از سیستم های در حرکت، الگوهای بی نهایت ظاهر می شوند

در آذر 1977 یک انقلابی مقاله بی سر و صدا در ظاهر شد Journal d'Analyse Mathématique، یک مجله تخصصی ریاضیات. نویسنده، هیلل فورستنبرگ، ادعای هیچ نتیجه هیجان انگیز - یا حتی جدید - نداشته است. او به سادگی اثبات یک قضیه ای را ارائه کرده بود که یک ریاضیدان دیگر، آندره سامردی، دو سال قبل آن را اثبات کرده بود.

با وجود آن، مقاله Furstenberg اثری ماندگار در ریاضیات بر جای گذاشت. استدلال جدید او حاوی هسته‌ای از بینش با پیامدهای گسترده بود: می‌توانید مسائلی مانند آنچه Szemeredi حل کرده بود، در مورد مجموعه‌هایی از اعداد صحیح، به سؤالاتی در مورد نقاط در حال حرکت در فضا بازنویسی کنید.

در سال‌های پس از آن، تکنیک‌های فورستنبرگ بارها و بارها مورد استفاده قرار گرفته‌اند و کم کم تعدیل و بهبود یافته‌اند. در اوایل سال جاری، آنها در دو مقاله جدید ظاهر شدند که الگوهای بی‌نهایت را در مجموعه‌ای از اعداد صحیح نشان می‌دهند - که با جهش و حد و مرز از قضیه فعلی 47 ساله Szemeredi پیش می‌روند.

اثبات فورستنبرگ

Szemeredi مجموعه‌هایی را بررسی می‌کرد که حاوی «کسری مثبت» از همه اعداد صحیح هستند. برای مثال، مجموعه‌ای را در نظر بگیرید که شامل همه مضرب‌های 5 است. همانطور که به بخش‌های بزرگ‌تر و بزرگ‌تر خط اعداد نگاه می‌کنید، مضرب‌های 5 به طور منظم ظاهر می‌شوند. ریاضیدانان می گویند که مجموعه ای که شامل همه مضرب های 5 است، کسری از یک پنجم تمام اعداد صحیح را دارد.

در مقابل، در حالی که تعداد نامتناهی اعداد اول وجود دارد، با بزرگتر شدن اعداد آنقدر نادر می شوند که مجموعه همه اعداد اول شامل کسر مثبتی از اعداد صحیح نمی شود، یا به عبارت دیگر، چگالی مثبت ندارد. . در عوض گفته می شود که اعداد اول چگالی صفر دارند.

Szemeredi به دنبال نمونه هایی از به اصطلاح پیشرفت های حسابی یا زنجیره ای از اعداد با فاصله مساوی بود. به عنوان مثال، تصور کنید یک دنباله نامتناهی از اعداد مانند مربع های کامل دارید: {1، 4، 9، 16، 25، 36، 49، 64، 81، 100، ...}. مربع های کامل دارای یک پیشرفت حسابی به طول سه هستند که در چند عبارت اول پنهان می شوند: {1، 25، 49}. هر عدد در این پیشرفت 24 بیشتر از نسخه قبلی خود است.

Szemerédi ثابت کرد که هر مجموعه ای که شامل کسری مثبت از اعداد صحیح باشد باید دارای پیشرفت های حسابی دلخواه باشد. نتیجه، نقطه عطفی در زیر شاخه ریاضیات به نام ترکیبات افزودنی بود.

اثبات Szémeredi، هر چند درخشان، تقریبا غیر ممکن بود. گفت: «تا به امروز، من فکر می کنم شاید فقط سه یا چهار نفر وجود داشته باشند که واقعاً اثبات [زمردی] را درک کنند. ترنس تائو، ریاضیدان دانشگاه کالیفرنیا، لس آنجلس.

بنابراین استدلال قابل فهم تر فورستنبرگ مورد استقبال قرار گرفت. فورستنبرگ برای نوشتن آن به روش‌هایی از رشته ریاضی خودش، یعنی سیستم‌های دینامیکی تکیه کرد. سیستم دینامیکی هر فرآیندی است که با گذشت زمان تغییر می کند. این می تواند چیزی به سادگی یک توپ بیلیارد باشد که دور میز بیلیارد می چرخد. تنها چیزی که نیاز دارید راهی برای نمایش ریاضی سیستم شما و یک قانون برای چگونگی تکامل آن است. به عنوان مثال، یک توپ را می توان با موقعیت و سرعت آن توصیف کرد. آن سیستم در طول زمان و با پیروی از قوانین فیزیک کلاسیک به روشی تعیین شده پیشرفت می کند.

فورستنبرگ بیشتر به چیزی به نام نظریه ارگودیک علاقه داشت. نظریه پردازان ارگودیک به جای نگاه کردن به وضعیت یک سیستم در هر نقطه از زمان، آمار را در دوره های طولانی مطالعه می کنند. برای یک توپ بیلیارد، این می تواند به این معنی باشد که بفهمید آیا توپ در برخی نقاط روی میز بیشتر از سایر نقاط میز قرار می گیرد، زیرا تمایل دارد از دیوارها پرت شود.

ایده کلیدی فورستنبرگ این بود که مجموعه اعداد صحیح را نه به عنوان اشیاء ثابت، بلکه به عنوان حالت های لحظه ای در یک سیستم دینامیکی ببیند. ممکن است تغییر کوچکی در دیدگاه به نظر برسد، اما به او اجازه داد تا از ابزارهای نظریه ارگودیک برای اثبات نتایج در ترکیبات استفاده کند. در آن زمان، فورستنبرگ نمی‌دانست که ایده‌های او زندگی خاص خود را خواهند گرفت. او گفت: "فقط، من دوست داشتم این مدرک دیگر را داشته باشم." اما دیگران نوید ارتباط بین نظریه ارگودیک و ترکیبات را دیدند. تائو می‌گوید: «نسل کامل از نظریه‌پردازان ارگودیک شروع به استفاده از ترکیبات و حل همه این مسائل کردند، و بالعکس.

در طول چند سال گذشته، چهار ریاضیدان - برینا کرا, جوئل موریرا, فلوریان ریشتر و دونالد رابرتسون - تکنیک های فورستنبرگ را برای یافتن نه تنها پیشروی های طولانی دلخواه در هر مجموعه ای که شامل کسری مثبت از اعداد صحیح است، توسعه داده اند، بلکه نسخه های بی نهایتی از ساختارها به نام مجموعه های جمعی را پیدا می کنند.

"مجموعه ها بسیار کمتر از پیشرفت ها مشخص هستند. رابرتسون گفت: آنها خیلی کمتر خاص هستند. اما جالب‌تر و ظریف‌تر است، زیرا مجموعه‌های مجموع پیکربندی‌های بی‌نهایتی دارند، در حالی که پیشرفت‌ها محدود هستند.

تائو گفت: اگر فورستنبرگ پلی بین نظریه ارگودیک و ترکیبیات ساخته است، کرا، موریرا، ریشتر و رابرتسون آن را به یک "بزرگراه شش خطه" بزرگ کرده اند.

B + C حدس

قضیه Szemerédi اولین بار در سال 1936 توسط دو ریاضیدان مطرح شد، اما ثابت نشد. یکی از آنها یک ریاضیدان مجارستانی بود که به دلیل حدس زدن مشهور بود: پل اردوس. در سال 2016، هنگامی که موریرا در حال کار بر روی پایان نامه دکترای خود در دانشگاه ایالتی اوهایو بود، به طور تصادفی با حدس دیگری که Erdős کرده بود در مورد ساختارهایی به نام sumsets.

یک مجموعه از دو مجموعه دیگر ساخته می شود. به آن ها زنگ بزن B و C. مجموعه، به صورت نوشته شده است B + C, با جمع کردن هر جفت اعداد ممکن و گرفتن یک عدد از آن ساخته می شود B و دیگری از C. Erdős این را برای هر مجموعه حدس زد A که شامل کسری مثبت از اعداد صحیح است، مجموعه های بی نهایت دیگری نیز وجود دارد B و C که مجموعه آن در داخل موجود است A. در مقاله‌ای که موریرا می‌خواند، نویسندگان حدس Erdős را ثابت کرده بودند که A شامل کسر بزرگی از اعداد صحیح است. اما برای مجموعه های چگالی مثبت کوچکتر، نتیجه هنوز ناشناخته بود. موریرا گفت: «به محض اینکه بیانیه را خواندم، فکر کردم که این سؤال واقعاً خوبی است، زیرا بسیار ساده است. این یا نادرست است، یا نباید دشوار باشد. که البته اشتباه بود نه دروغ بود و نه آسان.»

موریرا ریشتر و رابرتسون، دوستان خود را از دوران تحصیلات تکمیلی، در این پروژه آورد. رابرتسون که اکنون در دانشگاه منچستر است، یک سال قبل از موریرا فارغ التحصیل شده بود و ریشتر چند سال عقب بود. هر سه در به کارگیری تکنیک های نظریه ارگودیک در ترکیب شناسی تبحر داشتند. اما این مشکل چالش های جدیدی را ایجاد کرد.

گفت: «عملاً هیچ سابقه‌ای برای یافتن مجموع‌های نامتناهی در داخل مجموعه‌ای از چگالی مثبت وجود نداشت.» دانیل گلسکوک، ریاضیدانی در دانشگاه ماساچوست، لاول که در مقطع کارشناسی ارشد با موریرا، ریشتر و رابرتسون تحصیل کرد.

شاید به همین دلیل، حل مشکل sumset دشوار بود. موریرا گفت: «ما باید کمی تئوری ارگودیک را مجبور کنیم تا به نتیجه برسد. تلاش آنها در نهایت نتیجه داد، و در چه مارسین سابوک از دانشگاه مک گیل که آن را "دستاورد شگفت انگیز" نامیدند، آنها موفق شدند حدس اردوس را در سال 2018 ثابت کنند. منتشر شده در سالنامه ریاضیات، یکی از معتبرترین مجلات ریاضی.

اثبات های جدید

آن مقاله دو سوال بزرگ را باز گذاشت. یکی از اینها حدس جمع دیگری از Erdős به نام the B + B + t حدس

موریرا، ریشتر و رابرتسون نیز یک سوال برای خود مطرح کرده بودند: اگر مجموعه ای با چگالی مثبت دارید. A، آیا می توانید سه مجموعه بی نهایت پیدا کنید - B, C و در حال حاضر D - جایی که B + C + D درونش است A? چهار مجموعه بی نهایت چطور؟ پنج؟

پس از ارائه نسخه چند مجموعه ای، ریاضیدانان برای مدتی گیر کردند. به نظر می رسید که تکنیک هایی که برای حدس دو مجموعه ای استفاده کرده بودند به حد خود رسیده بود.

ریشتر گفت: «ما نتوانستیم یک فرمول مجدد پویا برای این مشکل پیدا کنیم. او گفت که رویکرد آنها "در همان ابتدا شکست خورد."

دو سال گذشت تا اینکه پیشرفت واقعی را دیدند. در آن زمان، ریشتر یک دانشجوی فوق دکترا در دانشگاه نورث وسترن بود برینا کرا استاد بود در سال 2020، که به دلیل همه‌گیری کووید-19 از ملاقات حضوری جلوگیری شد، کرا و ریشتر متوجه شدند که در مورد مشکل sumset از طریق Zoom بحث می‌کنند.

کرا گفت: "در نهایت، ما به تغییرات دیگری رسیدیم که فهمیدیم."

کرا و ریشتر هر هفته با موریرا و رابرتسون شروع به صحبت کردند و اثبات سال 2018 را دوباره بررسی کردند.

کرا گفت: «کاری که ما باید انجام می‌دادیم این بود که در هر مرحله از اثبات، با ترجمه آن به یک سیستم دینامیکی دوباره فکر کنیم.

سال 2019 برای آنها مفید بود مقاله توسط یک ریاضیدان فرانسوی به نام برنارد هاست. هاست نتیجه موریرا، ریشتر و رابرتسون را دوباره اثبات کرده بود و متوجه شده بود که چگونه نظریه ارگودیک را آواز بخواند. به عقیده موریرا، هاست "دید که چگونه اثبات خود را به شکلی که باید نوشته می شد بنویسیم."

با در دست داشتن پیشرفت‌های هاست، کرا، موریرا، ریشتر و رابرتسون همچنان به اصلاح اثبات خود ادامه دادند و سعی کردند ساده‌ترین و ظریف‌ترین استدلال ممکن را استخراج کنند. فکر می‌کنم، بارها و بارها آن را کالبدشکافی می‌کردیم تا واقعاً ببینیم: اصل موضوع چیست؟ گفت ریشتر. "در پایان، ما مدرکی داشتیم که شباهت بسیار کمی با اثبات اولیه داشت."

مدرکی که آنها به آن دست یافتند، مانند فورستنبرگ، مجموعه های نامتناهی از اعداد صحیح را به عنوان مهرهای زمانی در یک سیستم دینامیکی مشاهده کرد. اگرچه این سیستم دینامیکی بهتر است به عنوان نقاطی که در فضا پرش می کنند تصور شود.

در اینجا یک تصویر تقریبی از نحوه عملکرد آن آمده است: با ایستادن در گوشه ای از یک اتاق بسته شروع کنید، آن را گوشه 0 بنامید. شما به لیستی از زمان ها مجهز شده اید. A. آن مجموعه، A، مجموعه ای از اعداد صحیح با چگالی مثبت است.

شما همچنین به یک قانون برای حرکت در اتاق مجهز هستید. هر ثانیه، بر اساس جایی که فقط ایستاده اید، به یک نقطه جدید می روید. قاعده دقیقی که از آن پیروی می کنید به گونه ای طراحی می شود که با مجموعه زمان های شما مطابقت داشته باشد A - هر زمان که مهر زمان مشخص شد A، خود را در یک منطقه خاص از اتاق خواهید دید.

مثلا بگو A شامل تمام اعداد قابل تقسیم بر 4 است و در هر ثانیه در جهت عقربه های ساعت به گوشه بعدی اتاق حرکت می کنید. بعد از یک ثانیه به گوشه 1 می روید. بعد از دو ثانیه، گوشه 2 و غیره. سپس، هر چهار مرحله - یعنی برای هر زمانی که وارد می‌شود آ - شما به گوشه 0 اصلی بازگشته اید.

این روند برای همیشه ادامه دارد. با سفر از گوشه ای به گوشه دیگر در یک دایره در جهت عقربه های ساعت، از هر گوشه بی نهایت بارها بازدید خواهید کرد. به نقطه ای که به تعداد نامتناهی به آن نزدیک شوید، نقطه تجمع می گویند.

کرا، موریرا، ریشتر و رابرتسون ثابت کردند که می‌توانید با هوشمندی یکی از این مکان‌ها را برای یافتن سام ست خود انتخاب کنید. B + C. در مثال گوشه، گوشه 1 را در نظر بگیرید. شما در زمان‌های 1، 5، 9 و 13 به آنجا می‌رسید - زمان‌هایی که شبیه به 4 هستند.n + 1 برای تعدادی عدد صحیح n. اجازه دهید B مجموعه آن زمان ها باشد

حالا تصور کنید که به جای شروع از گوشه 0، از گوشه 1 شروع کنید. این به این معنی است که در مواقعی که بر 4 تقسیم می شود، خود را در گوشه 1 خواهید دید و سه مرحله بعد به گوشه 0 خواهید رسید: گاهی اوقات. 3، 7، 11 یا هر عددی از فرم 4n + 3. مجموعه آن زمان ها را فراخوانی کنید C.

اکنون، دوباره فرآیند خود را از گوشه 0 شروع کنید. این بار، ببینید اگر یک عدد را از آن بگیرید چه اتفاقی می افتد B و یک عدد از C - می گویند، 13 از B و 3 از C - و آنها را جمع کنید.

این 13 + 3 = 16 ثانیه طول می کشد. از آنجایی که 16 مضرب 4 است، در است A. اما شما همچنین می توانید پیش بینی کنید که 13 + 3 بر 4 بخش پذیر خواهد بود و بنابراین در A، بدون اینکه 13 و 3 را با هم جمع کنیم. فقط آنچه را که در سیستم دینامیک زمانی که 13 + 3 ثانیه صبر می کنید دنبال کنید: اول، 13 ثانیه می گذرد. در آن مرحله، خود را در گوشه 1 می یابید. سپس، با شروع از گوشه 1، سه مرحله دیگر را حرکت می دهید، که شما را به گوشه 0 برمی گرداند. از آنجایی که از گوشه 0 شروع کرده اید و به آنجا ختم شده اید، باید منتظر بوده باشید. مضرب چهار ثانیه، به این معنی که کل زمان یک عدد در مجموعه اصلی بود A.

برای اینکه این استدلال عملی شود، گروه مجبور شد با بسیاری از جزئیات ریاضی پیچیده برخورد کند. به عنوان مثال، در بیشتر موارد شما تعداد نامحدودی از نقاط برای حرکت در دسترس دارید، نه فقط چهار گوشه. این بدان معناست که شما در واقع بی نهایت بارها به یک نقطه باز نخواهید گشت. شما فقط چندین بار به آن نزدیک خواهید شد. که پیچیدگی های ریاضی جدیدی را به استدلال وارد کرد. اما به محض اینکه فهمیدند این فرآیند چگونه کار خواهد کرد، می‌دانستند که می‌توانند با سؤالات سخت‌تری که دنبال می‌کنند مقابله کنند.

ریشتر که اکنون در مؤسسه فناوری فدرال سوئیس لوزان است، گفت: "ما این مدرک را در اینجا به دست آوردیم، و بلافاصله مشخص شد که چگونه آن را تعمیم دهیم." به عنوان مثال، برای اثبات نسخه چند مجموعه ای از حدس، محققان فقط می توانند یک نقطه تجمع به مسیر اضافه کنند. بحث کلی یکسان بود، فقط با لایه جدیدی از پیچیدگی.

چکش زدن تمام نکات فنی کار آسانی نبود. بعد از اینکه آن‌ها به تنظیمات دینامیکی خود رسیدند، کرا، موریرا، ریشتر و رابرتسون بیش از یک سال طول کشید تا شواهدی برای حدس‌های دشوارتر پیدا کنند. در ژوئن سال جاری، گروه در نهایت دو مقاله ارسال کرد. یکی ثابت کرد نسخه چند مجموعه ای حدس مجموعه. دیگری ثابت کرد B + B + t نسخه حدس، که مستلزم آن است که مجموعه دوم C برابر ست اول باشد B، با مقداری ثابت جابجا شده است، t.

گام های بعدی

اگرچه مقالات ژوئن دو سؤال را در مورد مجموعه‌ها حل می‌کنند، کرا، موریرا، ریشتر و رابرتسون آینده‌ای طولانی را برای خط تحقیق خود متصور هستند. موریرا که اکنون در دانشگاه وارویک است، می‌گوید: «همان‌طور که با تمام خواسته‌های اردوس، او فقط از ما می‌خواهد که پایمان را در خانه بگذاریم. "اما اکنون باید در را باز کنیم و برویم چیزهای دیگری در آنجا وجود دارد."

در مقالات جدید خود، این چهار ریاضیدان چندین جهت ممکن برای اکتشاف را در قالب سوالاتی که هنوز بی پاسخ مانده اند، ارائه می کنند. یکی بر این واقعیت تکیه می کند که هر چند هر مجموعه ای با چگالی مثبت A شامل یک مجموع بی نهایت است B + C، لزوماً شامل دو جزء نیست B و C. کی می تونی اصرار کنی B و C همچنین باید داخل آن باشد A? نویسندگان همچنین ریاضیدانان را به چالش می کشند تا بفهمند آیا می توانند دنباله ای نامتناهی از مجموعه های نامتناهی را پیدا کنند که مجموع آنها در A.

یکی دیگر از سؤالات باز در این زمینه قبلاً توسط مت بوون، دانشجوی کارشناسی ارشد سابوک در دانشگاه مک گیل پاسخ داده شده است. در ماه اکتبر، او + نوشته شده در اثباتی که نشان می دهد اگر به هر عدد صحیح یکی از چند رنگ را اختصاص دهید، می توانید مجموعه ای را پیدا کنید B + C و محصول مجموعه ها BC فقط در یکی از رنگ ها

اینکه کار جدید کرا، موریرا، ریشتر و رابرتسون دقیقاً به کجا منجر شود هنوز مشخص نیست. اما تائو حداقل نسبت به تکنیک های جدیدی که گروه توسعه داده است خوشبین است. او گفت که آنچه آنها با روش های خود به دست می آورند "در واقع بسیار شگفت انگیز است". سؤالات دیگری در مورد مجموعه های بی نهایت وجود دارد که قبلاً ناامیدکننده تلقی می شدند و اکنون در دسترس هستند.