Kvanttikenttäteoria tarjoaa avoimen matemaattisen palapelin

Viime kuussa Karen Vogtmann ja Michael Borinsky lähetti todisteen että tähän asti saavuttamattomassa matemaattisessa maailmassa, jota kutsutaan graafien moduuliavaruudeksi, on rekkakuorma matemaattista rakennetta, jonka Vogtmann ja yhteistyökumppani kuvataan ensin keskellä 1980s.

"Se on erittäin vaikea ongelma. On hämmästyttävää, että he pystyivät siihen, sanoi Dan Margalit, matemaatikko Georgia Institute of Technologysta.

Vogtmann ja Borinsky aloittivat kysymyksillä, joita Vogtmann, Warwickin yliopiston matemaatikko, oli kysynyt itseltään vuosikymmeniä. Sitten pari kuvitteli ongelman uudelleen fysiikan kielellä käyttämällä kvanttikenttäteorian tekniikoita tuloksensa saamiseksi.

Todistus osoittaa, että moduuliavaruudessa on olemassa tiettyjä rakenteita, mutta se ei paljasta selvästi, mitä ne rakenteet ovat. Tällä tavalla heidän uusi tulos on enemmän metallinpaljastimen kuin kameran kaltainen – se varoittaa, että jotain mielenkiintoista on piilossa, vaikka he eivät osaa kuvailla sitä täysin.

Voit ajatella kaavioiden moduuliavaruuksia matemaattisina muodoina, joihin on lisätty koristelu. Jos seisot missä tahansa muodon kohdassa, näet yläpuolellasi kelluvan kaavion – kokoelman pisteitä tai pisteitä, jotka on yhdistetty reunoilla. Moduuliavaruuden eri kohdissa graafit muuttuvat, niiden reunat kutistuvat tai kasvavat ja joskus katoavat kokonaan. Näiden ominaisuuksien vuoksi Sveitsin liittovaltion teknillisen korkeakoulun Zürichin matemaattinen fyysikko Borinsky kuvailee moduuliavaruuksia "suureksi graafisen mereksi".

Graafin "sijoitus" on sen silmukoiden lukumäärä; jokaiselle graafien arvolle on olemassa moduuliavaruus. Tämän avaruuden koko kasvaa nopeasti – jos korjaat graafin reunojen pituudet, on kolme graafia, jotka ovat arvoltaan 2, 15 sijoilla 3, 111 arvolla 4 ja 2,314,204,852 10 XNUMX XNUMX arvolla XNUMX. Moduuliavaruudessa nämä pituudet voivat vaihtelevat, mikä tekee siitä entistä monimutkaisempaa.

Tietyn järjestyksen omaavien graafien moduuliavaruuden muodon määräävät graafien väliset suhteet. Kun kävelet avaruudessa, lähellä olevien kaavioiden tulee olla samankaltaisia ​​ja niiden tulee muuttua sujuvasti toisiinsa. Mutta nämä suhteet ovat monimutkaisia, jättäen moduuliavaruuteen matemaattisesti hämmentäviä piirteitä, kuten alueita, joissa moduuliavaruuden kolme seinää kulkee toistensa läpi.

Matemaatikot voivat tutkia tilan tai muodon rakennetta käyttämällä objekteja, joita kutsutaan kohomologialuokiksi, jotka voivat auttaa paljastamaan, kuinka tila kootaan. Harkitse esimerkiksi yhtä matemaatikoiden suosikkimuotoa, munkkia. Donitsissa kohomologian tunnit ovat yksinkertaisesti silmukoita.

Donitsin pintaan voidaan piirtää useita erilaisia ​​silmukoita: Silmukka 1 ympäröi munkin keskireikää; pujota 2 lankaa reiän läpi; kolmas "triviaali" silmukka on munkin puolella.

Kaikkia kohomologialuokkia ei kuitenkaan luoda tasa-arvoisiksi. Donitsin ulkopuolella oleva silmukka - kuten kolmas silmukka - voi aina liukua tai kutistua, jotta se ei leikkaa toista silmukkaa. Tämä tekee siitä "triviaalin" kohomologian luokan.

Mutta silmukat 1 ja 2 kertovat paljon enemmän donitsin rakenteesta - ne ovat olemassa vain reiän takia. Eron matemaattisesti havaitsemiseksi voit käyttää risteyksiä, Margalit selitti. Silmukat 1 ja 2 voivat liukua donitsin pinnalla, mutta ellet pakota niitä irtautumaan kokonaan pinnasta, ne leikkaavat aina toisensa. Koska näillä kahdella silmukalla on kumppaneita, joita he eivät voi olla ylittämättä, ne ovat "ei-triviaaleja" kohomologiakursseja.

Toisin kuin donitsilla, matemaatikot eivät löydä kohemologialuokkia graafien moduuliavaruuksista vain piirtämällä kuvaa. Näin valtavan graafisen määrän vuoksi moduuliavaruuksia on vaikea käsitellä, sanoi Nathalie Wahl, matemaatikko Kööpenhaminan yliopistosta. "Hyvin nopeasti, tietokone ei voi enää auttaa", hän sanoi. Itse asiassa vain yksi pariton-ulotteinen ei-triviaalinen kohomologialuokka on ollut eksplisiittisesti laskettu (11-mitassa) sekä kourallinen parillisia.

Vogtmann ja Borinsky osoittivat, että tietyn tason graafien moduuliavaruudessa on valtava määrä kohemologialuokkia – vaikka emme löydä niitä. "Tiedämme, että niitä on tonnia, ja tiedämme yhden", Wahl sanoi ja kutsui tilannetta "naurettavaksi".

Sen sijaan, että Borinsky ja Vogtmann olisivat työskennelleet suoraan kohomologian luokkien kanssa, he tutkivat lukua, jota kutsutaan Euler-ominaispiirteeksi. Tämä numero tarjoaa eräänlaisen moduuliavaruuden mittaustuloksen. Voit muokata moduuliavaruutta tietyillä tavoilla muuttamatta sen Euler-ominaisuutta, jolloin Euler-ominaisuus on paremmin saavutettavissa kuin itse kohomologialuokat. Ja niin Borinsky ja Vogtmann tekivät. Sen sijaan, että he olisivat työskennelleet suoraan kaavioiden moduuliavaruuden kanssa, he tutkivat "selkärankaa" - olennaisesti kokonaisavaruuden luurankoa. Selkärangassa on sama Euler-ominaisuus kuin itse moduulitilassa, ja sen kanssa on helpompi työskennellä. Selkärangan Eulerin ominaiskäyrän laskeminen johti suuren kokoelman kuvaajaparien laskemiseen.

Borinskyn näkemys oli käyttää tekniikoita Feynman-kaavioiden laskemiseen, jotka ovat kaavioita, jotka edustavat tapoja, joilla kvanttihiukkaset ovat vuorovaikutuksessa. Kun fyysikot haluavat laskea esimerkiksi todennäköisyyden, että elektronin ja positronin törmäys tuottaa kaksi fotonia, heidän on summa kaikista mahdollisista vuorovaikutuksista jotka johtavat siihen tulokseen. Tämä tarkoittaa monien Feynman-kaavioiden keskiarvoa, motivoimalla älykkäitä laskentastrategioita.

"Ymmärsin, että tällainen ongelma voidaan muotoilla eräänlaiseksi kvanttikenttäteoriauniversumiksi", Borinsky selitti.

Borinsky kuvitteli kaavioiden edustavan fyysisiä järjestelmiä universumin yksinkertaisessa versiossa, jossa muiden oletusten ohella on vain yhden tyyppisiä hiukkasia. Kvanttikenttäteoriakehys tarvitsi jonkin verran säätöä, jotta Borinsky ja Vogtmann saisivat oikean määrän. Esimerkiksi kvanttikenttäteoriassa kaksi kuvaajaa, jotka ovat peilikuvia toisistaan, ovat erottamattomia, Borinsky sanoi. Kaavat Feynman-kaavioiden yhteenlaskemiseksi sisältävät tekijöitä, jotka varmistavat, että näitä kaavioita ei lasketa liikaa. Mutta kun on kyse Eulerin ominaisuuden laskemisesta, näitä kaavioita pidetään erilaisina. "Meidän täytyy pelata vähän peliä kaavioiden symmetrioilla", Borinsky sanoi.

Fyysikon ohjelmointiavulla Jos Vermaseren, Borinsky ja Vogtmann lopulta voittivat tämän vaikeuden. Tammikuun artikkelissaan he osoittivat, että Euler-ominaisuus on arvokaavioiden moduuliavaruus n muuttuu massiivisesti negatiiviseksi n kasvaa. Tämä tarkoittaa, että jokaisessa moduuliavaruudessa on paljastettava monia, monia ei-triviaalisia kohemologialuokkia.

Vaikka Borinskyn ja Vogtmannin paperi ei sisällä muita vihjeitä näistä kohomologian luokista, se on rohkaiseva tulos tutkijoille, jotka etsivät niitä - ja ehkä se lisää metsästyksen jännitystä. Margalit sanoi kohomologian luokista: ”Nämä, jotka tiedämme, ovat vain näitä helmiä. Ja aina kun löydämme sellaisen, se on tämä kaunis asia."