Sähkömagnetismin kaiut lukuteoriasta | Quanta-lehti

Vuonna 2018, kun Akshay Venkatesh valmistautui saamaan Fields-mitalin, matematiikan korkeimman kunnianosoituksen, hän kantoi paperia taskussaan. Hän oli kirjoittanut siihen taulukon matemaattisista lausekkeista, joilla on vuosisatojen ajan ollut keskeinen rooli lukuteoriassa.

Vaikka ilmaisut olivat olleet näkyvästi esillä Venkateshin omassa tutkimuksessa viimeisen vuosikymmenen aikana, hän ei kantoi niitä muistona siitä, mitä hän oli saanut aikaan, vaan muistutuksena jostakin, jota hän ei vieläkään ymmärtänyt.

Taulukon sarakkeet olivat täynnä salaperäisen näköisiä matemaattisia lausekkeita: äärivasemmalla oli objektit nimeltään pisteet ja oikealla objektit ns. L-funktiot, jotka saattavat olla avain vastaamaan joihinkin modernin matematiikan tärkeimpiin kysymyksiin. Taulukko ehdotti jonkinlaista suhdetta näiden kahden välillä. Vuonna 2012 kirjassa Yiannis Sakellaridis Johns Hopkinsin yliopistosta, Venkatesh oli keksinyt siihen yhden suunnan: Jos heille annettaisiin piste, he voisivat määrittää, oliko sillä yhteydessä L-toiminto.

Mutta he eivät voineet vielä ymmärtää suhdetta käänteisesti. Oli mahdotonta ennustaa, oliko annettu L-funktiolla oli sovitusjakso. Kun he katsoivat L-toiminnot, he näkivät suurelta osin häiriöitä.

Siksi Venkatesh piti paperia taskussaan. Hän toivoi, että jos hän tuijotti luetteloa tarpeeksi kauan, yhteiset piirteet tässä näennäisesti satunnaisessa kokoelmassa L-toiminnot selviäisivät hänelle. Vuoden touhuttuaan sitä ei ollut.

"En voinut ymmärtää, mikä periaate tämän pöydän takana oli", hän sanoi.

Vuosi 2018 oli suuri vuosi Venkateshille monella tapaa. Fields-mitalin saamisen lisäksi hän muutti myös Stanfordin yliopistosta, jossa hän oli ollut edellisen vuosikymmenen ajan, Institute for Advanced Study -instituuttiin Princetonissa, New Jerseyssä.

Hän ja Sakellaridis alkoivat myös keskustella David Ben-Zvi, matemaatikko Texasin yliopistosta Austinista, joka vietti lukukauden instituutissa. Ben-Zvi oli rakentanut uransa rinnakkaiselle matematiikan alueelle, tutkien samanlaisia ​​numerokysymyksiä, joista Sakellaridis ja Venkatesh olivat kiinnostuneita, mutta geometrisestä näkökulmasta. Kun hän kuuli Venkateshin puhuvan tästä mysteeripöydästä, jota hän kantoi mukanaan kaikkialla, Ben-Zvi alkoi melkein heti nähdä uuden tavan tehdä kuukautisia. L-toiminnot kommunikoivat keskenään.

Tämä tunnustuksen hetki käynnisti monivuotisen yhteistyön, joka toteutui viime heinäkuussa, kun Ben-Zvi, Sakellaridis ja Venkatesh julkaisivat 451-sivuinen käsikirjoitus. Paperi luo kaksisuuntaisen käännöksen jaksojen ja välillä L-toimii uudelleenlaadintajaksoilla ja L-funktiot geometristen avaruusparien kannalta, joita käytetään fysiikan peruskysymysten tutkimiseen.

Näin tehdessään se edistyy pitkäaikaisessa unelmassa laajassa matematiikan tutkimusaloitteessa nimeltä Langlands-ohjelma. Ohjelmassa kysymysten parissa työskentelevät matemaatikot pyrkivät rakentamaan siltoja erilaisten alueiden välille osoittaakseen, kuinka kehittyneitä laskennan muotoja (joista pisteet ovat peräisin) voidaan käyttää vastaamaan peruskysymyksiin lukuteoriassa (koti L-funktiot), tai kuinka geometria voidaan tuoda aritmeettisten peruskysymyksiin.

He toivovat, että kun nämä sillat on luotu, tekniikoita voidaan siirtää matematiikan alueelta toiselle, jotta voidaan vastata tärkeisiin kysymyksiin, jotka vaikuttavat heidän omilla aloillaan ratkaisemattomilta.

Uusi paperi on yksi ensimmäisistä, joka yhdistää ohjelman geometriset ja aritmeettiset puolet, jotka ovat vuosikymmenten ajan edenneet pitkälti erillään toisistaan. Luomalla tämän linkin ja laajentamalla tehokkaasti Langlands-ohjelman alaa sellaisena kuin se alun perin suunniteltiin, uusi paperi tarjoaa yhden käsitteellisen kehyksen lukuisille matemaattisille yhteyksille.

"Se yhdistää monia aiempia, erilaiselta näyttäviä ilmiöitä, ja se on aina iloinen asia matemaatikoille", sanoi Minhyong Kim, kansainvälisen matemaattisten tieteiden keskuksen johtaja Edinburghissa Skotlannissa.

Vain yhdistä

Langlands-ohjelman aloitti Robert Langlands, nyt emeritusprofessori Institute for Advanced Studyssa. Se alkoi vuonna 1967 17-sivuisena käsin kirjoitettu kirje Langlandsista, joka oli silloin nuori Princetonin yliopiston professori, Andre Weiliin, joka oli yksi maailman tunnetuimmista matemaatikoista. Langlands ehdotti, että pitäisi olla tapa yhdistää tärkeitä esineitä laskennasta, joita kutsutaan automorfisiksi muodoiksi, algebran objekteihin, joita kutsutaan Galois-ryhmiksi. Automorfiset muodot ovat yleistys jaksollisista funktioista, kuten sini trigonometriassa, jonka ulostulot toistuvat loputtomasti syötteiden kasvaessa. Galois-ryhmät ovat matemaattisia objekteja, jotka kuvaavat, kuinka kentiksi kutsutut entiteetit (kuten reaali- tai rationaaliluvut) muuttuvat, kun niitä laajennetaan uusilla elementeillä.

Tällaisia ​​automorfisten muotojen ja Galois-ryhmien välisiä parisuhteita kutsutaan kaksinaisuuksiksi. He ehdottavat, että eri objektiluokat heijastavat toisiaan, mikä antaa matemaatikoille mahdollisuuden tutkia kumpaa tahansa toisen suhteen.

Matemaatikkojen sukupolvet ovat työskennelleet todistaakseen Langlandsin oletetun kaksinaisuuden olemassaolon. Vaikka he ovat onnistuneet vahvistamaan sen vain rajoitetuissa tapauksissa, jopa nämä rajoitetut tapaukset ovat usein tuottaneet näyttäviä tuloksia. Esimerkiksi vuonna 1994, kun Andrew Wiles osoitti, että Langlandsin ehdottama kaksinaisuus pätee tiettyyn esimerkkiluokkaan, tuloksena oli hänen todisteensa Fermatin viimeisestä lauseesta, joka on yksi matematiikan historian tunnetuimmista tuloksista.

Kun matemaatikot ovat jatkaneet Langlands-ohjelmaa, he ovat myös laajentaneet sitä moneen suuntaan.

Yksi tällainen linja on ollut tutkia aritmeettisten objektien kaksinaisuutta, jotka liittyvät Langlandsin kiinnostuneisiin, mutta eroavat niistä. Sakellaridis ja Venkatesh tutkivat vuonna 2012 kirjassaan kaksinaisuutta ajanjaksojen välillä, jotka liittyvät läheisesti automorfisiin muotoihin. L-funktiot, jotka ovat äärettömiä summia, jotka liittyvät Galois-ryhmiin. Matemaattisesta näkökulmasta jaksot ja L-funktiot ovat täysin erilaisia ​​esineitä, joilla ei ole ilmeisiä yhteisiä piirteitä.

Aikakaudet nousivat matemaattisesti kiinnostaviksi Erich Hecken töissä 1930-luvulla.

L-funktiot ovat äärettömiä summia, joita on käytetty Leonhard Eulerin töistä lähtien 18-luvun puolivälissä lukujen peruskysymyksien tutkimiseen. Kuuluisin L-funktio, Riemannin zeta-funktio, on Riemannin hypoteesin ydin, jota voidaan pitää ennusteena alkulukujen jakautumisesta. The Riemannin hypoteesi on luultavasti matematiikan tärkein ratkaisematon ongelma.

Langlands oli tietoinen mahdollisista yhteyksistä L-funktioita ja jaksoja, mutta hän piti niitä toissijaisina matematiikan eri alojen yhdistämissuunnitelmassaan.

"Yhdessä artikkelissa [Langlands] käsitteli tätä tutkimusta ajanjaksoista ja L-toimii opiskelun arvoisena asiana, Sakellaridis sanoi.

Tervetuloa koneeseen

Robert Langlands ei kuitenkaan korostanut yhteyttä ajanjaksojen ja L-funktiot, Sakellaridis ja Venkatesh pitivät niitä keskeisinä Langlandsin ehdottamien, näennäisesti kaukaisten matematiikan alueiden välisten yhteyksien laajentamisessa ja syventämisessä.

Vuoden 2012 kirjassaan he kehittivät eräänlaisen koneen, joka käytti jaksoa syötteenä, suoritti pitkän laskennan ja tulosti L-toiminto. Kaikki jaksot eivät tuota vastaavia L-funktiot kuitenkin, ja heidän kirjansa tärkein teoreettinen edistysaskel oli ymmärtää, mitkä toimivat. (Tämä perustuu Atsushi Ichinon ja Tamotsu Ikedan aikaisempiin töihin Kioton yliopistossa.)

Mutta heidän lähestymistapallaan oli kaksi rajoitusta. Ensinnäkin se ei selittänyt, miksi tietty ajanjakso tuottaa tietyn L-toiminto. Kone, joka muutti toisen toiseksi, oli musta laatikko. Oli kuin he olisivat rakentaneet myyntiautomaatin, joka antoi usein luotettavasti jotain syötävää joka kerta, kun laitat rahaa, mutta ei ollut etukäteen tietoa, mitä se olisi, tai söisikö kone rahat jakamatta välipalaa.

Joka tapauksessa laittaisit rahasi - kuukautisesi - ja sitten "mene ja laske pitkät luvut ja katso mikä eläintarha L-toiminnot sinulla on”, Venkatesh sanoi.

Toinen asia, jota he eivät onnistuneet saavuttamaan kirjassaan, oli ymmärtää mistä L-toimintoihin liittyy jaksoja. Jotkut tekevät. Toiset eivät. He eivät voineet ymmärtää miksi.

He jatkoivat työtä kirjan ilmestymisen jälkeen yrittäen selvittää, miksi yhteys toimi ja kuinka konetta käytetään molempiin suuntiin – ei vain saada L-funktio tietyltä ajanjaksolta, mutta myös toisinpäin.

Toisin sanoen he halusivat tietää, että jos he laittoivat 1.50 dollaria myyntiautomaattiin, se tarkoitti, että he saisivat pussin Cheetosia. Lisäksi he halusivat kertoa, että jos heillä oli pussi Cheetosia, se tarkoitti, että he laittaisivat 1.50 dollaria myyntiautomaattiin.

Koska ne yhdistävät esineitä, joilla heidän kasvoillaan ei ole mitään yhteistä, kaksinaisuus on voimakas. Voit tuijottaa matemaattisten objektien sarjaa ikuisesti etkä käsitä miten L-funktiot ja jaksot kohtaavat.

"Tapa, jolla ne määritellään ja annetaan, tämä ajanjakso ja L-toiminto, ei ole selvää yhteyttä", sanoi Wee Teck Gan Singaporen kansallisesta yliopistosta.

Kääntääksesi pinnallisesti suhteettomia asioita, sinun on löydettävä yhteinen sävel. Yksi tapa tehdä se esineille, kuten L-funktiot ja jaksot, jotka ovat peräisin lukuteoriasta, on yhdistää ne geometrisiin objekteihin.

Esimerkkinä leluista kuvittele, että sinulla on kolmio. Mittaa kunkin sivun pituus ja voit tuottaa numerosarjan, joka kertoo kuinka kirjoittaa muistiin L-toiminto. Katso toista kolmiota ja katso pituuksien sijaan kolmea sisäkulmaa – voit käyttää näitä kulmia pisteen määrittelemiseen. Vertailun sijaan L-funktiot ja pisteet suoraan, voit verrata niihin liittyviä kolmioita. Kolmioiden voidaan sanoa "indeksoivan". L-funktiot ja pisteet — jos piste sopii kolmion kanssa, jolla on tietyt kulmat, niin kolmion pituudet vastaavat vastaavaa L-toiminto.

"Tämä ajanjakso ja L-toiminto, ei ole selvää yhteyttä tavassa, jolla ne annetaan sinulle. Joten pointti oli kuitenkin, jos voisit ymmärtää jokaista niistä toisella tavalla, eri tavalla… saatat huomata, että ne ovat hyvin vertailukelpoisia”, Gan sanoi.

Vuoden 2012 kirjassaan Sakellaridis ja Venkatesh saavuttivat osan tästä käännöksestä. He löysivät tyydyttävän tavan indeksoida jaksoja käyttämällä tietyntyyppistä geometristä objektia. Mutta he eivät löytäneet samanlaista tapaa ajatella L-toiminnot.

Ben-Zvi luuli voivansa.

Maxwellin kaksoisvasara

Sakellaridisin ja Venkateshin työ oli hieman Langlandsin näkemyksen puolella, mutta Ben-Zvi työskenteli matematiikan alueella, joka oli aivan eri universumissa – Langlands-ohjelman geometrisessa versiossa.

Geometrinen Langlands-ohjelma sai alkunsa 1980-luvun alussa, kun Vladimir Drinfeld ja Alexander Beilinson ehdottivat eräänlaista toisen asteen kaksinaisuutta. Drinfeld ja Beilinson ehdottivat, että Langlandsin kaksinaisuus Galois-ryhmien ja automorfisten muotojen välillä voitaisiin tulkita analogiseksi kaksinaisuudesta kahden tyyppisten geometristen esineiden välillä. Mutta kun Ben-Zvi aloitti työskentelyn geometrisessa Langlands-ohjelmassa jatko-opiskelijana Harvardin yliopistossa 1990-luvulla, linkki geometristen ja alkuperäisten Langlands-ohjelmien välillä oli jokseenkin toiveikas.

"Kun geometrinen Langlands esiteltiin ensimmäisen kerran, se oli sarja psykologisia vaiheita päästäkseen [alkuperäisestä] Langlands-ohjelmasta tähän [geometriseen] lausuntoon, joka tuntui erilaiselta pedolta", Ben-Zvi sanoi.

Vuoteen 2018 mennessä, kun Ben-Zvillä oli sapattivuosi Institute for Advanced Studyssa, osapuolet olivat lähentyneet toisiaan, varsinkin Grenoblen Fourier-instituutin tutkijan Vincent Lafforguen samana vuonna julkaisemassa työssä. Silti Ben-Zvi suunnitteli käyttävänsä vuoden 2018 sapattivierailuaan IAS:ssa tutkimukseen suoraan Langlands-ohjelman geometrisesta puolelta. Hänen suunnitelmansa katkesi, kun hän meni kuuntelemaan Venkateshin puhetta.

"Poikani ja Akshayn tytär olivat leikkikavereita, ja olimme ystäviä sosiaalisesti, ja ajattelin, että minun pitäisi mennä joihinkin Akshayn lukukauden alussa pitämiin keskusteluihin", Ben-Zvi sanoi.

Yhdessä noista varhaisista keskusteluista Venkatesh selitti tarpeen löytää geometrisen objektin tyyppi, joka voisi indeksoida sekä jaksot että L-toiminnot, ja hän kuvaili joitakin viimeaikaisia ​​edistystään tähän suuntaan. Se sisälsi geometristen tilojen käyttämisen symplektiseksi geometriaksi kutsutulta matematiikan alueelta, jonka Ben-Zvi tunsi geometrisen Langlands-ohjelman työstään.

"[Akshay ja Yiannis] olivat työntäneet suuntaan, jossa he olivat alkaneet nähdä asiat symplektisessä geometriassa, ja se soitti minulle erilaisia ​​kelloja", Ben-Zvi sanoi.

Seuraava askel tuli fysiikasta.

Vuosikymmenien ajan fyysikot ja matemaatikot ovat käyttäneet kaksinaisuutta keksiäkseen uusia kuvauksia luonnonvoimien toiminnasta. Ensimmäinen ja tunnetuin esimerkki tulee Maxwellin yhtälöistä, jotka kirjoitettiin ensimmäisen kerran 19-luvun lopulla ja jotka yhdistävät sähkö- ja magneettikentät. Yhtälöt kuvaavat kuinka muuttuva sähkökenttä luo magneettikentän ja kuinka muuttuva magneettikenttä puolestaan ​​luo sähkökentän. Niitä voidaan yhdessä kuvata yhdeksi sähkömagneettiseksi kentällä. Tyhjiössä "näillä yhtälöillä on tämä upea symmetria", Ben-Zvi sanoi. Matemaattisesti sähkö ja magnetismi voivat vaihtaa paikkaa muuttamatta yhteisen sähkömagneettisen kentän käyttäytymistä.

Joskus tutkijat ottavat inspiraatiota fysiikasta todistaakseen puhtaasti matemaattisia tuloksia. Esimerkiksi fyysikot Davide Gaiotto ja Edward Witten osoittivat vuoden 2008 artikkelissa, kuinka sähkömagnetismin kvanttikenttäteorioihin liittyvät geometriset avaruudet sopivat geometriseen Langlands-ohjelmaan. Nämä tilat tulevat pareittain, yksi kummallekin puolelle sähkömagneettista kaksinaisuutta: Hamiltonin G-avaruudet ja niiden duaali: Hamiltonin Ğ-välilyönnit (lausutaan G-hatun välilyönnit).

Ben-Zvi oli omaksunut Gaiotto-Wittenin paperin, kun se ilmestyi, ja hän oli käyttänyt niiden tarjoamaa fysiikan viitekehystä pohtiessaan kysymyksiä geometrisissa Langlandsissa. Mutta sillä työllä - puhumattakaan sitä motivoivasta fysiikan paperista - ei ollut mitään yhteyttä alkuperäiseen Langlands-ohjelmaan.

Eli kunnes Ben-Zvi löysi itsensä IAS:n yleisöstä kuuntelemassa Venkateshia. Hän kuuli Venkateshin selittävän, että vuoden 2012 kirjansa jälkeen hän ja Sakellaridis olivat tulleet uskomaan, että oikea geometrinen tapa ajatella ajanjaksoja oli Hamiltonin termeillä. G- tilat. Mutta Venkatesh myönsi, että he eivät tienneet, minkälaisen geometrisen esineen kanssa pariksi L-toiminnot.

Se soitti kellot Ben-Zville. Kerran Sakellaridis ja Venkatesh olivat yhdistäneet kausia Hamiltonian kanssa G-avaruudet, kävi heti selväksi, mitä varten kaksoisgeometriset objektit on tarkoitettu L-toimintojen tulisi olla: ne Ğ-tilat, joiden Gaiotto ja Witten olivat sanoneet olevan kaksoiskappale G- tilat. Ben-Zville kaikki nämä kaksinaisuus, aritmetiikka, geometria ja fysiikan välillä, näyttivät lähentyvän. Vaikka hän ei ymmärtänytkään koko lukuteoriaa, hän oli vakuuttunut, että se kaikki oli osa "yhtä suurta, kaunista kuvaa".

jotta G tai ei Ğ

Keväällä 2018 Ben-Zvi, Sakellaridis ja Venkatesh tapasivat säännöllisesti Institute for Advanced Studyn kampuksen ravintolassa; parin kuukauden aikana he selvittivät, kuinka tulkita kerättyjä tietoja L-toimii reseptinä Hamiltonin rakentamiseen Ğ- tilat. Kuvassa he totesivat, kaksinaisuus ajanjaksojen ja L-funktiot muuttuu geometriseksi kaksinaisuudesta, joka on järkevää geometrisessa Langlands-ohjelmassa ja saa alkunsa sähkön ja magnetismin kaksinaisuudesta. Fysiikasta ja aritmetiikasta tulee toistensa kaikuja tavalla, joka kaikuu Langlands-ohjelmassa.

"Voisi sanoa, että alkuperäinen Langlands-asetus on nyt tämän uuden kehyksen erikoistapaus", Gan sanoi.

Yhdistämällä erilaisia ​​​​ilmiöitä kolme matemaatikkoa ovat tuoneet osan järjestyksestä, joka on luontainen sähkön ja magnetismin suhteelle jaksojen ja jaksojen väliseen suhteeseen. L-toiminnot.

"Geometrisen Langlandsin vastaavuuden fysiikan tulkinta tekee siitä paljon luonnollisemman; se sopii tähän yleiskuvaan kaksinaisuudesta", Kim sanoi. "Tällä tavalla se, mitä [tämä uusi teos tekee], on tapa tulkita aritmeettista vastaavuutta käyttämällä samanlaista kieltä."

Työssä on rajoituksia. Erityisesti kolme matemaatikkoa osoittavat kaksinaisuuden jaksojen ja välillä L-funktiot geometriassa syntyvien numerojärjestelmien, joita kutsutaan funktiokentiksi, yli, eikä lukukenttien - kuten reaalilukujen - yli, jotka ovat Langlands-ohjelman todellinen koti.

”Peruskuvan on tarkoitus mennä numerokenttien yli. Luulen, että tämä kaikki kehitetään lopulta numerokenttiä varten, Venkatesh sanoi.

Myös funktiokenttien yli työ tuo järjestystä jaksojen ja väliseen suhteeseen L-toiminnot. Niiden kuukausien ajan, jolloin Venkatesh kantoi tulostetta taskussaan, hän ja Sakellaridis eivät tienneet, miksi ne L-funktioiden tulee olla niitä, jotka liittyvät pisteisiin. Nyt suhde on järkevä molempiin suuntiin. He voivat kääntää sen vapaasti käyttämällä yhteistä kieltä.

”Olen tuntenut kaikki nämä ajanjaksot ja olen yhtäkkiä oppinut, että voin kääntää jokaisen toisin ja siitä tulee toinen, jonka minäkin tunsin. Se on erittäin järkyttävä oivallus, Venkatesh sanoi.