Sissejuhatus
Detsembris 1977 revolutsionäär paber vaikselt ilmus Journal d'Analysis Mathématiquematemaatika erialaajakiri. Autor Hillel Furstenberg ei pretendeerinud põnevatele või isegi uutele tulemustele. Ta oli lihtsalt pakkunud tõestuse teoreemile, mille teine matemaatik Endre Szemerédi oli juba kaks aastat tagasi tõestanud.
Sellest hoolimata jättis Furstenbergi töö matemaatikasse püsiva jälje. Tema uus argument sisaldas kaugeleulatuvate tagajärgedega arusaama: selliseid probleeme, nagu Szemerédi oli lahendanud, täisarvude kogumite kohta, saate ümber sõnastada küsimusteks ruumis liikuvate punktide kohta.
Aastate jooksul on Furstenbergi tehnikaid ikka ja jälle kasutatud ning vähehaaval on neid kohendatud ja täiustatud. Selle aasta alguses olid need ülelaaditud, ilmudes kahes uues artiklis, mis paljastavad täisarvude komplektides lõpmatuid mustreid – edenedes hüppeliselt mööda Szemerédi praegu 47-aastasest teoreemist.
Furstenbergi tõestus
Szemerédi oli uurinud komplekte, mis sisaldavad kõigist täisarvudest "positiivset murdosa". Võtke näiteks kogum, mis sisaldab kõiki 5 kordajaid. Kui vaatate arvurea järjest suuremaid osi, ilmuvad 5 kordsed regulaarselt. Matemaatikud ütlevad, et hulk, mis sisaldab kõiki arvu 5 kordajaid, omab viiendikku kõigist täisarvudest.
Seevastu, kuigi algarve on lõpmatu arv, muutuvad need arvude suurenedes nii harvaks, et kõigi algarvude hulk ei sisalda täisarvude positiivset murdosa või teisiti öeldes pole sellel positiivset tihedust. . Selle asemel öeldakse, et algarvude tihedus on null.
Szemerédi otsis näiteid niinimetatud aritmeetiliste progressioonide või ühtlase vahega arvude ahelate kohta. Kujutage näiteks ette, et teil on lõputu arvude jada, näiteks täiuslikud ruudud: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Täiuslike ruutude aritmeetiline progressioon pikkusega kolm, mis peidab endas mitu esimest liiget: {1, 25, 49}. Iga number selles jadas on 24 võrra suurem kui tema eelkäijal.
Szemerédi tõestas, et iga hulk, mis sisaldab täisarvude positiivset murdosa, peab sisaldama meelevaldselt pikki aritmeetilisi progressioone. Tulemuseks oli maamärk matemaatika alamvaldkonnas, mida nimetatakse aditiivseks kombinatooriumiks.
Szémeredi tõendit, kuigi see oli geniaalne, oli peaaegu võimatu järgida. "Tänaseks päevaks arvan, et võib-olla ainult kolm või neli inimest saavad [Semerédi] tõestusest tõeliselt aru," ütles ta. Terence tao, matemaatik California ülikoolist Los Angeleses.
Seega oli Furstenbergi arusaadavam argument teretulnud. Selle kirjutamisel tugines Furstenberg oma matemaatikavaldkonna meetoditele, dünaamilistele süsteemidele. Dünaamiline süsteem on igasugune protsess, mis ajas muutub. See võib olla midagi nii lihtsat kui piljardipall, mis veereb ümber piljardilaua. Kõik, mida vajate, on viis oma süsteemi matemaatiliseks esitamiseks ja reeglid selle arengu kohta. Näiteks palli saab kirjeldada selle asukoha ja kiirusega. See süsteem areneb aja jooksul ettenähtud viisil, järgides klassikalise füüsika seadusi.
Furstenbergi huvitas enim miski, mida nimetatakse ergoodiliseks teooriaks. Selle asemel, et vaadelda süsteemi olekut mis tahes ajahetkel, uurivad ergoodilised teoreetikud statistikat pika aja jooksul. Piljardipalli puhul võib see tähendada, et tuleb välja selgitada, kas pall jõuab mõnesse kohta laual rohkem kui teistesse, kuna see kipub seintelt tagasi põrkuma.
Furstenbergi põhiidee oli vaadelda täisarvude komplekte mitte fikseeritud objektidena, vaid dünaamilise süsteemi hetkeseisunditena. See võib tunduda väikese vaatenurga muutusena, kuid see võimaldas tal kasutada ergoodilise teooria tööriistu, et tõestada kombinatoorika tulemusi. Tol ajal polnud Furstenbergil aimugi, et tema ideed hakkavad oma elu elama. "See oli lihtsalt, mulle meeldis see teine tõend," ütles ta. Kuid teised nägid ergoodilise teooria ja kombinatoorika vahelise seose lubadust. "Terve põlvkond ergoodilisi teoreetikuid hakkas omamoodi laadima kombinatoorikat ja lahendama kõiki neid probleeme ja vastupidi," ütles Tao.
Viimase paari aasta jooksul on neli matemaatikut - Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter ja Donald Robertson — on välja töötanud Furstenbergi tehnikad, et leida mitte ainult meelevaldselt pikki progressioone mis tahes hulga sees, mis sisaldab positiivset täisarvu, vaid struktuuride lõpmatuid versioone, mida nimetatakse summadeks.
„Summad on palju vähem spetsiifilised kui progressioonid; nad on palju vähem erilise välimusega,” ütles Robertson. "Kuid see on huvitavam ja delikaatsem, sest summad on lõpmatud konfiguratsioonid, samas kui progressid on piiratud."
Kui Furstenberg ehitas silla ergoodilise teooria ja kombinatoorika vahele, on Kra, Moreira, Richter ja Robertson suurendanud selle kuuerealiseks maanteeks, ütles Tao.
B + C Oletus
Szemerédi teoreemi pakkusid esmakordselt välja, kuid ei tõestanud, 1936. aastal kaks matemaatikut. Üks neist oli oletuste tegemise poolest kuulus ungari matemaatik: Paul Erdős. 2016. aastal, kui Moreira töötas Ohio osariigi ülikoolis doktoritöö kallal, sattus ta juhuslikult veel üks oletus, mille Erdős oli teinud struktuuride kohta, mida nimetatakse summadeks.
Summa koosneb kahest teisest komplektist; helista neile B ja C. Summa, mis on kirjutatud kui B + C, on ehitatud nii, et liidetakse kõik võimalikud numbripaarid, võttes ühe numbri B ja teine pärit C. Erdős oletas seda iga komplekti puhul A mis sisaldab täisarvude positiivset murdosa, on ka teisi lõpmatuid hulki B ja C mille summa sees sisaldub A. Artiklis, mida Moreira luges, olid autorid tõestanud Erdősi oletust, kui A sisaldab suurt osa täisarvudest. Kuid väiksemate positiivse tihedusega komplektide puhul oli tulemus endiselt teadmata. "Niipea, kui ma avaldust lugesin, arvasin, et see on tõesti hea küsimus, sest see on nii lihtne," ütles Moreira. "See on kas vale või ei tohiks see olla keeruline. Mis oli muidugi vale. See ei olnud vale ega lihtne."
Moreira kaasas projekti Richteri ja Robertsoni, tema abiturientide sõbrad. Praegu Manchesteri ülikoolis õppiv Robertson oli lõpetanud aasta enne Moreira ja Richter jäi paar aastat maha. Kõik kolm olid hästi kursis ergoodilise teooria tehnikate rakendamisega kombinatoorikas. Kuid see probleem esitas uusi väljakutseid.
"Positiivne olnud pretsedenti lõpmatute summade leidmiseks positiivse tiheduse hulgast," ütles Daniel Glasscock, Lowelli Massachusettsi ülikooli matemaatik, kes õppis Moreira, Richteri ja Robertsoni kraadiõppes.
Võib-olla sel põhjusel osutus summaprobleemi lahendamine raskeks. "Me peame natuke sundima ergoodilist teooriat, et see läbi tuleks," ütles Moreira. Nende jõupingutused tasusid lõpuks vilja ja milles Marcin Sabok McGilli ülikoolis, mida nimetati "hämmastavaks saavutuseks", õnnestus neil Erdőse oletus 2018. aastal tõestada. Nende tõestus oli hiljem avaldatakse Matemaatika aastaraamatud, üks mainekamaid matemaatikaajakirju.
Uued tõendid
See paber jättis lahtiseks kaks suurt küsimust. Üks neist oli veel üks Erdősi summaarne oletus, mida nimetatakse B + B + t oletus.
Moreira, Richter ja Robertson olid samuti esitanud oma küsimuse: kui teil on positiivse tihedusega komplekt A, kas leiate kolm lõpmatut hulka — B, C ja nüüd D - kus B + C + D on sees A? Kuidas on lood nelja lõpmatu hulgaga? Viis?
Pärast mitmekomplektilise versiooni esitamist jäid matemaatikud mõneks ajaks jänni. Tundus, et tehnikad, mida nad kahe komplekti oletuste jaoks kasutasid, olid jõudnud oma piirini.
"Me ei leidnud selle probleemi dünaamilist ümbersõnastamist," ütles Richter. Ta ütles, et nende lähenemine ebaõnnestus kohe alguses.
Möödus kaks aastat, enne kui nad nägid tõelist edu. Selleks ajaks oli Richter järeldoktor Northwesterni ülikoolis, kus Bryna Kra oli professor. 2020. aastal, kui Covid-19 pandeemia takistas isiklikult kohtumist, leidsid Kra ja Richter end Zoomi kaudu summeeritud probleemi arutamast.
"Lõpuks leidsime mõned muud variandid, millest aru saime," ütles Kra.
Kra ja Richter hakkasid Moreira ja Robertsoniga igal nädalal rääkima, uurides uuesti 2018. aasta tõendit.
"Pidime uuesti läbi mõtlema iga tõestuse sammu, alustades selle tõlkimisest dünaamiliseks süsteemiks," ütles Kra.
Nende eesmärkidele aitas kaasa 2019 paber prantsuse matemaatiku nimega Bernard peremees. Saatejuht oli Moreira, Richteri ja Robertsoni tulemust uuesti tõestanud ning välja mõelnud, kuidas ergoodiline teooria laulma panna. Moreira arvates nägi peremees „kuidas meie tõendit kirjutada nii, nagu see oleks pidanud olema”.
Kuna Hosti täiustused olid käes, jätkasid Kra, Moreira, Richter ja Robertson oma tõestust, püüdes välja tuua võimalikult lihtsa ja elegantsema argumendi. "Me arvan, et lahkasime seda lihtsalt ikka ja jälle, et tõesti näha: mis on probleemi tuum?" ütles Richter. "Lõpuks oli meil tõend, millel oli väga vähe sarnasust esialgse tõestusega."
Tõestus, mille nad lõpuks said, nagu Furstenberg, käsitlesid lõpmatuid täisarvude komplekte dünaamilise süsteemi ajatemplitena. Seda dünaamilist süsteemi saab aga paremini ette kujutada ruumis ringi hüppavate punktidena.
Siin on umbkaudne pilt selle toimimisest: alustage seistes suletud ruumi ühes nurgas, nimetage seda nurgaks 0. Teil on nimekiri kordadest A. See komplekt, A, on positiivse tihedusega täisarvude hulk.
Teil on ka ruumis liikumise reegel. Iga sekund liigute uude kohta, olenevalt sellest, kus te just seisite. Täpne reegel, mida järgite, koostatakse teie kellaaegadega A — alati, kui ajatempel on sees A, leiate end ruumi ühest erilisest osast.
Näiteks ütle A koosneb kõigist 4-ga jaguvatest numbritest ja iga sekundi järel liigute te päripäeva ruumi järgmisse nurka. Ühe sekundi pärast liigute nurgale 1; kahe sekundi pärast 2. nurk ja nii edasi. Seejärel iga nelja sammu järel – see tähendab iga sissetuleva aja kohta A - olete naasnud algse nurga 0 juurde.
See protsess kestab igavesti. Päripäeva nurgast nurka liikudes külastate iga nurka lõpmatult palju kordi. Punkti, mille lähedale jõuate lõpmatu arv kordi, nimetatakse akumulatsioonipunktiks.
Kra, Moreira, Richter ja Robertson tõestasid, et saate oma summa leidmiseks nutikalt valida ühe neist kohtadest B + C. Nurga näites võtke nurk 1. Jõuate sinna kellaaegadel 1, 5, 9 ja 13 – kellaajad, mis näevad välja nagu 4n + 1 mõne täisarvu jaoks n. Lase B olla nende aegade koht.
Kujutage nüüd ette, et selle asemel, et alustada nurgast 0, alustate nurgast 1. See tähendab, et kohati jagub 4-ga, leiate end tagasi nurgast 1 ja jõuate nurgasse 0 kolm sammu hiljem: mõnikord 3, 7, 11 või mis tahes number kujul 4n + 3. Helista nende aegade komplektile C.
Nüüd alustage protsessi uuesti nurgast 0. Seekord vaata, mis juhtub, kui võtad numbrist B ja number alates C — ütleme, 13 alates B ja 3 alates C - ja liita need kokku.
Selleks kuluks 13 + 3 = 16 sekundit. Kuna 16 on 4 kordne, on see sees A. Kuid võite ka ennustada, et 13 + 3 jagub 4-ga ja seega sisse A, ilma tegelikult 13 ja 3 kokku liitmata. Jälgige lihtsalt, mis juhtub dünaamilises süsteemis, kui ootate 13 + 3 sekundit: Esiteks möödub 13 sekundit. Sel hetkel leiate end nurgast 1. Seejärel liigute nurgast 1 alustades veel kolm sammu, mis viib teid tagasi nurgasse 0. Kuna alustasite nurgast 0 ja jõudsite sinna tagasi, siis pidite ootama nelja sekundi kordne, mis tähendab, et koguaeg oli arv algses komplektis A.
Selle argumendi toimimiseks pidi rühm tegelema paljude peente matemaatiliste detailidega. Näiteks enamikul juhtudel on teil liikumiseks saadaval lõpmatu arv kohti, mitte ainult neli nurka. See tähendab, et te ei naase tegelikult lõpmatult palju kordi; sa jõuad sellele lõpmatult palju kordi lähedale. See tõi argumendile uusi matemaatilisi komplikatsioone. Kuid kui nad said aru, kuidas protsess toimib, teadsid nad, et suudavad lahendada raskemaid küsimusi, mida nad ootasid.
"Me leidsime selle tõendi siin ja oli kohe selge, kuidas seda üldistada," ütles Richter, kes töötab praegu Šveitsi Föderaalses Tehnoloogiainstituudis Lausanne'is. Näiteks oletuse mitme komplekti versiooni tõestamiseks võiksid teadlased lihtsalt lisada teele kogumispunkti. Üldine argument oli sama, ainult uue keerukuse kihiga.
Kõigi tehniliste detailide väljatoomine ei olnud lihtne. Pärast seda, kui nad oma dünaamilise seadistuse juurde jõudsid, kulus Kraal, Moreiral, Richteril ja Robertsonil üle aasta, et töötada välja tõendid keerulisemate oletuste kohta. Selle aasta juunis postitas rühm lõpuks kaks paberit. Üks tõestas summaarse oletuse mitmehulgaline versioon. Teine tõestas B + B + t oletuse versioon, mis eeldab, et teine komplekt C olema võrdne esimese komplektiga B, nihutatud mingi konstandiga, t.
Järgmised sammud
Kuigi juunikuu paberid lahendavad kaks küsimust summade kohta, näevad Kra, Moreira, Richter ja Robertson oma uurimissuunale pikka tulevikku. "Nagu kõigega, mida Erdős küsis, tahab ta lihtsalt, et me paneksime jala ukse vahele," ütles Moreira, kes töötab Warwicki ülikoolis. "Aga nüüd peame ukse avama ja minema uurima, mis seal veel on."
Neli matemaatikut esitavad oma uutes paberites mitu võimalikku uurimissuunda seni vastamata küsimuste kujul. Üks tugineb asjaolule, et kuigi mis tahes positiivse tihedusega komplekt A sisaldab lõpmatut summat B + C, ei pruugi see kahte komponenti sisaldada B ja C. Millal saab seda nõuda B ja C peab ka sees olema A? Samuti esitavad autorid matemaatikutele väljakutse välja selgitada, kas nad suudavad leida lõpmatu hulga lõpmatuid hulki, mille summad sisalduvad A.
Teisele avatud küsimusele selles valdkonnas on juba vastanud McGilli ülikooli Saboki magistrant Matt Bowen. Oktoobris ta postitanud tõend selle kohta, et kui määrate igale täisarvule ühe mõnest värvist, võite leida summa B + C ja komplektide korrutis BC ainult ühes värvitoonis.
Kuhu Kra, Moreira, Richteri ja Robertsoni uus teos täpselt veel viib, pole veel teada. Kuid vähemalt Tao on grupi väljatöötatud uute tehnikate suhtes optimistlik. See, mida nad oma meetoditega saavutavad, on "tegelikult üsna hämmastav", ütles ta. "On ka teisi küsimusi, mis hõlmavad lõpmatuid komplekte, mida peeti varem lootusetuks, nüüd käeulatuses."
