esittely
Joulukuussa 1977 vallankumouksellinen paperi ilmestyi hiljaa Journal d'Analysis Mathématique, matematiikan erikoislehti. Kirjoittaja Hillel Furstenberg ei väittänyt mitään jännittäviä - tai edes uusia - tuloksia. Hän oli yksinkertaisesti tarjonnut todisteen lauseesta, jonka toinen matemaatikko Endre Szemerédi oli todistanut jo kaksi vuotta aiemmin.
Siitä huolimatta Furstenbergin paperi jätti pysyvän jäljen matematiikkaan. Hänen uusi argumenttinsa sisälsi oivalluksen ytimen, jolla oli kauaskantoisia seurauksia: Voit muotoilla uudelleen Szemerédin ratkaissemat ongelmat, jotka koskevat kokonaislukujoukkoja, kysymyksiksi pisteistä, jotka liikkuvat avaruudessa.
Sen jälkeen Furstenbergin tekniikoita on käytetty yhä uudelleen ja uudelleen, ja niitä on pikkuhiljaa mukautettu ja paranneltu. Aiemmin tänä vuonna ne olivat ahdettu, ja ne ilmestyivät kahdessa uudessa julkaisussa, jotka paljastavat äärettömiä kuvioita kokonaislukusarjoissa – edistyen harppauksin ohi Szemerédin nyt 47-vuotiaan lauseen.
Furstenbergin todiste
Szemerédi oli tutkinut joukkoja, jotka sisältävät "positiivisen murto-osan" kaikista kokonaisluvuista. Otetaan esimerkiksi joukko, joka sisältää kaikki 5:n kerrannaiset. Kun tarkastelet yhä suurempia lukuja, 5:n kerrannaiset näkyvät edelleen säännöllisesti. Matemaatikot sanovat, että joukolla, joka sisältää kaikki 5:n kerrannaiset, on viidennes murto-osa kaikista kokonaisluvuista.
Sitä vastoin vaikka alkulukuja on ääretön määrä, ne muuttuvat niin harvinaisiksi lukujen kasvaessa, että kaikkien alkulukujen joukko ei sisällä kokonaislukujen positiivista murto-osaa tai toisin sanoen sillä ei ole positiivista tiheyttä . Sen sijaan alkulukujen sanotaan olevan tiheys nolla.
Szemerédi etsi esimerkkejä niin sanotuista aritmeettisista progressioista tai tasavälisten lukujen ketjuista. Kuvittele esimerkiksi, että sinulla on ääretön numerosarja, kuten täydelliset neliöt: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Täydellisten neliöiden aritmeettinen progressio, jonka pituus on kolme, kätkeytyy useisiin ensimmäisiin termeihin: {1, 25, 49}. Jokainen luku tässä etenemisessä on 24 enemmän kuin edeltäjänsä.
Szemerédi osoitti, että minkä tahansa joukon, joka sisältää kokonaislukujen positiivisen murto-osan, täytyy sisältää mielivaltaisen pitkiä aritmeettisia progressioita. Tuloksena oli maamerkki matematiikan osa-alueella, jota kutsutaan additiiviseksi kombinatoriikaksi.
Szémeredin todiste, vaikka se oli loistava, oli lähes mahdotonta seurata. "Tähän päivään asti uskon, että ehkä vain kolme tai neljä ihmistä todella ymmärtävät [Szemerédin] todisteet", sanoi. Terence tao, matemaatikko Kalifornian yliopistosta Los Angelesista.
Joten Furstenbergin ymmärrettävämpi argumentti oli tervetullut. Sen kirjoittamisessa Furstenberg turvautui oman matematiikan alansa menetelmiin, dynaamisiin järjestelmiin. Dynaaminen järjestelmä on mikä tahansa prosessi, joka muuttuu ajan myötä. Tämä voisi olla jotain niin yksinkertaista kuin biljardipallo, joka pyörii biljardipöydän ympärillä. Tarvitset vain tavan esittää matemaattisesti järjestelmäsi ja säännön sen kehittymiselle. Esimerkiksi palloa voidaan kuvata sen sijainnilla ja nopeudella. Tämä järjestelmä etenee määrätyllä tavalla ajan myötä klassisen fysiikan lakeja noudattaen.
Furstenberg oli eniten kiinnostunut ergodisesta teoriasta. Sen sijaan, että katsoisivat järjestelmän tilaa tietyllä hetkellä, ergodiset teoreetikot tutkivat tilastoja pitkien ajanjaksojen ajan. Biljardipallolle tämä voi tarkoittaa sitä, että on selvitettävä, päätyykö pallo joihinkin pöydän kohtiin enemmän kuin toisiin, koska sillä on taipumus pomppia seinistä.
Furstenbergin perusideana oli tarkastella kokonaislukujoukkoja ei kiinteinä objekteina, vaan hetkellisinä tiloina dynaamisessa järjestelmässä. Se saattaa tuntua pieneltä näkökulman muutokselta, mutta se antoi hänelle mahdollisuuden käyttää ergodisen teorian työkaluja osoittaakseen tuloksia kombinatoriikassa. Tuolloin Furstenberg ei tiennyt, että hänen ideansa alkaisivat elää omaa elämäänsä. "Se oli vain, halusin saada tämä toinen todiste", hän sanoi. Mutta toiset näkivät lupauksen ergodisen teorian ja kombinatoriikan välisestä yhteydestä. "Koko sukupolvi ergodisia teoreetikkoja alkoi tavallaan latautua kombinatoriikkaan ja ratkaista kaikki nämä ongelmat ja päinvastoin", sanoi Tao.
Muutaman viime vuoden aikana neljä matemaatikkoa - Bryna Kra, Joel Moreira, Florian Richter ja Donald Robertson - ovat kehittäneet Furstenbergin tekniikoita löytääkseen mielivaltaisen pitkiä progressioita mistä tahansa kokonaislukujen positiivisen murto-osan sisältävästä joukosta, vaan myös äärettömiä versioita rakenteista, joita kutsutaan summajoukoiksi.
"Summit ovat paljon vähemmän spesifisiä kuin edistykset; ne ovat paljon vähemmän erikoisen näköisiä”, Robertson sanoi. "Mutta se on mielenkiintoisempaa ja herkempää, koska summat ovat äärettömiä kokoonpanoja, kun taas etenemiset ovat rajallisia."
Jos Furstenberg rakensi sillan ergodisen teorian ja kombinatoriikan välille, Kra, Moreira, Richter ja Robertson ovat laajentaneet sen "kuusikaistaiseksi moottoritieksi", sanoi Tao.
B + C otaksuma
Kaksi matemaatikkoa ehdotti ensimmäisen kerran Szemerédin lausetta, mutta ei todennut sitä vuonna 1936. Yksi heistä oli unkarilainen matemaatikko, joka oli kuuluisa arvelujen tekemisestä: Paul Erdős. Vuonna 2016, kun Moreira teki väitöskirjaansa Ohion osavaltion yliopistossa, hän törmäsi toinen Erdősin arvelu rakenteista, joita kutsutaan summajoukoiksi.
Summajoukko tehdään kahdesta muusta joukosta; soita niille B ja C. Summa, kirjoitettuna B + C, on rakennettu lisäämällä kaikki mahdolliset numeroparit yhteen ottamalla yksi luku B ja toinen C. Erdős arveli sen mille tahansa sarjalle A joka sisältää positiivisen murto-osan kokonaisluvuista, on olemassa muitakin äärettömiä joukkoja B ja C jonka summa sisältyy A. Paperissa, jota Moreira luki, kirjoittajat olivat todistaneet Erdősin oletuksen, kun A sisältää suuren osan kokonaisluvuista. Mutta pienempien positiivisten tiheyssarjojen tulos oli vielä tuntematon. "Heti kun luin lausunnon, ajattelin sen olevan todella hyvä kysymys, koska se on niin yksinkertainen", Moreira sanoi. "Se on joko väärä, tai sen ei pitäisi olla vaikeaa. Mikä tietysti oli väärin. Se ei ollut valhetta eikä helppoa."
Moreira toi projektiin Richterin ja Robertsonin, hänen tutkijakoulusta tulleet ystävänsä. Robertson, nyt Manchesterin yliopistossa, oli valmistunut vuosi ennen Moreiraa, ja Richter oli pari vuotta jäljessä. Kaikki kolme olivat hyvin perehtyneet ergodisten teoriatekniikoiden soveltamiseen kombinatoriikassa. Mutta tämä ongelma toi uusia haasteita.
"Ei ollut käytännössä mitään ennakkotapausta äärettömien summien löytämiselle positiivisen tiheyden joukosta", sanoi Daniel Glasscock, matemaatikko Massachusettsin yliopistossa Lowellissa, joka osallistui tutkijakouluun Moreiran, Richterin ja Robertsonin kanssa.
Ehkä tästä syystä sumset-ongelma osoittautui vaikeaksi ratkaista. "Meidän täytyy jotenkin pakottaa ergodista teoriaa pääsemään läpi", Moreira sanoi. Heidän ponnistelunsa kannatti lopulta hedelmää ja missä Marcin Sabok McGill-yliopistosta "hämmästyttäväksi saavutukseksi" kutsutun tutkimuksen mukaan he onnistuivat todistamaan Erdősin olettamuksen vuonna 2018. Heidän todisteensa saatiin myöhemmin julkaistu Matematiikan Annals, yksi matematiikan arvostetuimmista aikakauslehdistä.
Uudet todisteet
Lehti jätti avoimeksi kaksi suurta kysymystä. Yksi näistä oli Erdősin toinen summaarvelu, nimeltään the B + B + t oletus.
Moreira, Richter ja Robertson olivat myös keksineet oman kysymyksensä: jos sinulla on positiivinen tiheysjoukko A, voitko löytää kolme ääretöntä joukkoa - B, C ja nyt D - jossa B + C + D on sisällä A? Entä neljä ääretöntä joukkoa? Viisi?
Esitettyään monisarjaversion matemaatikot jäivät hetkeksi jumissa. Näytti siltä, että tekniikat, joita he käyttivät kahden sarjan arveluissa, olivat saavuttaneet rajansa.
"Emme löytäneet dynaamista uudelleenmuotoilua tälle ongelmalle", Richter sanoi. Hänen mukaansa heidän lähestymistapansa epäonnistui aivan alussa.
Kului kaksi vuotta ennen kuin he huomasivat todellista edistystä. Tähän mennessä Richter oli tutkijatohtori Northwestern Universityssä, jossa Bryna Kra oli professori. Vuonna 2020 Covid-19-pandemian vuoksi Kra ja Richter estivät tapaamasta henkilökohtaisesti Zoomin kautta.
"Lopulta keksimme joitain muita muunnelmia, jotka ymmärsimme", Kra sanoi.
Kra ja Richter alkoivat puhua Moreiran ja Robertsonin kanssa joka viikko ja tutkia vuoden 2018 todisteita uudelleen.
"Meidän piti ajatella uudelleen jokaista todistuksen vaihetta alkaen siitä käännöksestä dynaamiseksi järjestelmäksi", sanoi Kra.
Heidän asiansa auttoi vuosi 2019 paperi ranskalainen matemaatikko nimeltä Bernard isäntä. Isäntä oli todistanut Moreiran, Richterin ja Robertsonin tuloksen uudelleen ja keksinyt kuinka saada ergodinen teoria laulamaan. Moreiran mielestä isäntä "näki kuinka kirjoittaa todisteemme niin kuin se olisi pitänyt kirjoittaa".
Hostin parannukset käsissään Kra, Moreira, Richter ja Robertson jatkoivat todisteiden säätämistä yrittäen saada yksinkertaisimman ja tyylikkäimmän mahdollisen argumentin. "Me luultavasti vain pohdimme sitä yhä uudelleen ja uudelleen nähdäksemme todella: mikä on ongelman ydin?" sanoi Richter. "Lopussa meillä oli todiste, joka muistutti hyvin vähän alkuperäistä todistusta."
Todiste, johon he päätyivät, kuten Furstenbergin, pitivät äärettömiä kokonaislukujoukkoja aikaleimoina dynaamisessa järjestelmässä. Tämä dynaaminen järjestelmä on kuitenkin parempi kuvitella pisteinä, jotka hyppäävät avaruudessa.
Tässä on karkea kuva siitä, miten se toimii: Aloita seisomalla suljetun huoneen nurkassa, kutsu sitä Corner 0:ksi. Sinulla on luettelo aikoja A. Tuo setti, A, on positiivisen tiheyden omaava kokonaislukujoukko.
Sinulla on myös sääntö huoneessa liikkumisesta. Joka sekunti siirryt uuteen paikkaan sen perusteella, missä juuri seisot. Tarkka sääntö, jota noudatat, on suunniteltu vastaamaan aikojasi A - aina kun aikaleima on sisään A, löydät itsesi yhdeltä huoneen erityiseltä alueelta.
Esimerkiksi sanoa A koostuu kaikista 4:llä jaollisista luvuista, ja joka sekunti siirryt myötäpäivään huoneen seuraavaan nurkkaan. Yhden sekunnin kuluttua siirryt kulmaan 1; kahden sekunnin kuluttua Corner 2 ja niin edelleen. Sitten joka neljäs vaihe – mikä tarkoittaa jokaista ajankohtaa A - olet palannut alkuperäiseen Corner 0 -tilaan.
Tämä prosessi jatkuu ikuisesti. Kuljettaessa kulmasta nurkkaan myötäpäivään, vierailet jokaisessa kulmassa äärettömästi monta kertaa. Pistettä, joka lähestyy ääretöntä määrää kertoja, kutsutaan akkumulaatiopisteeksi.
Kra, Moreira, Richter ja Robertson osoittivat, että voit taitavasti valita yhden näistä paikoista löytääksesi summasi B + C. Kulmaesimerkissä ota kulma 1. Saavut sinne aikoina 1, 5, 9 ja 13 – ajat näyttävät 4:ltä.n + 1 jollekin kokonaisluvulle n. Antaa B olla noiden aikojen sarja.
Kuvittele nyt, että sen sijaan, että aloitat kulmasta 0, aloitat kulmasta 1. Tämä tarkoittaa, että toisinaan 4:llä jaoteltuna löydät itsesi takaisin kulmasta 1 ja pääset kulmaan 0 kolme askelta myöhemmin: toisinaan 3, 7, 11 tai mikä tahansa numero muodossa 4n + 3. Kutsu noiden aikojen joukko C.
Aloita nyt prosessi uudelleen kulmasta 0. Tällä kertaa katso, mitä tapahtuu, jos otat numeron kohteesta B ja numero alkaen C - sanotaan, 13 alkaen B ja 3 alkaen C - ja laske ne yhteen.
Tämä kestäisi 13 + 3 = 16 sekuntia. Koska 16 on 4:n kerrannainen, se on sisällä A. Mutta voit myös ennustaa, että 13 + 3 on jaollinen 4:llä ja siten sisään A, lisäämättä 13 ja 3 yhteen. Seuraa vain, mitä dynaamisessa järjestelmässä tapahtuu, kun odotat 13 + 3 sekuntia: Ensin 13 sekuntia kuluu. Siinä vaiheessa löydät itsesi kulmasta 1. Sitten kulmasta 1 alkaen siirrät vielä kolme askelta, jotka vievät sinut takaisin kulmaan 0. Koska aloitit kulmasta 0 ja päädyit takaisin sinne, sinun on täytynyt odottaa neljän sekunnin kerrannainen, mikä tarkoittaa, että kokonaisaika oli numero alkuperäisessä joukossa A.
Jotta tämä argumentti toimisi, ryhmän piti käsitellä monia hienovaraisia matemaattisia yksityiskohtia. Useimmissa tapauksissa sinulla on esimerkiksi ääretön määrä paikkoja, joihin voit siirtyä, ei vain neljää kulmaa. Tämä tarkoittaa, että et itse asiassa palaa paikkaan äärettömästi monta kertaa; pääset sen lähelle vain äärettömän monta kertaa. Tämä toi väitteeseen uusia matemaattisia komplikaatioita. Mutta kun he ymmärsivät, kuinka prosessi toimisi, he tiesivät pystyvänsä vastaamaan vaikeimpiin kysymyksiin.
"Saimme tämän todisteen täällä, ja oli heti selvää, kuinka se yleistetään", sanoi Richter, joka työskentelee nyt Sveitsin liittovaltion teknologiainstituutissa Lausannessa. Esimerkiksi arvelun monisarjaversion todistamiseksi tutkijat voisivat vain lisätä polkuun kertymispisteen. Yleinen argumentti oli sama, vain uudella monimutkaisuudella.
Kaikkien teknisten seikkojen selvittäminen ei ollut helppoa. Kun he asettuivat dynaamiseen kokoonpanoonsa, Kralla, Moreiralla, Richterilla ja Robertsonilla kesti yli vuosi löytää todisteita vaikeammista oletuksista. Tämän vuoden kesäkuussa ryhmä julkaisi vihdoin kaksi paperia. Yksi todistettu summajoukkooletuksen monijoukkoversio. Muut todisti B + B + t versio oletuksesta, joka edellyttää, että toinen joukko C olla yhtä suuri kuin ensimmäinen sarja B, jota on siirretty jollain vakiolla, t.
Seuraavat vaiheet
Vaikka kesäkuun julkaisut ratkaisevat kaksi kysymystä summasarjoista, Kra, Moreira, Richter ja Robertson kuvittelevat tutkimuslinjalleen pitkän tulevaisuuden. "Kuten kaikessa, mitä Erdős kysyi, hän vain haluaa meidän laittavan jalkamme oven väliin", sanoi Moreira, nyt Warwickin yliopistossa. "Mutta nyt meidän on avattava ovi ja mentävä tutkimaan, mitä muuta siellä on."
Uusissa kirjoissaan neljä matemaatikkoa esittävät useita mahdollisia tutkimussuuntia vielä vastaamattomien kysymysten muodossa. Yksi luottaa siihen, että vaikka mikä tahansa positiivinen tiheysjoukko A sisältää äärettömän summan B + C, se ei välttämättä sisällä kahta komponenttia B ja C. Milloin voit vaatia sitä B ja C tulee myös olla sisällä A? Kirjoittajat haastavat myös matemaatikot selvittämään, voivatko he löytää äärettömän sarjan äärettömiä joukkoja, joiden summat sisältyvät A.
Toiseen alan avoimeen kysymykseen on jo vastannut Matt Bowen, Sabokin jatko-opiskelija McGill Universitystä. Lokakuussa hän posted todiste siitä, että jos määrität jokaiselle kokonaisluvulle yhden muutaman värin, voit löytää summajoukon B+C ja sarjojen tuote BC vain yhden värin sisällä.
Mihin Kra, Moreiran, Richterin ja Robertsonin uusi teos tarkalleen vielä johtaa, ei ole vielä tiedossa. Mutta ainakin Tao on optimistinen ryhmän kehittämien uusien tekniikoiden suhteen. Se, mitä he saavuttavat menetelmillään, on "itse asiassa melko hämmästyttävää", hän sanoi. "On muitakin kysymyksiä, jotka koskevat äärettömiä joukkoja, joita pidettiin ennen toivottomina, nyt käden ulottuvilla."
