Sissejuhatus
Selle aasta alguses otsustas matemaatikute trio teha sidrunitest limonaadi – ja tegi lõpuks suur edasiminek probleemile, millele matemaatikud on sajandeid mõelnud.
Need kolm olid just lõpetamas projekti ja mõtlesid järgmistele sammudele, kui märtsi lõpus kaks neist – Levent Alpöge Harvardi ülikoolist ja Ari Shnidman Jeruusalemma Heebrea Ülikoolist – nakatus Covid-19-ga eraldi, kuid peaaegu samaaegselt. Paljud inimesed võtaksid sellistes tingimustes pausi, kuid kolmas meeskonnaliige Manjul Bhargava Princetoni ülikoolis pakkus välja vastupidise. Ta arvas, et nende iganädalaste Zoomi koosolekute suurendamine kolmele või neljale korrale võib tema haigete kaastöötajate tähelepanu nende sümptomitelt kõrvale juhtida. Karantiin, otsustasid kolm, võiks olla võimalus segamatult mõelda.
Nendel kohtumistel arutasid nad arvuteooria üht vanimat küsimust: mitu täisarvu saab kirjutada kahe kuubimurru summana või, nagu matemaatikud neid nimetavad, ratsionaalarvudeks? Näiteks numbri 6 saab kirjutada kui (17/21)3 + (37/21)3, samas kui 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Matemaatikud on aastakümneid kahtlustanud, et pooled täisarvudest saab kirjutada nii. Nii nagu paaritute ja paarisarvude puhul, näib see omadus jagavat täisarvud kahte võrdsesse leeri: need, mis on kahe kuubiku summa, ja need, mis ei ole.
Kuid keegi ei suutnud seda tõestada ega isegi anda mingit piiri igasse leeri kuuluvate täisarvude osakaalule. Matemaatikutele teadaolevalt võib ratsionaalsete kuubikute summadest koosnev laager olla kaduvalt väike või sisaldada peaaegu kõiki täisarvu. Matemaatikud on arvutanud et kui midagi, mida nimetatakse Birchi ja Swinnerton-Dyeri oletuseks, on tõsi (nagu laialt arvatakse), on umbes 59% kuni 10 miljonini arvudest kahe ratsionaalse kuubi summa. Kuid sellised andmed võivad parimal juhul anda vihjeid selle kohta, kuidas ülejäänud numbririda võib käituda.
Erinevalt paaritutest ja paarisarvudest on "need kaks leeri peened," ütles Barry Mazur Harvardist. Puudub test, mis määraks kindlaks, millised numbrid millisesse leeri kuuluvad, mis teadaolevalt töötab kõigi numbrite puhul. Matemaatikud on välja pakkunud teste, mis on tugevad kandidaadid, kuid praegu on igal neist mõned puudused – matemaatikud kas ei suuda tõestada, et test jõuab alati järeldusele, või nad ei suuda tõestada, et järeldus on õige.
Bhargava ütles, et kuubikute summade ja kuupvõrrandite mõistmise raskused on olnud "arvuteoreetikute jaoks korduv piinlik". Tema võitis Fieldsi medali 2014. aastal osaliselt eest tema töö ratsionaalsete lahenduste kallal kuupvõrranditele, mida tuntakse elliptiliste kõveratena, mille erijuhtudeks on kahe kuubi summad.
Nüüd, paber oktoobri lõpus veebis postitatud Alpöge, Bhargava ja Shnidman on näidanud, et vähemalt 2/21 (umbes 9.5%) ja maksimaalselt 5/6 (umbes 83%) täisarvudest saab kirjutada kahe kuupmurru summana.
Kuubikute summade küsimus ei ole lihtsalt uudishimu. Elliptilistel kõveratel on rikkalikult keerukas struktuur, mis on viinud need nii puhta kui ka rakendusmatemaatika paljude valdkondade keskmesse, võimaldades eelkõige krüptograafidel luua võimsaid šifreid. Birchi ja Swinnerton-Dyeri oletusel, mis on selle valdkonna keskne küsimus, on Clay Matemaatika Instituudi aastatuhande auhinnaprobleemina üks miljon dollarit pearaha.
Uus töö põhineb tööriistade komplektil, mille Bhargava on koos kaastöötajatega viimase 20 aasta jooksul välja töötanud, et uurige kogu perekonda elliptilised kõverad. Kahe kuubi summade mõistmine tähendab palju väiksema pere analüüsimist ja "mida väiksem perekond, seda raskem on probleem," ütles. Peeter Sarnak Princetoni süvauuringute instituudist.
See konkreetne perekond tundus olevat kättesaamatu, lisas Sarnak. "Ma oleksin öelnud:" See tundub liiga raske, liiga raske.
Faasi üleminek
Erinevalt kuupmurdude summadest, mida näib olevat ohtralt, on peaaegu ükski täisarv kahe ruudus murru summa. 1600. aastate alguseks olid matemaatikud Albert Girard ja Pierre de Fermat välja mõelnud lihtsa testi, et teha kindlaks, millised täisarvud on kahe ruudu summa: koogutage oma arv algarvudeks, seejärel kontrollige iga algarvu eksponenti, mille jääk on 3. kui jagate selle 4-ga. Kui need astendajad on kõik paarisarvulised, on teie arv kahe ruudumurru summa; muidu ei ole. Näiteks 490 tegurit kaheks1 × 51 × 72. Ainus neist teguritest, mille jääk on 3, kui jagate 4-ga, on 7 ja 7-l on paaritu astendaja. Seetõttu on 490 kahe ruudu summa (uudishimulike jaoks on see 72 + 212).
Valdav enamik numbreid ei suuda paarisastendajate testis läbi viia. Kui valite täisarvu juhuslikult, on tõenäosus, et see on kahe ruudumurru summa, põhimõtteliselt null. Matemaatikud usuvad, et sama kehtib ka kahe murru summade kohta, mis on tõstetud neljandasse või viiendasse astmesse või mis tahes astmesse, mis on suurem kui kolm. Ainult kuubikute summadega tekib järsku küllus.
Matemaatikud on harjunud, et kuupvõrrandid käituvad erinevalt kõigi teiste võimsuste omadest. Kahest muutujast koosnevate võrrandite hulgas (nagu kahe kuubi summa võrrandid) on tavaliselt hästi arusaadavad võrrandid, mille kõrgeim astendaja on 1 või 2 – tavaliselt pole neil ratsionaalseid lahendeid või neid on lõpmatult palju ja üldiselt on lihtne ütle milline. Samal ajal on võrranditel, mille kõrgeim astendaja on 4 või suurem, tavaliselt ainult piiratud piserdamine ratsionaalsetest lahendustest.
Kuupvõrranditel võib seevastu olla lõputult palju lahendeid, lõpmatult palju või üldse mitte ühtegi. Need võrrandid kujutavad endast teatud tüüpi faasisiiret alla 3 ja ülaltoodud eksponentide vahel, kuvades nähtusi, mida nendes muudes seadetes kunagi ei näe. "Kuubid on igas mõttes erinevad," ütles Mazur.
Erinevalt madalamate astendajatega võrranditest on kuubikuid üllatavalt raske mõista. Pole ühtegi kõikehõlmavat meetodit kuupmeetrite ratsionaalsete lahenduste leidmiseks või isegi loendamiseks, mis on tõestanud, et see alati töötab.
"Isegi kogu meie arvutusvõimsuse juures, kui anda mulle väga suurte koefitsientidega elliptiline kõver, ei tea ma tingimata, kui palju ratsionaalseid lahendusi sellel on," ütles ta. Wei Ho, endine Bhargava õpilane, kes on praegu külalisprofessor süvauuringute instituudis.
Kahe kuubi summa ülesandes võivad murrud olla tohutud: näiteks arv 2,803 on kahe kuubikujulise murru summa, mille nimetajatel on kummalgi 40 numbrit. Ja kui me vaatame numbreid miljonites, ütles Bhargava, et paljud murrud "sisaldavad rohkem numbreid, kui kogu selle maailma paberile mahuks".
Maatriksite kaardistamine
Kuna elliptilised kõverad on nii reguleerimatud, otsivad arvuteoreetikud võimalusi nende sidumiseks paremini jälgitavate objektidega. Sel aprillis, kui Alpöge ja Shnidman Covidiga võitlesid, ehitasid nad koos Bhargavaga tööle, mida viimane oli varem Ho-ga teinud, ja leidsid, et kui kuubikute summa võrrandil on ratsionaalsed lahendused, on võimalus luua vähemalt üks eriline 2 × 2 × 2 × 2 maatriks — tuttavama kahemõõtmelise maatriksi neljamõõtmeline analoog. "Hakkasime koostama plaani nende 2 × 2 × 2 × 2 maatriksite loendamiseks, " kirjutasid kolm.
Selleks kasutas meeskond kahte klassikalist teemat, mida mõlemat on uuritud rohkem kui sajandi jooksul. Üks on "arvude geomeetria", mis hõlmab võrepunktide loendamist erinevate geomeetriliste kujundite sees. See teema on viimase 20 aasta jooksul elliptiliste kõverate vallas renessansi nautinud, suuresti tänu Bhargava ja kaastöötajate tööle.
Teine tehnika, mida tuntakse ringimeetodina, sai alguse legendaarse India matemaatiku Srinivasa Ramanujani ja tema kauaaegse kaastöölise GH Hardy tööst 20. sajandi alguses. "See on esimene suur rakendus, mis ühendab ringimeetodi nende arvude geomeetria tehnikatega, " ütles Ho. "See osa on väga lahe."
Neid meetodeid kasutades suutis kolmik näidata, et vähemalt 1/6 kõigist täisarvudest ei eksisteeri 2 × 2 × 2 × 2 maatriksit. See tähendab, et nende arvude jaoks pole kuubikute summa võrrandil ratsionaalseid lahendusi. Seega ei saa kahe murdosa kuubikute summa olla rohkem kui 5/6 täisarvudest ehk umbes 83%.
Vastupidises suunas leidsid nad, et vähemalt 5/12 täisarvudest on täpselt üks sobiv maatriks. On ahvatlev järeldada, et need arvud on kahe kuubi summa, kuid see ei järgne automaatselt. Igal arvul, mis on kahe kuubi summa, on maatriks, kuid see ei tähenda tingimata vastupidist: et iga maatriksiga arv on kahe kuubi summa.
Alpöge, Bhargava ja Shnidman vajasid seda, mida elliptilise kõvera uurijad nimetavad vastupidiseks teoreemiks - midagi, mis võtab teavet kuupvõrrandi kohta ja kasutab seda ratsionaalsete lahenduste koostamiseks. Pöördeteoreemid moodustavad elliptiliste kõverate teooria õitsva alamvaldkonna, nii et kolmik pöördus kahe alavaldkonna asjatundja poole - Ashay Burungale Texase ülikoolist, Austini ja Princetoni ülikoolist. Burungale ja Skinner suutsid näidata, et vähemalt mõnel juhul, kui täisarvul on üks seotud maatriks, peab see arv olema kahe ratsionaalse kuubi summa. Nende teoreem, mis sisuliselt tõestab asjakohast osa Birchi ja Swinnerton-Dyeri oletustest, ilmub artiklis kolmeleheküljelise lisana, mida Sarnak kirjeldab iseenesest imelisena.
Burungale ja Skinner ei tõestanud oma teoreemi iga täisarvu kohta täpselt ühe maatriksiga – nad pidid kehtestama tehnilise tingimuse, mis vähendas 5/12 alamhulga 2/21-ni ehk umbes 9.5% kõigist täisarvudest. Kuid Bhargava on optimistlik, et Burungale ja Skinner või teised nende piirkonna teadlased jõuavad ülejäänud 5. veebruarini (kokku umbes 12%) enne liiga kaua. "Nende tehnikad muutuvad pidevalt tugevamaks," ütles Bhargava.
Täieliku oletuse tõestamiseks – et täpselt pooled täisarvudest on kahe kuubi summa – tuleb lõpuks lahendada arvude hulk, millel on rohkem kui üks seotud maatriks. See komplekt, mida Bhargava nimetab "väga uduseks", sisaldab nii numbreid, mis on kahe kuubiku summa, kui ka neid, mis ei ole. Ta ütles, et selliste numbrite käsitlemine nõuab täiesti uusi ideid.
Praeguseks on teadlastel hea meel, et nad on lõpuks lahendanud küsimuse olulise osa täisarvude osas, ja soovivad tõestustehnikaid edasi uurida. "See on üks neist ilusatest asjadest: saate tulemust väga lihtsalt selgitada, kuid tööriistad on arvuteoorias väga-väga tipptasemel," ütles Sarnak.
