Kvantvälja teooria Pries avatud matemaatilise mõistatuse

Eelmine kuu, Karen Vogtmann ja Michael Borinsky postitas tõendi et seni ligipääsmatus matemaatilises maailmas, mida nimetatakse graafikute mooduliruumiks, on autokoorem matemaatilist struktuuri, mida Vogtmann ja kaastööline esmakordselt kirjeldatud 1980ndate keskel.

"See on üliraske probleem. On hämmastav, et nad suutsid,” ütles Georgia Tehnoloogiainstituudi matemaatik Dan Margalit.

Vogtmann ja Borinsky alustasid küsimustega, mida Warwicki ülikooli matemaatik Vogtmann oli endale aastakümneid esitanud. Seejärel mõtles paar selle probleemi ümber füüsika keeles, kasutades tulemuse saamiseks kvantväljateooria tehnikaid.

Tõestus näitab, et teatud struktuurid eksisteerivad mooduliruumis, kuid see ei paljasta selgesõnaliselt, millised need struktuurid on. Sel moel sarnaneb nende uus tulemus pigem metallidetektoriga kui kaameraga – see annab neile märku, et midagi huvitavat on peidus, kuigi nad ei oska seda täielikult kirjeldada.

Graafikute mooduliruume võib mõelda kui matemaatilisi kujundeid, millele on lisatud kaunistus. Kui seisate kujundi mis tahes punktis, näete enda kohal hõljuvat graafikut – punktide või tippude kogumit, mis on ühendatud servadega. Mooduliruumi erinevates kohtades graafikud muutuvad, nende servad kahanevad või kasvavad ning mõnikord kaovad üldse. Nende omaduste tõttu kirjeldab Šveitsi Zürichi Föderaalse Tehnoloogiainstituudi matemaatiline füüsik Borinsky mooduliruume kui "suurt graafikute merd".

Graafi "aste" on sellel olevate tsüklite arv; iga graafiku järgu jaoks on olemas moodulruum. Selle ruumi suurus kasvab kiiresti – kui fikseerite graafiku servade pikkused, on kolm graafikut järgu 2 kohta, 15 järgu 3, 111 järgu 4 ja 2,314,204,852 10 XNUMX XNUMX astme XNUMX graafikut. Moodulruumis võivad need pikkused olla varieeruda, muutes veelgi keerukamaks.

Antud auastmega graafikute mooduliruumi kuju määravad graafikutevahelised suhted. Ruumis ringi liikudes peaksid läheduses olevad graafikud olema sarnased ja sujuvalt üksteiseks muutuma. Kuid need seosed on keerulised, jättes mooduliruumi matemaatiliselt rahutuks tegevate tunnustega, näiteks piirkondadega, kus mooduliruumi kolm seina läbivad üksteist.

Matemaatikud saavad uurida ruumi või kujundi struktuuri, kasutades objekte, mida nimetatakse kohomoloogiaklassideks, mis võivad aidata paljastada, kuidas ruum kokku pannakse. Näiteks kaaluge üht matemaatikute lemmikkuju, sõõrikut. Sõõrikul on kohomoloogiatunnid lihtsalt silmused.

Sõõriku pinnale saab joonistada mitut erinevat tüüpi silmust: Silmus 1 ümbritseb sõõriku keskmist auku; keerake 2 niiti läbi augu; kolmas "triviaalne" silmus asub sõõriku küljel.

Kõik kohemoloogiaklassid ei ole siiski võrdsed. Sõõriku välisküljel asuv silmus – nagu kolmas silmus – võib alati ümber libiseda või kokku tõmbuda, et vältida teise silmuse ristumist. See teeb sellest "triviaalse" koomoloogiaklassi.

Kuid silmused 1 ja 2 räägivad sõõriku struktuuri kohta palju rohkem - need eksisteerivad ainult augu tõttu. Erinevuse matemaatiliseks tajumiseks võib kasutada ristmikke, selgitas Margalit. Silmused 1 ja 2 võivad sõõriku pinnal ringi libiseda, kuid kui te ei sunni neid pinnast täielikult lahti murdma, ristuvad need alati üksteisega. Kuna need kaks silmust tulevad koos partneritega, keda nad ei saa parata, on need "mittetriviaalsed" kohomoloogiatunnid.

Erinevalt sõõrikust ei leia matemaatikud graafikute mooduliruumides kohemoloogiaklasse pelgalt pilti joonistades. Nii suure hulga graafikute puhul on mooduliruume raske käsitseda, ütles Kopenhaageni ülikooli matemaatik Nathalie Wahl. "Väga kiiresti, arvuti ei saa enam aidata," ütles ta. Tõepoolest, ainult üks paaritumõõtmeline mittetriviaalne kohomoloogiaklass on olnud selgesõnaliselt arvutatud (11 mõõtmega) koos mõne paarilisega.

Vogtmann ja Borinsky tõestasid, et antud auastmega graafikute mooduliruumis on tohutult palju kohemoloogiaklasse – kuigi me ei leia neid. "Me teame, et neid on palju ja me teame ühte," ütles Wahl ja nimetas olukorda "naeruväärseks".

Kohomoloogiaklassidega otse töötamise asemel uurisid Borinsky ja Vogtmann arvu, mida nimetatakse Euleri tunnuseks. See arv annab teatud tüüpi mooduliruumi mõõtmise. Moodulruumi saab teatud viisil muuta, muutmata selle Euleri karakteristikut, muutes Euleri tunnuse ligipääsetavamaks kui kohemoloogiaklassid ise. Ja seda Borinski ja Vogtmann tegidki. Selle asemel, et töötada otse graafikute mooduliruumiga, uurisid nad selgroogu – sisuliselt üldise ruumi skeletti. Lülisambal on samad Euleri omadused nagu mooduliruumil endal ja sellega on lihtsam töötada. Selgroo Euleri karakteristiku arvutamine taandus suure hulga graafikupaaride loendamisele.

Borinsky arusaam oli kasutada tehnikaid Feynmani diagrammide loendamiseks, mis on graafikud, mis näitavad kvantosakeste interaktsiooni. Kui füüsikud tahavad näiteks arvutada tõenäosust, et elektroni ja positroni kokkupõrge tekitab kaks footoni, peavad nad kõigi võimalike interaktsioonide summa mis viivad selle tulemuseni. See tähendab paljude Feynmani diagrammide keskmistamist, nutikate loendusstrateegiate motiveerimist.

"Sain aru, et sellist probleemi saab sõnastada mänguasja kvantväljateooria universumina," selgitas Borinsky.

Borinsky kujutas ette, et graafikud esindavad füüsilisi süsteeme universumi lihtsas versioonis, milles muude eelduste hulgas on ainult ühte tüüpi osakesi. Kvantväljateooria raamistik vajas Borinski ja Vogtmanni jaoks õige loenduse saamiseks veidi kohandamist. Näiteks kvantväljateoorias on kaks graafikut, mis on üksteise peegelpildid, eristamatud, ütles Borinsky. Feynmani diagrammide liitmise valemid sisaldavad tegureid, mis tagavad, et neid graafikuid ei arvestata üle. Kuid kui tegemist on Euleri karakteristiku arvutamisega, peetakse neid graafikuid erinevateks. "Peame graafikute sümmeetriatega natuke mängima," ütles Borinsky.

Mõne füüsiku programmeerimisabiga Jos Vermaseren, Borinsky ja Vogtmann said sellest raskusest lõpuks üle. Oma jaanuarikuu töös tõestasid nad, et auastmegraafikute mooduliruumi Euleri tunnus n muutub massiliselt negatiivseks n läheb suuremaks. See tähendab, et igas mooduliruumis tuleb avastada palju, palju mittetriviaalseid kohomoloogiaklasse.

Kuigi Borinski ja Vogtmanni artikkel ei sisalda enam vihjeid nende kohomoloogiatundide kohta, on see julgustav tulemus teadlastele, kes soovivad neid leida – ja võib-olla lisab see jahi põnevust. Margalit koomoloogiatundidest ütles: „Need, keda me teame, on just need kalliskivid. Ja iga kord, kui me selle leiame, on see ilus asi.