Virheenkestävä Monte Carlon kuvitteellisen ajan kvanttisimulaatio

Virheenkestävä Monte Carlon kuvitteellisen ajan kvanttisimulaatio

Aikaleima: 9. helmikuuta 2023 8
Lähdesolmu: 1951595

Mingxia Huo1 ja Ying Li2

1Fysiikan laitos ja Pekingin magneetti-valosähköisten komposiitti- ja rajapintatieteiden avainlaboratorio, Matematiikan ja fysiikan laitos, Pekingin tiede- ja teknologiayliopisto, Beijing 100083, Kiina
2Graduate School of China Academy of Engineering Physics, Peking 100193, Kiina

Onko tämä artikkeli mielenkiintoinen vai haluatko keskustella? Scite tai jätä kommentti SciRate.

Abstrakti

Monikappaleisten kvanttijärjestelmien perustilan ominaisuuksien laskeminen on lupaava lähiajan kvanttilaitteiston sovellus, jolla on potentiaalisia vaikutuksia monille aloille. Perinteinen algoritmi kvanttivaiheestimointi käyttää syviä piirejä ja vaatii vikasietoisia tekniikoita. Monet äskettäin kehitetyt kvanttisimulaatioalgoritmit toimivat epätarkalla ja vaihtelevalla tavalla matalia piirejä hyödyntäen. Tässä työssä yhdistämme kvantti Monte Carlon kvanttilaskentaan ja ehdotamme algoritmia imaginaarisen ajan evoluution simuloimiseksi ja perustilaongelman ratkaisemiseksi. Ottamalla reaaliaikaisen evoluutiooperaattorin näyte satunnaisella evoluutioajalla modifioidun Cauchy-Lorentzin jakauman mukaisesti, voimme laskea havainnon odotetun arvon imaginaariaikaisessa evoluutiossa. Algoritmimme lähestyy tarkkaa ratkaisua, kun piirin syvyys kasvaa polylogaritmisesti halutulla tarkkuudella. Verrattuna kvanttivaiheen estimointiin, Trotterin askelluku eli piirin syvyys voi olla tuhansia kertoja pienempi, jotta maatilaenergiassa saavutetaan sama tarkkuus. Tarkastamme eri mallien numeerisessa simulaatiossa resilienssiä rajallisen piirin syvyyden aiheuttamille trotterisaatiovirheille. Tulokset osoittavat, että Monte Carlo -kvanttisimulaatio on lupaava myös ilman täysin vikasietoista kvanttitietokonetta.

► BibTeX-tiedot

► Viitteet

[1] Richard P. Feynman. Fysiikan simulointi tietokoneilla. Internat. J. Theoret. Phys., 21 (6-7): 467-488, kesäkuu 1982. 10.1007/bf02650179.
https: / / doi.org/ 10.1007 / bf02650179

[2] Seth Lloyd. Universaalit kvantisimulaattorit. Science, 273 (5278): 1073–1078, elokuu 1996. 10.1126/​science.273.5278.1073.
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.273.5278.1073

[3] J. Carlson, S. Gandolfi, F. Pederiva, Steven C. Pieper, R. Schiavilla, KE Schmidt ja RB Wiringa. Quantum Monte Carlon menetelmät ydinfysiikkaan. Rev. Mod. Phys., 87 (3): 1067–1118, syyskuu 2015. 10.1103/​revmodphys.87.1067.
https: / / doi.org/ 10.1103 / revmodphys.87.1067

[4] BL Hammond, WA Lester ja PJ Reynolds. Monte Carlo -menetelmät Ab Initio -kvanttikemiassa. WORLD SCIENTIFIC, maaliskuu 1994. 10.1142/​1170.
https: / / doi.org/ 10.1142 / +1170

[5] WMC Foulkes, L. Mitas, RJ Needs ja G. Rajagopal. Kiinteiden aineiden kvantti-monte carlon simulaatiot. Rev. Mod. Phys., 73 (1): 33–83, tammikuu 2001. 10.1103/​revmodphys.73.33.
https: / / doi.org/ 10.1103 / revmodphys.73.33

[6] U. Schollwöck. Tiheysmatriisi-renormalisointiryhmä. Rev. Mod. Phys., 77 (1): 259–315, huhtikuu 2005. 10.1103/​revmodphys.77.259.
https: / / doi.org/ 10.1103 / revmodphys.77.259

[7] Daniel S. Abrams ja Seth Lloyd. Kvanttialgoritmi, joka tarjoaa eksponentiaalisen nopeuden lisäyksen ominaisarvojen ja ominaisvektorien löytämiseen. Phys. Rev. Lett., 83 (24): 5162–5165, joulukuu 1999. 10.1103/​physrevlett.83.5162.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.83.5162

[8] Alán Aspuru-Guzik, Anthony D. Dutoi, Peter J. Love ja Martin Head-Gordon. Molekyylienergioiden simuloitu kvanttilaskenta. Science, 309 (5741): 1704–1707, syyskuu 2005. 10.1126/​science.1113479.
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.1113479

[9] Dave Wecker, Bela Bauer, Bryan K. Clark, Matthew B. Hastings ja Matthias Troyer. Porttilukuarviot kvanttikemian suorittamiseen pienillä kvanttitietokoneilla. Phys. Rev. A, 90 (2): 022305, elokuu 2014. 10.1103/​physreva.90.022305.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.90.022305

[10] Markus Reiher, Nathan Wiebe, Krysta M. Svore, Dave Wecker ja Matthias Troyer. Kvanttitietokoneiden reaktiomekanismien selvittäminen. Proc. Natl. Acad. Sci., 114 (29): 7555–7560, heinäkuu 2017. 10.1073/​pnas.1619152114.
https: / / doi.org/ 10.1073 / pnas.1619152114

[11] Ryan Babbush, Craig Gidney, Dominic W. Berry, Nathan Wiebe, Jarrod McClean, Alexandru Paler, Austin Fowler ja Hartmut Neven. Elektronisten spektrien koodaus kvanttipiireissä, joiden monimutkaisuus on lineaarinen t. Phys. Rev. X, 8 (4): 041015, lokakuu 2018. 10.1103/​physrevx.8.041015.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevx.8.041015

[12] Emanuel Knill, Raymond Laflamme ja Wojciech H. Zurek. Kimmoisa kvanttilaskenta. Science, 279 (5349): 342-345, tammikuu 1998. 10.1126/​science.279.5349.342.
https: / / doi.org/ 10.1126 / science.279.5349.342

[13] Austin G. Fowler, Matteo Mariantoni, John M. Martinis ja Andrew N. Cleland. Pintakoodit: Kohti käytännöllistä suuren mittakaavan kvanttilaskentaa. Phys. Rev. A, 86 (3): 032324, syyskuu 2012. 10.1103/​physreva.86.032324.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.86.032324

[14] John Preskill. Kvanttilaskenta NISQ-aikakaudella ja sen jälkeen. Quantum, 2: 79, elokuu 2018. 10.22331/q-2018-08-06-79.
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2018-08-06-79

[15] Alberto Peruzzo, Jarrod McClean, Peter Shadbolt, Man-Hong Yung, Xiao-Qi Zhou, Peter J. Love, Alán Aspuru-Guzik ja Jeremy L. O'Brien. Vaihteleva ominaisarvon ratkaisija fotonisessa kvanttiprosessorissa. Nat. Commun., 5 (1), heinäkuu 2014. 10.1038/​ncomms5213.
https: / / doi.org/ 10.1038 / ncomms5213

[16] Dave Wecker, Matthew B. Hastings ja Matthias Troyer. Edistyminen kohti käytännön kvanttivariaatioalgoritmeja. Phys. Rev. A, 92 (4): 042303, lokakuu 2015. 10.1103/​physreva.92.042303.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.92.042303

[17] Sam McArdle, Tyson Jones, Suguru Endo, Ying Li, Simon C. Benjamin ja Xiao Yuan. Vaihteleva ansatz-pohjainen kvanttisimulaatio kuvitteellisesta aikaevoluutiosta. npj Quantum Inf., 5 (1), syyskuu 2019. 10.1038/​s41534-019-0187-2.
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41534-019-0187-2

[18] Mario Motta, Chong Sun, Adrian TK Tan, Matthew J. O'Rourke, Erika Ye, Austin J. Minnich, Fernando GSL Brandão ja Garnet Kin-Lic Chan. Ominaistilojen ja lämpötilojen määrittäminen kvanttitietokoneella käyttämällä kvanttiimaginaarista aikaevoluutiota. Nature Physics, 16 (2): 205–210, marraskuu 2019. 10.1038/​s41567-019-0704-4.
https:/​/​doi.org/​10.1038/​s41567-019-0704-4

[19] Sheng-Hsuan Lin, Rohit Dilip, Andrew G. Green, Adam Smith ja Frank Pollmann. Reaali- ja kuvitteellinen evoluutio kompressoiduilla kvanttipiireillä. PRX Quantum, 2 (1): 010342, maaliskuu 2021. 10.1103/​prxquantum.2.010342.
https: / / doi.org/ 10.1103 / prxquantum.2.010342

[20] William J. Huggins, Bryan A. O'Gorman, Nicholas C. Rubin, David R. Reichman, Ryan Babbush ja Joonho Lee. Puolueeton fermioninen kvantti monte carlo kvanttitietokoneella. Nature, 603 (7901): 416–420, maaliskuu 2022. 10.1038/​s41586-021-04351-z.
https: / / doi.org/ 10.1038 / s41586-021-04351-z

[21] Andrei Alexandru, Gökçe Başar, Paulo F. Bedaque, Sohan Vartak ja Neill C. Warrington. Monte carlon tutkimus hilan reaaliaikaisesta dynamiikasta. Phys. Rev. Lett., 117 (8): 081602, elokuu 2016. 10.1103/​physrevlett.117.081602.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.117.081602

[22] Guifré Vidal. Yksiulotteisten monikappaleisten kvanttijärjestelmien tehokas simulointi. Phys. Rev. Lett., 93 (4): 040502, heinäkuu 2004. 10.1103/​physrevlett.93.040502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.93.040502

[23] GC Wick. Bethe-salpeterin aaltofunktioiden ominaisuudet. Phys. Rev., 96 (4): 1124–1134, marraskuu 1954. 10.1103/​physrev.96.1124.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrev.96.1124

[24] Tong Liu, Jin-Guo Liu ja Heng Fan. Todennäköisyyspohjainen epäyhtenäinen portti kuvitteellisessa aikaevoluutiossa. Quantum Inf. Prosessi, 20 (6), kesäkuu 2021. 10.1007/​s11128-021-03145-6.
https:/​/​doi.org/​10.1007/​s11128-021-03145-6

[25] F. Turro, A. Roggero, V. Amitrano, P. Luchi, KA Wendt, JL Dubois, S. Quaglioni ja F. Pederiva. Kuvitteellinen aikaeteneminen kvanttisirulla. Phys. Rev. A, 105 (2): 022440, helmikuu 2022. 10.1103/​physreva.105.022440.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.105.022440

[26] Yongdan Yang, Bing-Nan Lu ja Ying Li. Nopeutettu kvantti monte carlo, jossa on lievennetty virhe meluisessa kvanttitietokoneessa. PRX Quantum, 2 (4): 040361, joulukuu 2021. 10.1103/​prxquantum.2.040361.
https: / / doi.org/ 10.1103 / prxquantum.2.040361

[27] DFB ten Haaf, HJM van Bemmel, JMJ van Leeuwen, W. van Saarloos ja DM Ceperley. Todistus ylärajalle kiinteän solmun monte carlossa hilafermioneille. Phys. Rev. B, 51 (19): 13039–13045, toukokuu 1995. 10.1103/​physrevb.51.13039.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevb.51.13039

[28] Mario Motta ja Shiwei Zhang. Molekyylijärjestelmien ab initio -laskentaa apukentän kvantti monte carlo -menetelmällä. WIREs Comput. Mol. Sei., 8 (5), toukokuu 2018. 10.1002/wcms.1364.
https: / / doi.org/ 10.1002 / wcms.1364

[29] Joonho Lee, Dominic W. Berry, Craig Gidney, William J. Huggins, Jarrod R. McClean, Nathan Wiebe ja Ryan Babbush. Vielä tehokkaampia kemian kvanttilaskelmia tensorihyperkontraktsioonin avulla. PRX Quantum, 2 (3): 030305, heinäkuu 2021. 10.1103/​prxquantum.2.030305.
https: / / doi.org/ 10.1103 / prxquantum.2.030305

[30] Artur K. Ekert, Carolina Moura Alves, Daniel KL Oi, Michał Horodecki, Paweł Horodecki ja LC Kwek. Suorat estimaatit kvanttitilan lineaarisista ja epälineaarisista funktionaaleista. Phys. Rev. Lett., 88 (21): 217901, toukokuu 2002. 10.1103/​physrevlett.88.217901.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.88.217901

[31] Sirui Lu, Mari Carmen Bañuls ja J. Ignacio Cirac. Algoritmit kvanttisimulaatioon äärellisillä energioilla. PRX Quantum, 2 (2): 020321, toukokuu 2021. 10.1103/​prxquantum.2.020321.
https: / / doi.org/ 10.1103 / prxquantum.2.020321

[32] Thomas E. O'Brien, Stefano Polla, Nicholas C. Rubin, William J. Huggins, Sam McArdle, Sergio Boixo, Jarrod R. McClean ja Ryan Babbush. Virheiden lieventäminen vahvistetun vaiheen arvioinnin avulla. PRX Quantum, 2 (2): 020317, toukokuu 2021. 10.1103/​prxquantum.2.020317.
https: / / doi.org/ 10.1103 / prxquantum.2.020317

[33] Michael A. Nielsen ja Isaac L. Chuang. Kvanttilaskenta ja kvanttitieto. Cambridge University Press, kesäkuu 2012. 10.1017/​cbo9780511976667.
https: / / doi.org/ 10.1017 / cbo9780511976667

[34] Dominic W. Berry, Graeme Ahokas, Richard Cleve ja Barry C. Sanders. Tehokkaat kvanttialgoritmit harvojen hamiltonilaisten simulointiin. Comm. Matematiikka. Phys., 270 (2): 359–371, joulukuu 2006. 10.1007/​s00220-006-0150-x.
https: / / doi.org/ 10.1007 / s00220-006-0150-x

[35] Nathan Wiebe, Dominic Berry, Peter Høyer ja Barry C Sanders. Järjestettyjen operaattorien eksponentiaalien korkeamman asteen hajotukset. J. Phys. V: Matematiikka. Theor., 43 (6): 065203, tammikuu 2010. 10.1088/​1751-8113/​43/​6/​065203.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1751-8113/​43/​6/​065203

[36] Andrew M. Childs ja Nathan Wiebe. Hamiltonin simulointi unitaaristen operaatioiden lineaarisilla yhdistelmillä. Quantum Inf. Comput., 12 (11&12): 901–924, marraskuu 2012. 10.26421/​qic12.11-12-1.
https: / / doi.org/ 10.26421 / qic12.11-12-1

[37] Dominic W. Berry, Andrew M. Childs, Richard Cleve, Robin Kothari ja Rolando D. Somma. Simuloi Hamiltonin dynamiikkaa katkaistulla taylor-sarjalla. Phys. Rev. Lett., 114 (9): 090502, maaliskuu 2015. 10.1103/​physrevlett.114.090502.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.114.090502

[38] Guang Hao Low ja Isaac L. Chuang. Optimaalinen Hamiltonin simulointi kvanttisignaalin käsittelyllä. Phys. Rev. Lett., 118 (1): 010501, tammikuu 2017. 10.1103/​physrevlett.118.010501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.118.010501

[39] Earl Campbell. Satunnainen kääntäjä nopeaan Hamiltonin simulointiin. Phys. Rev. Lett., 123 (7): 070503, elokuu 2019. 10.1103/​physrevlett.123.070503.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.123.070503

[40] Andrew M. Childs, Aaron Ostrander ja Yuan Su. Nopeampi kvanttisimulointi satunnaistuksen avulla. Quantum, 3: 182, syyskuu 2019. 10.22331/q-2019-09-02-182.
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2019-09-02-182

[41] Paul K. Faehrmann, Mark Steudtner, Richard Kueng, Maria Kieferova ja Jens Eisert. Satunnaistetaan usean tuotteen kaavoja Hamiltonin simulointiin. Quantum, 6: 806, syyskuu 2022. ISSN 2521-327X. 10.22331/​q-2022-09-19-806. URL-osoite https://​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-09-19-806.
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-09-19-806

[42] Richard Meister, Simon C. Benjamin ja Earl T. Campbell. Termin katkaisujen räätälöinti elektronisia rakennelaskelmia varten käyttämällä unitaarien lineaariyhdistelmää. Quantum, 6: 637, helmikuu 2022. 10.22331/q-2022-02-02-637.
https:/​/​doi.org/​10.22331/​q-2022-02-02-637

[43] Jarrod R. McClean, Mollie E. Kimchi-Schwartz, Jonathan Carter ja Wibe A. de Jong. Hybridi-kvanttiklassinen hierarkia dekoherenssin lieventämiseen ja virittyneiden tilojen määrittämiseen. Phys. Rev. A, 95 (4): 042308, huhtikuu 2017. 10.1103/​physreva.95.042308.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.95.042308

[44] Robert M. Parrish ja Peter L. McMahon. Kvanttisuodattimen diagonalisointi: Kvanttiominaisdekompositio ilman täyttä kvanttivaiheestimointia. Syyskuu 2019. https://​/​arxiv.org/​abs/​1909.08925.
arXiv: 1909.08925

[45] Nicholas H. Stair, Renke Huang ja Francesco A. Evangelista. Moniviiteinen kvanttikrylov-algoritmi vahvasti korreloiville elektroneille. J. Chem. Theory Comput., 16 (4): 2236–2245, helmikuu 2020. 10.1021/acs.jctc.9b01125.
https: / / doi.org/ 10.1021 / acs.jctc.9b01125

[46] Ethan N. Epperly, Lin Lin ja Yuji Nakatsukasa. Teoria kvanttialiavaruuden diagonalisoinnista. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 43 (3): 1263–1290, elokuu 2022. 10.1137/​21m145954x.
https://​/​doi.org/​10.1137/​21m145954x

[47] Thomas E O'Brien, Brian Tarasinski ja Barbara M Terhal. Useiden ominaisarvojen kvanttivaiheestimointi pienimuotoisia (kohinaisia) kokeita varten. New J. Phys., 21 (2): 023022, helmikuu 2019. 10.1088/​1367-2630/​aafb8e.
https: / / doi.org/ 10.1088 / 1367-2630 / aafb8e

[48] Rolando D Somma. Kvanttiominaisarvon estimointi aikasarjaanalyysin avulla. New J. Phys., 21 (12): 123025, joulukuu 2019. 10.1088/​1367-2630/​ab5c60.
https:/​/​doi.org/​10.1088/​1367-2630/​ab5c60

[49] A. Roggero. Spektritiheyden estimointi Gaussin integraalimuunnoksen avulla. Phys. Rev. A, 102 (2): 022409, elokuu 2020. 10.1103/​physreva.102.022409.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.102.022409

[50] AE Russo, KM Rudinger, BCA Morrison ja AD Baczewski. Energiaerojen arviointi kvanttitietokoneella robustilla vaiheestimaatiolla. Phys. Rev. Lett., 126 (21): 210501, toukokuu 2021. 10.1103/​physrevlett.126.210501.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.126.210501

[51] Kianna Wan, Mario Berta ja Earl T. Campbell. Satunnaistettu kvanttialgoritmi tilastolliseen vaiheestimointiin. Phys. Rev. Lett., 129 (3): 030503, heinäkuu 2022. 10.1103/​physrevlett.129.030503.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevlett.129.030503

[52] Yuan Liu, Minsik Cho ja Brenda Rubenstein. Ab initio äärellisen lämpötilan apukenttä quantum monte carlo. Journal of Chemical Theory and Computation, 14 (9): 4722–4732, elokuu 2018. 10.1021/acs.jctc.8b00569.
https: / / doi.org/ 10.1021 / acs.jctc.8b00569

[53] Yuan-Yao He, Mingpu Qin, Hao Shi, Zhong-Yi Lu ja Shiwei Zhang. Äärillisen lämpötilan apukentän kvantti monte carlo: Itsestään johdonmukainen rajoitus ja systemaattinen lähestymistapa alhaisiin lämpötiloihin. Physical Review B, 99 (4): 045108, tammikuu 2019. 10.1103/​physrevb.99.045108.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physrevb.99.045108

[54] Tyson Jones ja Simon Benjamin. QUESTlink – laitteistooptimoidun kvanttiemulaattorin tuoma matematiikka. Quantum Sci. Technol., 5 (3): 034012, toukokuu 2020. 10.1088/​2058-9565/​ab8506.
https: / / doi.org/ 10.1088 / 2058-9565 / ab8506

[55] G. Ortiz, JE Gubernatis, E. Knill ja R. Laflamme. Kvanttialgoritmit fermionisiin simulaatioihin. Phys. Rev. A, 64 (2): 022319, heinäkuu 2001. 10.1103/​physreva.64.022319.
https: / / doi.org/ 10.1103 / physreva.64.022319

[56] https://​/​qiskit.org/​documentation/​nature/​.
https://​/​qiskit.org/​documentation/​nature/​

Viitattu

[1] Keisuke Matsumoto, Yuta Shingu, Suguru Endo, Shiro Kawabata, Shohei Watabe, Tetsuro Nikuni, Hideaki Hakoshima ja Yuichiro Matsuzaki, "Gibbsin osiofunktion laskeminen kuvitteellisella aikaevoluutiolla lähiajan kvanttitietokoneissa". Japanese Journal of Applied Physics 61 4, 042002 (2022).

[2] Yu-Rong Shu, Shao-Kai Jian ja Shuai Yin, "Nonequilibrium Dynamics of Deconfined Quantum Critical Point in Imaginary Time", Fyysisen arvioinnin kirjeet 128 2, 020601 (2022).

[3] Pei Zeng, Jinzhao Sun ja Xiao Yuan, "Universal quantum algoritmic cooling on a quantum computer", arXiv: 2109.15304, (2021).

[4] Yifei Huang, Yuguo Shao, Weiluo Ren, Jinzhao Sun ja Dingshun Lv, "Tehokas kvantti-imaginaariaikainen evoluutio ajautumalla reaaliaikaiseen evoluutioon: lähestymistapa, jolla on alhainen portin ja mittauksen monimutkaisuus", arXiv: 2203.11112, (2022).

[5] Yukun Zhang, Yifei Huang, Jinzhao Sun, Dingshun Lv ja Xiao Yuan, "Quantum Computing Quantum Monte Carlo", arXiv: 2206.10431, (2022).

[6] Zongkang Zhang, Anbang Wang, Xiaosi Xu ja Ying Li, "Mittaustehokas kvantti Krylov-aliavaruuden diagonalisointi", arXiv: 2301.13353, (2023).

[7] Qingxing Xie, Yi Song ja Yan Zhao, "Power of Sine Hamiltonian Operator for Estimating the Omastate Energies on Quantum Computers", arXiv: 2209.14801, (2022).

Yllä olevat sitaatit ovat peräisin SAO: n ja NASA: n mainokset (viimeksi päivitetty onnistuneesti 2023-02-11 13:59:14). Lista voi olla puutteellinen, koska kaikki julkaisijat eivät tarjoa sopivia ja täydellisiä viittaustietoja.

On Crossrefin siteerattu palvelu tietoja teosten viittaamisesta ei löytynyt (viimeinen yritys 2023-02-11 13:59:12).

Tämä kirja on julkaistu Quantum - lehdessä Creative Commons Nimeäminen 4.0 Kansainvälinen (CC BY 4.0) lisenssin. Tekijänoikeudet säilyvät alkuperäisillä tekijänoikeuksien haltijoilla, kuten tekijöillä tai heidän instituutioillaan.

Aikaleima:

Lisää aiheesta Quantum Journal