پازل ریاضی باز نظریه میدان کوانتومی

ماه گذشته، کارن وگتمن و مایکل بورینسکی اثبات ارسال کرد که یک کامیون از ساختار ریاضی در یک دنیای ریاضی تا کنون غیر قابل دسترس به نام فضای مدول نمودارها وجود دارد که وگتمن و یکی از همکارانش اولین بار توصیف در اواسط 1980s.

"این یک مشکل فوق العاده سخت است. شگفت انگیز است که آنها توانستند این کار را انجام دهند.

Vogtmann و Borinsky با سوالاتی شروع کردند که Vogtmann، ریاضیدان دانشگاه وارویک، دهه‌ها از خود می‌پرسید. سپس این زوج با استفاده از تکنیک‌های نظریه میدان کوانتومی، موضوع را به زبان فیزیک دوباره تصور کردند تا به نتیجه خود برسند.

این اثبات نشان می‌دهد که ساختارهای خاصی در فضای مدول وجود دارند، اما به صراحت مشخص نمی‌کند که آن ساختارها چیستند. به این ترتیب، نتیجه جدید آنها بیشتر شبیه یک فلزیاب است تا یک دوربین - به آنها هشدار می دهد که چیزی جالب پنهان شده است، حتی اگر نمی توانند به طور کامل آن را توصیف کنند.

می توانید فضاهای مدول نمودارها را به عنوان اشکال ریاضی با تزئینات اضافه در نظر بگیرید. اگر در هر نقطه ای از شکل بایستید، نموداری را می بینید که بالای سر شما شناور است - مجموعه ای از نقاط یا رئوس که توسط لبه هایی به هم متصل شده اند. در مکان‌های مختلف در یک فضای مدول، نمودارها تغییر می‌کنند، لبه‌های آن‌ها کوچک یا بزرگ می‌شوند و گاهی اوقات به طور کلی ناپدید می‌شوند. به دلیل این ویژگی ها، بورینسکی، فیزیکدان ریاضی در موسسه فدرال فناوری زوریخ سوئیس، فضاهای مدول را به عنوان "دریای بزرگی از نمودارها" توصیف می کند.

"رتبه" یک نمودار تعداد حلقه هایی است که دارد. برای هر رتبه از نمودارها، یک فضای مدول وجود دارد. اندازه این فضا به سرعت رشد می کند - اگر طول لبه های نمودار را ثابت کنید، سه نمودار از رتبه 2، 15 از رتبه 3، 111 از رتبه 4، و 2,314,204,852،10،XNUMX،XNUMX از رتبه XNUMX وجود دارد. در فضای مدول، این طول ها می توانند متفاوت است و پیچیدگی بیشتری را معرفی می کند.

شکل فضای مدول برای نمودارهای یک رتبه معین توسط روابط بین نمودارها تعیین می شود. همانطور که در اطراف فضا راه می روید، نمودارهای نزدیک باید مشابه باشند و باید به آرامی به یکدیگر تبدیل شوند. اما این روابط پیچیده هستند و فضای مدول را با ویژگی های ریاضی ناآرام باقی می گذارد، مانند مناطقی که سه دیوار فضای مدول از یکدیگر عبور می کنند.

ریاضیدانان می‌توانند ساختار یک فضا یا شکل را با استفاده از اشیایی به نام کلاس‌های cohomology مطالعه کنند، که می‌تواند به آشکار کردن نحوه چیدمان یک فضا کمک کند. به عنوان مثال، یکی از اشکال مورد علاقه ریاضیدانان، دونات را در نظر بگیرید. در دونات، کلاس های cohomology به سادگی حلقه هستند.

می توان انواع مختلفی از حلقه ها را روی سطح دونات ترسیم کرد: حلقه 1 سوراخ مرکزی دونات را احاطه می کند. 2 نخ را از طریق سوراخ حلقه کنید. سومین حلقه "بی اهمیت" در کنار دونات قرار دارد.

با این حال، همه کلاس‌های cohomology یکسان ایجاد نمی‌شوند. حلقه ای که در قسمت بیرونی دونات قرار دارد - مانند حلقه سوم - همیشه می تواند به اطراف بلغزد یا کوچک شود تا از قطع شدن حلقه دیگر جلوگیری شود. این آن را به یک کلاس هم‌شناسی «بی‌اهمیت» تبدیل می‌کند.

اما حلقه های 1 و 2 چیزهای بیشتری در مورد ساختار دونات می گویند - آنها فقط به دلیل سوراخ وجود دارند. مارگالیت توضیح داد که برای تشخیص ریاضی تفاوت، می توانید از تقاطع ها استفاده کنید. حلقه‌های 1 و 2 می‌توانند روی سطح دونات بلغزند، اما اگر آنها را مجبور نکنید که به طور کلی از سطح جدا شوند، همیشه یکدیگر را قطع می‌کنند. از آنجایی که این دو حلقه با شرکای همراه هستند که نمی‌توانند از آنها عبور کنند، کلاس‌های هم‌شناسی «غیر بی‌اهمیت» هستند.

برخلاف دونات، ریاضیدانان نمی‌توانند کلاس‌های هم‌شناسی را در فضاهای مدول نمودارها فقط با کشیدن یک تصویر پیدا کنند. ناتالی وال، ریاضیدان دانشگاه کپنهاگ، گفت: با چنین تعداد زیادی از نمودارها، دستیابی به فضاهای مدول دشوار است. او گفت: "بسیار سریع، کامپیوتر دیگر نمی تواند کمک کند." در واقع، تنها یک کلاس cohomology غیر پیش پا افتاده با ابعاد عجیب و غریب بوده است به صراحت محاسبه شده است (در 11 بعد)، به همراه تعداد انگشت شماری زوج.

آنچه وگتمن و بورینسکی ثابت کردند این است که تعداد زیادی کلاس هم‌شناسی وجود دارد که در فضای مدول نمودارهای یک رتبه معین قرار دارند - حتی اگر ما نتوانیم آنها را پیدا کنیم. وال گفت: "ما می دانیم که تعداد زیادی وجود دارد و ما یکی را می دانیم." و وضعیت امور را "مضحک" خواند.

بورینسکی و وگتمن به جای کار مستقیم با کلاس‌های هم‌شناسی، عددی به نام مشخصه اویلر را مطالعه کردند. این عدد نوعی اندازه گیری فضای مدول را ارائه می دهد. شما می‌توانید فضای مدول را به روش‌های خاصی بدون تغییر مشخصه اویلر تغییر دهید، و ویژگی اویلر را نسبت به خود کلاس‌های هم‌شناسی قابل دسترس‌تر کنید. و این کاری است که بورینسکی و وگتمن انجام دادند. آنها به جای کار مستقیم با فضای مدول نمودارها، «ستون فقرات» را مطالعه کردند - اساساً اسکلت فضای کلی. ستون فقرات همان ویژگی اویلر را دارد که خود فضای مدول است و کار با آن آسان تر است. محاسبه مشخصه اویلر روی ستون فقرات به شمارش مجموعه بزرگی از جفت نمودارها منجر شد.

بینش بورینسکی استفاده از تکنیک‌هایی برای شمارش نمودارهای فاینمن بود، که نمودارهایی هستند که روش‌های برهمکنش ذرات کوانتومی را نشان می‌دهند. وقتی فیزیکدانان می خواهند مثلاً شانس تولید دو فوتون را از برخورد بین یک الکترون و یک پوزیترون محاسبه کنند، باید مجموع تمام فعل و انفعالات ممکن که منجر به آن نتیجه می شود. این به معنای میانگین گیری بیش از بسیاری از نمودارهای فاینمن، ایجاد انگیزه برای استراتژی های شمارش هوشمندانه است.

بورینسکی توضیح داد: "من متوجه شدم که می توان این نوع مسئله را به عنوان یک جهان نظریه میدان کوانتومی اسباب بازی فرموله کرد."

بورینسکی نمودارها را به‌عنوان نمایانگر سیستم‌های فیزیکی در یک نسخه ساده از جهان تصور کرد، نسخه‌ای که در میان سایر فرضیات، تنها یک نوع ذره در آن وجود دارد. چارچوب تئوری میدان کوانتومی برای دستیابی به شمارش صحیح، نیاز به تعدیل هایی برای بورینسکی و وگتمن داشت. به عنوان مثال، در نظریه میدان کوانتومی، دو نمودار که تصاویر آینه ای از یکدیگر هستند، غیرقابل تشخیص هستند. فرمول های جمع آوری نمودارهای فاینمن شامل عواملی است که تضمین می کند این نمودارها بیش از حد شمارش نمی شوند. اما وقتی نوبت به محاسبه مشخصه اویلر می رسد، آن نمودارها متفاوت در نظر گرفته می شوند. بورینسکی گفت: «ما باید کمی با تقارن نمودارها بازی کنیم.

با کمک برنامه نویسی فیزیکدان جوس ورماسرن، بورینسکی و وگتمن سرانجام بر این مشکل غلبه کردند. در مقاله ژانویه خود، آنها ثابت کردند که مشخصه اویلر فضای مدول نمودارهای رتبه است n به طور گسترده منفی می شود n بزرگتر می شود این نشان می‌دهد که بسیاری از کلاس‌های هم‌شناسی غیرمعمول وجود دارد که باید در هر فضای مدول کشف شوند.

اگرچه مقاله بورینسکی و وگتمن حاوی نکات بیشتری در مورد این کلاس‌های هم‌شناسی نیست، اما برای محققانی که به دنبال یافتن آن‌ها هستند، نتیجه دلگرم‌کننده‌ای است - و شاید به هیجان شکار می‌افزاید. مارگالیت از کلاس‌های cohomology گفت: «این‌هایی که می‌دانیم فقط همین جواهرات هستند. و هر بار که یکی را پیدا می کنیم، به این زیبایی است.»