ریاضیدان خلاقیت، هنر، منطق و زبان | مجله کوانتا

مدت زیادی طول کشید تا کلر وویسین عاشق ریاضیات شد.

این بدان معنا نیست که او هرگز این موضوع را دوست نداشته است. او که در فرانسه بزرگ شد - دهمین فرزند از 10 فرزندش - از گذراندن ساعت ها برای حل مسائل ریاضی با پدرش که یک مهندس بود لذت می برد. زمانی که ۱۲ ساله شد، به تنهایی شروع به خواندن یک کتاب درسی جبر دبیرستانی کرده بود و مجذوب تعاریف و شواهد ذکر شده در صفحات آن شده بود. او گفت: «همه این ساختار وجود داشت. "جبر در واقع یک نظریه ساختارها است."

اما او ریاضیات را به عنوان یک فراخوان مادام العمر نمی دید. تا زمانی که در دوران دانشگاه بود متوجه شد که چقدر می تواند عمیق و زیبا باشد - و او قادر به اکتشافات جدید بود. تا آن زمان، او به طور جدی علاوه بر ریاضی، به دنبال علایق متعددی نیز بود: فلسفه، نقاشی و شعر. او خندید: «وقتی 20 ساله بودم، فکر می‌کنم فقط ریاضیات و نقاشی می‌کردم. شاید کمی بیش از حد بود.» در اوایل 20 سالگی، ریاضیات همه چیز را در بر گرفته بود. اما نقاشی و شعر همچنان بر او تأثیر گذاشت. او ریاضیات را به عنوان یک هنر - و راهی برای فشار دادن و بازی با محدودیت های زبان می داند.

ده ها سال بعد، پس از تبدیل شدن به یک رهبر در زمینه هندسه جبری، Voisin دوباره زمانی برای نقاشی و ساخت مجسمه های گلی پیدا کرد. با این حال، ریاضیات همچنان بیشتر توجه او را به خود اختصاص داده است. او ترجیح می دهد وقت خود را صرف کاوش در این «دنیای متفاوت» کند، جایی که «مثل اینکه در حال خوابیدن هستید».

Voisin محقق ارشد مرکز ملی تحقیقات علمی فرانسه در پاریس است. در آنجا، او انواع جبری را مطالعه می کند، که می توان آنها را به عنوان اشکالی در نظر گرفت که با مجموعه ای از معادلات چند جمله ای تعریف می شوند، روشی که یک دایره با چند جمله ای تعریف می شود. x² + y² = 1. او یکی از برجسته ترین متخصصان جهان در نظریه هاج است، ابزاری که ریاضیدانان برای مطالعه ویژگی های کلیدی انواع جبری از آن استفاده می کنند.

وویسین جوایز متعددی را برای کار خود به دست آورده است، از جمله جایزه تحقیقات خاک رس در سال 2008، جایزه هاینز هاپف در سال 2015، و جایزه شاو برای ریاضیات در سال 2017. در ژانویه، او اولین زنی بود که جایزه کرافورد را دریافت کرد. ریاضیات.

کوانتوم با وویسین در مورد ماهیت خلاقانه ریاضیات صحبت کرد. مصاحبه برای وضوح فشرده و ویرایش شده است.

شما در کودکی از ریاضیات لذت می بردید، اما خودتان را دنبال آن نمی دیدید. چرا که نه؟

جادوی یک اثبات وجود دارد - احساسی که وقتی آن را درک می کنید، زمانی که متوجه شدید چقدر قوی است و چقدر شما را قوی می کند، احساس می کنید. در کودکی می توانستم این را ببینم. و از تمرکزی که ریاضیات نیاز دارد لذت بردم. این چیزی است که با بالا رفتن سن، بیشتر و بیشتر محور تمرین ریاضیات می دانم. بقیه جهان ناپدید می شود. تمام مغز شما برای مطالعه یک مشکل وجود دارد. این یک تجربه خارق‌العاده است، تجربه‌ای که برای من بسیار مهم است - اینکه خود را وادار کنم دنیای چیزهای عملی را ترک کنید، و در دنیایی متفاوت زندگی کنید. شاید به همین دلیل است که پسرم از بازی های ویدیویی بسیار لذت می برد.

اما چیزی که باعث شد من دیر به ریاضیات وارد شوم، به نوعی، این است که مطلقاً به بازی ها علاقه ای ندارم. این برای من نیست. و در دبیرستان، ریاضیات شبیه یک بازی بود. جدی گرفتنش برایم سخت بود. من در ابتدا عمق ریاضیات را نمی دیدم. حتی زمانی که بعد از دبیرستان شروع به کشف براهین و قضایای بسیار جالب کردم، در هیچ نقطه ای فکر نکردم که می توانم چیزی را خودم اختراع کنم و آن را از آن خود کنم.

من به چیزی عمیق تر، جدی تر نیاز داشتم، چیزی که بتوانم آن را از آن خود کنم.

قبل از اینکه آن را در ریاضی پیدا کنید، کجا به دنبال آن بودید؟

من از فلسفه و اصرار آن بر مفهوم یک مفهوم لذت بردم. همچنین، تا حدود 22 سالگی، زمان زیادی را صرف نقاشی، به خصوص قطعات فیگوراتیو با الهام از هندسه کردم. و من به شعر بسیار علاقه داشتم - به کارهای مالارمه، بودلر، رنه شار. من قبلاً در دنیای متفاوتی زندگی می کردم. اما این طبیعی است، به نظر من، وقتی جوان تر هستید.

اما ریاضیات اهمیت بیشتری پیدا کرد. واقعاً تمام مغز شما را می گیرد. وقتی پشت میز خود نیستید و روی یک مشکل خاص کار می کنید، ذهن شما همچنان مشغول است. بنابراین هر چه بیشتر ریاضی می‌کردم، کمتر نقاشی می‌کردم. من اخیراً دوباره شروع به نقاشی کردم، حالا که بچه‌هایم همه خانه را ترک کرده‌اند و زمان خیلی بیشتری دارم.

چه شد که تصمیم گرفتید در نهایت بیشتر انرژی خلاقانه خود را صرف ریاضی کنید؟

ریاضیات بیشتر و بیشتر برایم جالب می شد. به عنوان کارشناسی ارشد و دکتری. دانش آموز، متوجه شدم که ریاضیات قرن بیستم چیزی بسیار عمیق و خارق العاده است. دنیایی از ایده ها و مفاهیم بود. در هندسه جبری، انقلاب معروفی به رهبری الکساندر گروتندیک رخ داد. حتی قبل از گروتندیک، نتایج باورنکردنی وجود داشت. بنابراین، این یک حوزه اخیر است، با ایده هایی که زیبا هستند اما همچنین بسیار قدرتمند هستند. نظریه هاج، که من آن را مطالعه می کنم، بخشی از آن بود.

بیشتر و بیشتر مشخص شد که زندگی من آنجاست. البته من یک زندگی خانوادگی - شوهر و پنج فرزند - و وظایف و فعالیت های دیگری داشتم. اما متوجه شدم که با ریاضیات می توانم چیزی خلق کنم. من می توانستم زندگی خود را وقف آن کنم، زیرا بسیار زیبا، دیدنی و جالب بود.

قبلاً در مورد اینکه چگونه ریاضی یک تلاش خلاقانه است، نوشته اید.

من یک ریاضیدان حرفه ای هستم، بنابراین روز کاری من به طور رسمی حول محور ریاضیات سازماندهی شده است. پشت میز می نشینم؛ من روی کامپیوتر کار میکنم اما بیشتر فعالیت های ریاضی من در آن زمان اتفاق نمی افتد. شما به یک ایده جدید، یک تعریف خوب، یک بیانیه نیاز دارید که فکر می کنید بتوانید از آن بهره برداری کنید. تنها در این صورت است که می توانید کار شما شروع شود. و وقتی پشت میز کارم هستم این اتفاق نمی افتد. من باید ذهنم را دنبال کنم تا خودم را در فکر نگه دارم.

به نظر می رسد که ریاضیات برای شما بسیار شخصی است. آیا در این فرآیند چیزی در مورد خودتان کشف کرده اید؟

وقتی ریاضی می‌کنم، بیشتر وقت‌ها مجبورم با خودم بجنگم، چون خیلی بی‌نظم هستم، خیلی منظم نیستم، و همچنین تمایل به افسردگی دارم. من آن را آسان نمی بینم. اما چیزی که من کشف کردم این بود که در برخی لحظات - مانند صبح هنگام صرف صبحانه، یا زمانی که در خیابان های پاریس قدم می زنم یا در حال انجام یک کار بی فکر مانند تمیز کردن هستم - مغزم به خودی خود شروع به کار می کند. می فهمم که به ریاضیات فکر می کنم، بدون اینکه قصدی داشته باشم. انگار داری خواب میبینی من 62 سال دارم و هیچ روش واقعی برای انجام ریاضیات خوب ندارم: هنوز هم کم و بیش منتظر لحظه ای هستم که الهام بگیرم.

شما با اشیاء بسیار انتزاعی کار می کنید - با فضاهای با ابعاد بالا، با ساختارهایی که معادلات پیچیده را برآورده می کنند. در مورد چنین دنیای انتزاعی چگونه فکر می کنید؟

در واقع آنقدرها هم سخت نیست. انتزاعی ترین تعریف، وقتی با آن آشنا شوید، دیگر انتزاعی نیست. مثل یک کوه زیباست که خیلی خوب می بینید، چون هوا بسیار صاف است و نوری وجود دارد که به شما اجازه می دهد تمام جزئیات را ببینید. از نظر ما، اشیاء ریاضی که مطالعه می کنیم عینی به نظر می رسند، زیرا ما آنها را خیلی بهتر از هر چیز دیگری می شناسیم.

البته، چیزهای زیادی برای اثبات وجود دارد، و زمانی که شروع به یادگیری چیزی می کنید، ممکن است به دلیل انتزاع بودن، رنج بکشید. اما وقتی از یک نظریه استفاده می‌کنید - چون قضایا را درک می‌کنید - در واقع به اشیاء مورد نظر بسیار نزدیک هستید، حتی اگر انتزاعی باشند. با یادگیری در مورد اشیا، با دستکاری آنها و استفاده از آنها در استدلال های ریاضی، آنها در نهایت دوست شما می شوند.

و این نیز مستلزم دیدن آنها از دیدگاه های مختلف است؟

من در ابتدا هندسه جبری نخواندم. من در هندسه تحلیلی و دیفرانسیل پیچیده کار کردم. در هندسه تحلیلی، شما دسته بسیار بزرگتری از توابع و اشکالی را که به صورت محلی توسط آن توابع تعریف می شوند، مطالعه می کنید. آنها بر خلاف هندسه جبری معمولا معادله جهانی ندارند.

من در ابتدا زیاد به دیدگاه جبری توجه نکردم. اما هر چه سنم بالاتر می رود و بیشتر در این زمینه کار می کنم، لزوم داشتن این دو زبان متفاوت را بیشتر می بینم.

یک قضیه باورنکردنی به نام GAGA وجود دارد که کمی شوخی است. در زبان فرانسوی به معنای "سالخوردگی" است، اما مخفف آن نیز می باشد géometrie algébrique و géométrie analytique. می گوید که می توانید از یک زبان به زبان دیگر عبور کنید. اگر ساده تر باشد می توانید یک محاسبات در هندسه تحلیلی پیچیده انجام دهید، سپس به هندسه جبری بازگردید.

در مواقع دیگر، هندسه جبری این امکان را به شما می دهد که نسخه متفاوتی از یک مسئله را مطالعه کنید که می تواند نتایج خارق العاده ای ارائه دهد. من به جای اینکه فقط بر جنبه هندسه پیچیده آن تمرکز کنم، در جهت درک کلی هندسه جبری کار کرده ام.

جالب است که اینها را به عنوان زبان های مختلف ریاضی در نظر می گیرید.

زبان ضروری است. قبل از ریاضیات، زبان وجود دارد. بسیاری از منطق از قبل در زبان وجود دارد. ما همه این قوانین منطقی را در ریاضیات داریم: کمیت، نفی، پرانتز برای نشان دادن ترتیب صحیح عملیات. اما درک این نکته مهم است که همه این قوانین که برای ریاضیدانان حیاتی هستند در حال حاضر در زبان روزمره ما هستند.

شما می توانید یک قضیه ریاضی را با یک شعر مقایسه کنید. با کلمات نوشته شده است. این محصول زبان است. ما فقط اشیاء ریاضی خود را داریم زیرا از زبان استفاده می کنیم، زیرا از کلمات روزمره استفاده می کنیم و به آنها معنای خاصی می دهیم. بنابراین می‌توانید شعر و ریاضیات را با هم مقایسه کنید، زیرا هر دو کاملاً بر زبان تکیه می‌کنند اما همچنان چیز جدیدی خلق می‌کنند.

شما به دلیل انقلاب گروتندیک در هندسه جبری به ریاضیات کشیده شدید. او اساساً زبان جدیدی برای انجام این نوع ریاضیات ایجاد کرد.

درست.

آیا راه‌هایی وجود دارد که زبان ریاضی که اکنون استفاده می‌کنید همچنان نیاز به تغییر داشته باشد؟

ریاضیدانان دائماً زبان خود را دوباره کار می کنند. حیف است، زیرا خواندن مقالات قدیمی را بسیار سخت می کند. اما ما ریاضیات گذشته را دوباره کار می کنیم زیرا آن را بهتر درک می کنیم. روش بهتری برای نوشتن و اثبات قضایا به ما می دهد. این مورد در مورد گروتندیک بود، با کاربرد او از هم‌شناسی شیف در هندسه. واقعا دیدنی است.

این مهم است که با موضوعی که مطالعه می کنید آشنا شوید، تا جایی که برای شما مانند یک زبان مادری است. وقتی یک نظریه شروع به شکل گیری می کند، یافتن تعاریف درست و ساده کردن همه چیز زمان می برد. یا شاید هنوز بسیار پیچیده است، اما ما با تعاریف و اشیاء بسیار بیشتر آشنا می شویم. استفاده از آنها طبیعی تر می شود.

این یک تکامل مداوم است. ما دائماً باید بازنویسی و ساده سازی کنیم، تا در مورد آنچه مهم است، در مورد اینکه چه ابزارهایی را در دسترس قرار دهیم، نظریه پردازی کنیم.

آیا مجبور به ارائه تعاریف جدیدی در کار خود شده اید؟

گاهی. که در کاری که انجام دادم با یانوس کولار، نقطه عطفی بود که در نهایت توانستیم دیدگاه درستی از مشکل پیدا کنیم - از طریق یک تعریف خاص. این یک مشکل بسیار کلاسیک بود و ما با ابزارهای کلاسیک کار کردیم، اما اثبات ما واقعاً بر اساس این تعریفی بود که ما تنظیم کردیم.

در مورد دیگری اولیویه دبار, دانیل هویبرشتس, امانوئل ماکری و من خوب ثابت کردم نتیجه طبقه بندی در مورد اجسامی به نام منیفولدهای هایپر کاهلر. و نقطه شروع برای این اثبات، معرفی یک تغییر ناپذیر بود، که ما در ابتدا آن را " نامیدیم.a."[خنده.]

ممکن است اهمیت تعاریف در ریاضیات را دست کم بگیرید، اما نباید این کار را انجام دهید.

تعاریف و زبان تنها نیروهای راهنما در ریاضیات نیستند. حدس ها نیز همینطور هستند، که ممکن است درست باشند یا نباشند. به عنوان مثال، شما کارهای زیادی روی حدس هاج انجام داده اید، یک مسئله هزاره خاک رس که راه حل آن همراه با پاداش 1 میلیون دلاری.

بگویید که یک تنوع جبری دارید که می خواهید بفهمید. بنابراین شما به سمت هندسه تحلیلی پیچیده می روید و آن را به عنوان یک منیفولد پیچیده در نظر می گیرید. شما می توانید یک منیفولد پیچیده را از نظر شکل جهانی یا توپولوژی آن در نظر بگیرید. یک شی به نام هومولوژی وجود دارد که اطلاعات توپولوژیکی زیادی در مورد منیفولد به شما می دهد. اما تعریف آن چندان آسان نیست.

اکنون زیر گونه های جبری را در تنوع اصلی خود در نظر بگیرید. هر یک دارای یک متغیر توپولوژیکی، اطلاعات توپولوژیکی خاص مرتبط با آن خواهد بود. کدام بخش از همولوژی منیفولد پیچیده را می توان با مشاهده این متغیرهای توپولوژیکی به دست آورد؟

حدس هاج پاسخ خاصی می دهد. و پاسخ بسیار ظریف است.

بنابراین ریاضیدانان مطمئن نیستند که آیا حدس هاج در نهایت درست است یا نادرست؟

شما می خواهید به حدس هاج اعتقاد داشته باشید، زیرا این یک راهنما در نظریه های اصلی در هندسه جبری است.

شما واقعاً دوست دارید ویژگی های اصلی انواع جبری را درک کنید. و اگر حدس هاج درست باشد، به شما کنترل باورنکردنی بر هندسه تنوع می دهد. اطلاعات بسیار مهمی در مورد ساختار انواع بدست خواهید آورد.

دلایل محکمی برای باور به آن وجود دارد. موارد خاصی از حدس هاج شناخته شده است. و اظهارات عمیق زیادی در مورد انواع جبری وجود دارد که به درستی حدس هاج اشاره می کند.

اما تقریباً یک پیشرفت کامل در جهت اثبات آن وجود ندارد. من همچنین ثابت کردم که هیچ راهی برای گسترش حدس هاج به موقعیت دیگری که در آن طبیعی به نظر می رسد وجود ندارد. پس این کمی شوکه کننده بود.

پس از دهه ها کار به عنوان یک ریاضیدان، آیا احساس می کنید که در حال حاضر عمیق تر به ریاضیات می پردازید؟

اکنون که بزرگتر شده ام، زمان بیشتری دارم تا انرژی خود را صرف ریاضیات کنم تا واقعاً در آن حضور داشته باشم. من همچنین توانایی بهتری برای رفتن به اینجا و آنجا دارم. در گذشته، شاید به این دلیل که زمان کمتری داشتم، تحرک کمتری داشتم - اگرچه تحرک بیش از حد، لمس کردن مشکلات بدون چسبیدن به آنها نیز خوب نیست. اکنون من با تجربه تر هستم و می توانم تصویر خود را بسازم.

شما تصویر بسیار بهتری از چیزهایی که نمی دانید، از مشکلات باز دارید. شما دید دقیقی از رشته خود و مرزهای آن دارید. پیر شدن باید جنبه های خوبی داشته باشد. و هنوز کارهای زیادی برای انجام دادن وجود دارد.