esittely
Aiemmin tänä vuonna matemaatikoiden trio päätti tehdä sitruunoista limonadia – ja päätyi tekemään merkittävä edistysaskel ongelmasta, jota matemaatikot ovat pohtineet vuosisatoja.
He olivat juuri viimeistelemässä projektia ja pohtimassa seuraavia vaiheita, kun maaliskuun lopussa kaksi heistä - Levent Alpöge Harvardin yliopistosta ja Ari Shnidman Jerusalemin heprealaisesta yliopistosta – sai Covid-19-tartunnan erikseen, mutta lähes samanaikaisesti. Monet ihmiset pitivät taukoa sellaisissa olosuhteissa, mutta kolmas tiimin jäsen, Manjul Bhargava Princetonin yliopistosta ehdotti päinvastaista. Hänen mukaansa viikoittaisten Zoom-kokousten nostaminen kolmeen tai neljään kertaan viikossa voisi häiritä hänen sairaita yhteistyökumppaneitaan heidän oireistaan. Karanteeni, kolme päätti, voisi olla tilaisuus ajatella rauhassa.
Näissä tapaamisissa he pohtivat yhtä lukuteorian vanhimmista kysymyksistä: Kuinka monta kokonaislukua voidaan kirjoittaa kahden kuutiomurtoluvun summana tai, kuten matemaatikot kutsuvat, rationaalilukuja? Esimerkiksi numero 6 voidaan kirjoittaa muodossa (17/21)3 + (37/21)3, kun taas 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Matemaatikot ovat epäillyt vuosikymmeniä, että puolet kaikista kokonaisluvuista voidaan kirjoittaa tällä tavalla. Aivan kuten parittomat ja parilliset luvut, tämä ominaisuus näyttää jakavan kokonaisluvut kahteen yhtä suureen leiriin: niihin, jotka ovat kahden kuution summa, ja niihin, jotka eivät ole.
Mutta kukaan ei kyennyt todistamaan tätä tai edes antamaan mitään rajaa kullekin leirille kuuluvien kokonaislukujen osuudelle. Sikäli kuin matemaatikot tiesivät, rationaalisten kuutioiden summista koostuva leiri voi olla häviävän pieni - tai se voi sisältää melkein jokaisen kokonaisluvun. Matemaatikot ovat laskeneet että jos jotain, jota kutsutaan Birchin ja Swinnerton-Dyerin olettamukseksi, on totta (kuten yleisesti uskotaan), noin 59 % luvuista 10 miljoonaan asti on kahden rationaalisen kuution summa. Mutta tällaiset tiedot voivat parhaimmillaan tarjota vihjeitä siitä, kuinka muu numerorivin osa saattaa käyttäytyä.
Toisin kuin parittomat ja parilliset luvut, "nämä kaksi leiriä ovat hienovaraisia", sanoi Barry Mazur Harvardista. Ei ole olemassa testiä sen määrittämiseksi, mitkä luvut kuuluvat mihinkin leiriin, jonka tiedetään toimivan kaikille numeroille. Matemaatikot ovat keksineet kokeita, jotka ovat vahvoja ehdokkaita, mutta toistaiseksi jokaisessa on jokin haittapuoli – joko matemaatikot eivät pysty todistamaan, että testi aina päätyy johtopäätökseen, tai he eivät pysty todistamaan, että johtopäätös on oikea.
Kuutioiden summien ja yleisemmin kuutioyhtälöiden ymmärtämisen vaikeus on ollut "lukuteoreetikoille toistuva kiusaus", sanoi Bhargava. Hän voitti Fields -mitalin vuonna 2014 osittain hänen työnsä rationaalisten ratkaisujen parissa elliptisiä käyriä tunnetuille kuutioyhtälöille, joista kahden kuution summat ovat erikoistapaus.
Nyt paperi Internetissä lokakuun lopulla julkaistut Alpöge, Bhargava ja Shnidman ovat osoittaneet, että vähintään 2/21 (noin 9.5 %) ja enintään 5/6 (noin 83 %) kokonaisluvuista voidaan kirjoittaa kahden kuutiomurtoluvun summana.
Kysymys kuutioiden summista ei ole vain uteliaisuus. Elliptisillä käyrillä on rikkaan monimutkainen rakenne, joka on ajanut ne monien sekä puhtaan että sovelletun matematiikan alueiden keskipisteeseen, mikä mahdollistaa erityisesti kryptografien rakentamisen tehokkaiden salakirjoitusten. Birchin ja Swinnerton-Dyerin arvelu, alan keskeinen kysymys, saa miljoonan dollarin palkkion yhtenä Clay Mathematics Instituten Millennium Prize -ongelmista.
Uusi työ perustuu työkaluihin, joita Bhargava on kehittänyt viimeisten 20 vuoden aikana yhdessä yhteistyökumppaneiden kanssa tutustu koko perheeseen elliptisiä käyriä. Kahden kuution summien ymmärtäminen tarkoittaa paljon pienemmän perheen analysointia, ja "mitä pienempi perhe, sitä vaikeampi ongelma", sanoi Peter Sarnak Institute for Advanced Study Princetonissa.
Tämä nimenomainen perhe vaikutti "pääsemättömältä", Sarnak lisäsi. "Olisin sanonut: "Se näyttää liian vaikealta, aivan liian vaikealta."
Vaiheen siirtymä
Toisin kuin kuutioiden murto-osien summat, joita näyttää olevan runsaasti, tuskin mikään kokonaisluku on kahden neliön murtoluvun summa. 1600-luvun alkuun mennessä matemaatikot Albert Girard ja Pierre de Fermat olivat keksineet yksinkertaisen testin määrittääkseen, mitkä kokonaisluvut ovat kahden neliön summa: Kerro lukusi alkuluvuiksi ja tarkista sitten jokaisen alkuluvun eksponentti, jonka jäännös on 3. kun jaat sen 4:llä. Jos kaikki eksponentit ovat parillisia, lukusi on kahden neliön murtoluvun summa; muuten ei ole. Esimerkiksi 490 tekijää 2:ksi1 × 51 × 72. Ainoa näistä tekijöistä, jonka jäännös on 3, kun jaat 4:llä, on 7, ja 7:llä on parillinen eksponentti. Siksi 490 on kahden neliön summa (uteliaille se on 72 + 212).
Suurin osa luvuista epäonnistuu parillisen eksponentin testissä. Jos valitset kokonaisluvun satunnaisesti, todennäköisyys, että se on kahden neliön murtoluvun summa, on olennaisesti nolla. Matemaatikot uskovat, että sama pätee kahden murtoluvun summiin, jotka on korotettu neljänteen potenssiin tai viidenteen potenssiin tai mihin tahansa potenssiin, joka on suurempi kuin kolme. Vain kuutioiden summilla on yhtäkkiä runsautta.
Matemaatikot ovat tottuneet siihen, että kuutioyhtälöt käyttäytyvät eri tavalla kuin kaikkien muiden voimien yhtälöt. Kahdesta muuttujasta koostuvien yhtälöiden joukossa (kuten kahden kuution summayhtälöt) yhtälöt, joiden suurin eksponentti on 1 tai 2, ovat yleensä hyvin ymmärrettäviä - tyypillisesti niillä ei ole rationaalisia ratkaisuja tai niitä on äärettömän monta, ja se on yleensä yksinkertaista kerro mikä. Samaan aikaan yhtälöillä, joiden suurin eksponentti on 4 tai suurempi, on yleensä vain rajallinen sadetus rationaalisista ratkaisuista.
Kuutioyhtälöillä sitä vastoin voi olla äärettömän monta ratkaisua, äärettömän monta tai ei ollenkaan. Nämä yhtälöt edustavat eräänlaista vaihesiirtoa alle 3:n ja yläpuolella olevien eksponentien välillä, näyttäen ilmiöitä, joita ei koskaan nähdä näissä muissa asetuksissa. "Kuutiot ovat erilaisia joka suhteessa", Mazur sanoi.
Toisin kuin yhtälöt, joissa on pienempi eksponentti, kuutiot ovat hämmästyttävän vaikeasti hahmotettavissa. Ei ole olemassa kattavaa menetelmää kuutioiden järkevien ratkaisujen löytämiseksi tai edes laskemiseksi, mikä on aina todistettu toimivaksi.
"Jos annatte minulle elliptisen käyrän erittäin suurilla kertoimilla, en välttämättä tiedä kuinka monta rationaalista ratkaisua sillä on", sanoi Wei Ho, entinen Bhargavan opiskelija, joka on tällä hetkellä vieraileva professori Institute for Advanced Studyssa.
Kahden kuution summa -tehtävässä murtoluvut voivat olla valtavia: Esimerkiksi luku 2,803 40 on kahden kuution murtoluvun summa, joiden kussakin nimittäjässä on XNUMX numeroa. Ja kun tarkastelemme miljoonissa olevia lukuja, Bhargava sanoi, että monet murtoluvut "sisäisivät enemmän numeroita kuin mihin tämän maailman paperille mahtuisi".
Matriisien kartoitus
Koska elliptiset käyrät ovat niin hallitsemattomia, numeroteoreetikot etsivät tapoja yhdistää ne paremmin jäljitettäviin objekteihin. Tänä huhtikuussa, kun Alpöge ja Shnidman taistelivat Covidia vastaan, he ja Bhargava rakensivat työlle, jonka jälkimmäinen oli aiemmin tehnyt Hon kanssa ja tajusivat, että aina kun kuutioiden summayhtälöllä on järkeviä ratkaisuja, on olemassa tapa rakentaa ainakin yksi erityinen 2 × 2 × 2 × 2 matriisi — tutumman kaksiulotteisen matriisin neliulotteinen analogi. "Aloimme laatia suunnitelmaa näiden 2 × 2 × 2 × 2 matriisien laskemiseksi", he kolme kirjoittivat.
Tätä varten ryhmä käytti kahta klassista aihetta, joita kutakin on tutkittu yli vuosisadan ajan. Yksi on "lukugeometria", joka sisältää hilapisteiden laskemisen eri geometristen muotojen sisällä. Tämä aihe on nauttinut renessanssista elliptisten käyrien alalla viimeisten 20 vuoden aikana, mikä johtuu suurelta osin Bhargavan ja yhteistyökumppaneiden työstä.
Toinen ympyrämenetelmänä tunnettu tekniikka sai alkunsa legendaarisen intialaisen matemaatikon Srinivasa Ramanujanin ja hänen pitkäaikaisen yhteistyökumppaninsa GH Hardyn töistä 20-luvun alussa. "Tämä on ensimmäinen suuri sovellus, jossa yhdistetään ympyrämenetelmä näiden geometria-lukutekniikoiden kanssa", Ho sanoi. "Se osa on erittäin siistiä."
Näitä menetelmiä käyttäen trio pystyi osoittamaan, että vähintään 1/6:lle kokonaisluvuista ei ole olemassa 2 × 2 × 2 × 2 -matriisia. Tämä tarkoittaa, että näille luvuille kuutioiden summayhtälöllä ei ole rationaalisia ratkaisuja. Joten korkeintaan 5/6 kokonaisluvuista eli noin 83 % voi olla kahden murtoluvun kuutioiden summa.
Päinvastaisessa suunnassa he havaitsivat, että vähintään 5/12 kaikista kokonaisluvuista on täsmälleen yksi vastaava matriisi. On houkuttelevaa päätellä, että nämä luvut ovat kahden kuution summa, mutta se ei seuraa automaattisesti. Jokaisella luvulla, joka on kahden kuution summa, on matriisi, mutta se ei välttämättä tarkoita, että päinvastoin olisi totta: että jokainen luku, jossa on matriisi, on kahden kuution summa.
Alpöge, Bhargava ja Shnidman tarvitsivat sitä, mitä elliptisen käyrän tutkijat kutsuvat käänteislauseeksi - jotain, joka ottaa tietoja kuutioyhtälöstä ja käyttää sitä rationaalisten ratkaisujen rakentamiseen. Käänteiset lauseet muodostavat kukoistavan elliptisten käyrien teorian alakentän, joten kolmikko kääntyi kahden osakentän asiantuntijan puoleen - Ashay Burungale Texasin yliopistosta, Austinista ja Princetonista. Burungale ja Skinner pystyivät osoittamaan, että ainakin osan ajasta, jos kokonaislukuun liittyy yksi matriisi, tämän luvun on oltava kahden rationaalisen kuution summa. Heidän lauseensa, joka oleellisesti todistaa asiaankuuluvan osan Birchin ja Swinnerton-Dyerin arveluista, esiintyy paperissa kolmisivuisena liitteenä, jota Sarnak kuvailee sinänsä ihmeellisenä.
Burungale ja Skinner eivät todistaneet lausettaan jokaiselle kokonaisluvulle täsmälleen yhdellä matriisilla – heidän täytyi asettaa tekninen ehto, joka pienensi 5/12-osajoukon 2/21:ksi eli noin 9.5 prosenttiin kaikista kokonaisluvuista. Mutta Bhargava on optimistinen, että Burungale ja Skinner tai muut heidän alueensa tutkijat saavuttavat loput 5. (yhteensä noin 12%) ennen liian kauan. "Heidän tekniikansa vahvistuvat jatkuvasti", Bhargava sanoi.
Täydellisen arvelun todistaminen - että tarkalleen puolet kokonaisluvuista on kahden kuution summa - vaatii lopulta käsittelemisen lukujoukon, johon liittyy useampi kuin yksi matriisi. Tämä sarja, jota Bhargava kutsuu "erittäin utuiseksi", sisältää sekä numerot, jotka ovat kahden kuution summa, että numerot, jotka eivät ole. Tällaisten lukujen käsittely vaatii täysin uusia ideoita, hän sanoi.
Toistaiseksi tutkijat ovat tyytyväisiä saadessaan vihdoin ratkaistua kysymyksen huomattavalle osalle kokonaislukuja, ja ovat innokkaita tutkimaan todistuksen tekniikoita edelleen. "Se on yksi niistä kauniista asioista: voit selittää tuloksen erittäin helposti, mutta työkalut ovat erittäin, hyvin lukuteorian kärjessä", Sarnak sanoi.
