fórmulas para sumar los diagramas de Feynman incluyen factores que aseguran que estos gráficos no se cuenten en exceso. Pero cuando se trata de calcular la característica de Euler, esos gráficos se consideran diferentes. “Tenemos que jugar un pequeño juego con las simetrías de los gráficos”, dijo Borinsky.

Con algo de ayuda de programación del físico José Vermaseren, Borinsky y Vogtmann finalmente superaron esta dificultad. En su artículo de enero, demostraron que la característica de Euler del espacio de módulos de gráficos de rango n se vuelve masivamente negativa como n se hace más grande. Esto implica que hay muchas, muchas clases de cohomología no triviales por descubrir dentro de cada espacio de módulos.

Aunque el artículo de Borinsky y Vogtmann no contiene más pistas sobre estas clases de cohomología, es un resultado alentador para los investigadores que buscan encontrarlas, y tal vez aumente la emoción de la búsqueda. Dijo Margalit de las clases de cohomología: “Estos que conocemos son solo estas gemas. Y cada vez que encontramos uno, es algo hermoso”.