Symmetria, joka tekee matemaattisten yhtälöiden ratkaisemisesta helppoa

Ajattele kappaletta "Pop Goes the Weasel". Laula nyt nämä sanat:

Negatiivinen b, plus tai miinus
Neliön juuri b potenssiin
miinus neljä a c
Kaikki! yli kaksi a

Tämä jingle on auttanut algebra-opiskelijoiden sukupolvia muistamaan toisen asteen kaavan, joka ratkaisee jokaisen yhtälön muodossa $lateksi ax^2+bx+c=0$. Kaava on yhtä hyödyllinen kuin se todennäköisesti esiintyy sanakirjassa kohdassa "Math Axiety", ja nopea vilkaisu osoittaa, miksi:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Niin pelottavalta kuin tämä näyttääkin, sisälle piiloutuminen on yksinkertainen salaisuus, joka tekee jokaisen toisen asteen yhtälön ratkaisemisesta helppoa: symmetria. Katsotaan kuinka symmetria saa toisen asteen kaavan toimimaan ja kuinka symmetrian puute tekee kuutioyhtälöiden (muotoa $lateksi ax^3+bx^2+cx+d =0$) ratkaisemisesta paljon, paljon vaikeampaa. Itse asiassa niin paljon vaikeampaa, että muutamat matemaatikot 1500-luvulla viettivät elämänsä katkerassa julkisessa kiistassa kilpaillen kuutioista sen, mikä oli niin helppoa kvadraattisille.

Yhtälöiden ratkaiseminen on matematiikan luokan ydintaito – se auttaa löytämään maksimaaliset voitot, vähimmäisetäisyydet, leikkauspisteet ja paljon muuta. Yksi perusyhtälöistä, joita opimme ratkaisemaan, on $lateksi f(x)=0$. Kun funktio $lateksi f(x)$, tämä yhtälö kysyy: Mitä syötteitä x palauttaa lähdön 0? Tästä syystä tämän yhtälön ratkaisuja kutsutaan joskus funktion "nollaiksi" tai "juuriksi".

Ennen kuin löydämme jokaisen neliöfunktion juuret, aloitetaan helpolla: Mitkä ovat $latex f(x)=x^2-9$ juuret? Löytääksesi ne, ratkaise yhtälö $lateksi f(x)=0$.

$lateksi f(x)=0$
$lateksi x^2-9=0$
$lateksi x^2=9$
$lateksi x=pm3$

Nämä juuret on helppo löytää, koska tämä yhtälö on helppo ratkaista. Sinun tarvitsee vain eristää x. Huomaa, että viimeiselle riville tarvitaan $lateksi pm$, koska sekä 3:lla että -3:lla on ominaisuus, että kun ne neliötetään, saat 9. Pikatarkistus, että $lateksi f(3)=f(-3)=0 $ varmistaa, että nämä ovat todellakin syötteitä, jotka tekevät $latex f(x)$ -tulosteen 0.

Tämä $lateksi pm$ viittaa myös tilanteen luontaiseen symmetriaan. Toisen asteen funktiolla on kaksi juuria, ja jos kuvittelet kaksi juuria lukujonolle, näet, että ne ovat symmetrisiä $lateksi x=0$ suhteen.

Ja kun muistat, että toisen asteen funktion kuvaaja on paraabeli, tässä on paljon järkeä. Jokaisella paraabelilla on symmetria-akseli, joka jakaa paraabelin kahdeksi peilikuvaksi. Tapauksessa $lateksi f(x)=x^2-9$, symmetria-akseli on y-akseli (rivi $lateksi x=0$). Kun piirrät kaavion $lateksi f(x)=x^2-9$ tavalliseen tapaan, käsittelemällä x riippumattomana muuttujana ja asetuksella $latex y=f(x)$, näet sen juuret x-akselilla, yhtä kaukana siitä ja molemmilla puolilla yakselilla.

Monimutkaisemmalla neliöllä, kuten $lateksi f(x)=x^2-8x-9$, juurien löytäminen vaatii hieman enemmän kaivamista.

$lateksi f(x)=0$
$lateksi x^2-8x-9=0$
$lateksi x^2-8x=9$

Voimme asettaa $lateksi f(x)$ yhtä suureksi kuin 0 ja siirtää 9:ää oikealle puolelle kuten teimme aiemmin, mutta emme voi ottaa molempien puolien neliöjuurta eristämään x. Tuo toinen termi kanssa x siinä seisoo tiellä. Mutta tämä funktio, kuten jokainen neliö, on symmetrinen, ja voimme käyttää tätä symmetriaa navigoidaksemme ongelman ympärillä. Tarvitsemme vain pienen algebran tehdäksemme symmetriasta läpinäkyvämmän.

Kirjoitetaan funktio $lateksi f(x)=x^2-8x-9$ muotoon $lateksi f(x)=x(x-8)-9$. Keskity nyt $lateksi x(x-8)$ -osaan. Tämä on 0 kahdessa tilanteessa - jos x = 0 tai jos x = 8 — ja tämä takaa, että $lateksi f(0)$ ja $lateksi f(8)$ saavat saman arvon -9. Tämä antaa meille kaksi symmetristä pistettä paraabelissa, ja koska symmetria-akselin on jaettava $lateksi x=0$ ja $lateksi x=8$ keskeltä alas, sen on oltava viiva $lateksi x=4$.

Nyt kun olemme löytäneet symmetrian, on aika hyödyntää sitä. Siirrämme paraabeliamme neljä yksikköä vasemmalle niin, että sen symmetria-akseli siirtyy viivalta $lateksi x=4$ riville $lateksi x=0$. On yksinkertainen tapa suorittaa tämä käännös algebrallisesti: Korvaamme kaikki x with x + 4.

Kutsutaan $lateksi g(x)$ uudeksi neliöfunktioksi, jonka saamme, kun korvaamme x with x+ 4. Toisin sanoen olkoon $lateksi g(x)=f(x+4)$. Katso, mitä tapahtuu, kun yksinkertaistamme $lateksia g(x)$:

$lateksi g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$lateksi g(x)=x^2-25$

Kun käytämme jakoominaisuutta muutaman kerran ja keräämme vastaavat ehdot, x uuden käännetyn kvadraattimme termi katoaa, ja tämä tekee $latex g(x)$:n juurien löytämisestä helppoa:

$lateksi g(x)=0$
$lateksi x^2-25=0$
$lateksi x^2=25$
$lateksi x=pm5$

Kohteen $lateksi g(x)$ juuret ovat $lateksi x=pm5$, joten löytääksemme $lateksi f(x)=x^2-8x-9$ juuret siirrämme vain $lateksi g( x)$ takaisin neljä yksikköä oikealle. Tämä antaa meille $lateksi f(x)$ juuret: $lateksi 4pm5$ tai 9 ja -1, jotka voit tarkistaa laskemalla $lateksi f(9)=f(-1)=0$.

Tämän hieman vaikeamman toisen asteen yhtälön ratkaisemisen salaisuus oli liu'uttaa se yli ja muuttaa se helpommaksi toisen asteen yhtälöksi poistamalla häiritsevät x termi. Tämä lähestymistapa toimii missä tahansa neliöfunktiossa. Kun otetaan huomioon mielivaltainen neliöllinen $lateksi f(x)=ax^2+bx+c$, voit aina löytää sen symmetria-akselin samalla faktorointibitillä:

$lateksi f(x)=ax^2+bx+c$
$lateksi f(x)=x(ax+b)+c$

Tässä muodossa voit nähdä, että $lateksi f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, mikä tarkoittaa, että symmetria-akseli on $lateksi x=0$ ja $lateksi x= puolivälissä. -frac{b}{a}$. Toisin sanoen minkä tahansa neliöfunktion $lateksi f(x)=ax^2+bx+c$ symmetria-akseli on viiva $lateksi x=-frac{b}{2a}$. Ja tämän pitäisi näyttää tutulta. Se on piilossa neliökaavassa!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

On helpompi nähdä, jos kirjoitat sen uudelleen näin:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Neliöllinen kaava perustuu siihen tosiasiaan, että neliöllisen $lateksin f(x)=ax^2+bx+c$ juuret ovat symmetrisiä $lateksi x=-frac{b}{2a}$ suhteen. Ja aivan kuten teimme edellä, voit käyttää tätä symmetriaa löytääksesi ne: Käännä vain $latex f(x)$ sanoilla $latex -frac{b}{2a}$. Tämä eliminoi x termi, jonka avulla voit sitten helposti eristää x ja ratkaista. Tee tämä, niin saat neliökaavan. (Katso lisätietoja alla olevista harjoituksista.) Tämä ei ole yhtä helppoa kuin lasten sävelmän hyräileminen, mutta se osoittaa tärkeitä algebrallisia ja geometrisia yhteyksiä, jotka saavat tämän kaavan toimimaan.

Kvadratiikan ratkaiseminen symmetrian voimalla saattaa rohkaista meitä kokeilemaan samanlaista taktiikkaa kuutioyhtälöissä. Mutta vaikka kuutioilla on symmetriaa, se ei ole sellainen, joka auttaa ratkaisemaan yhtälöitä, kuten $lateksi f(x)=0$. Kuutiokaavioilla on "pistesymmetria", mikä tarkoittaa, että jokaisen kuutiofunktion kaaviossa on erityinen piste, jossa jos suora kulkee kyseisen pisteen läpi ja leikkaa kuution missä tahansa muualla, se leikkaa kaavion uudelleen symmetrisesti kyseisen pisteen suhteen.

Tämä on vahva symmetriatyyppi, mutta se ei auta juurien löytämisessä. Tämä johtuu siitä, että funktion juuret ovat siellä, missä sen kaavio ylittää vaakaviivan $lateksi y=0$ ( x-akseli), ja yleensä nämä leikkauskohdat eivät ole symmetrisiä kuution erityisen symmetriapisteen suhteen.

Itse asiassa kuutiolla voi olla vain juuri. Siinä ei ole symmetriaa.

Jotain aiemmasta kvadraattityöstämme voi kuitenkin auttaa.

Jos meillä on neliöfunktio $lateksi f(x)=ax^2+bx+c$ ja tiedämme sen juuret ovat $lateksi r_1 $ ja $lateksi r_2$, niin voimme aina kirjoittaa $lateksi f(x)$ "faktoroitu" muoto: $lateksi f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Nyt kun kerromme tämän ja yksinkertaistamme, saamme jotain erittäin hyödyllistä työskenneltäväksi.

$lateksi f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Huomaa kuinka kerroin x termi sisältää kahden juuren $lateksi r_1$ ja $lateksi r_2$ summan. Tämä liittyy yhteen Vietan kaavoista (jonka olet ehkä nähnyt kerran or kahdesti edellä näissä sarakkeissa): Kun neliöfunktio $lateksi f(x)=ax^2+bx+c$, kahden juuren summa on aina $lateksi -frac{b}{a}$. Voit näyttää tämän asettamalla toisen asteen yleisen muodon yhtä suureksi kuin sen tekijällinen muoto $lateksi ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ ja huomioimalla, että ainoa tapa, jolla kaksi polynomia voivat itse asiassa olla sama, jos niiden vastaavat kertoimet ovat samat. Tässä tapauksessa se tarkoittaa kertoimia x yhtälön molemmilla puolilla olevien termien on oltava samat, jotta voimme kirjoittaa

$lateksi b=-a(r_1+r_2)$

ja jaa sitten:

$lateksi r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Huomaa, että tämän yhtälön molempien puolten jakaminen kahdella osoittaa mielenkiintoisen tosiasian: toisen asteen funktion kahden juuren keskiarvo on yhtä suuri kuin x-symmetria-akselin arvo:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

Tämä on järkevää, koska symmetria-akselin on oltava kahden juuren keskellä ja minkä tahansa kahden luvun keskiarvo on numero, joka on tarkalleen niiden keskellä.

Mutta harkitse tätä uutta suhdetta aikaisemman käännöksemme yhteydessä. Paraabelin kääntäminen siirtämällä symmetria-akselia arvosta $lateksi x = -frac{b}{2a}$ arvoon $lateksi x=0$ muuttaa myös kahden juuren keskiarvon arvosta $lateksi -frac{b}{2a} $ - 0.

Mutta jos juurien keskiarvo on 0, niin myös juurien summan on oltava 0, ja kahden juuren summa esiintyy toisen asteen tekijämuodossa:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Tämä tarkoittaa, että kvadraatin kääntäminen niin, että juurien summasta tulee 0, tekee myös x termi katoaa. Tämä auttoi meitä ratkaisemaan aikaisemman toisen asteen yhtälömme, ja samanlainen tulos juurista pätee kuutiofunktioille.

Kun on annettu yleinen kuutio $lateksi f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, voimme tehdä kuten teimme neliöllä. Jos kuutiolla on juuret $lateksi r_1$, $lateksi r_2$ ja $lateksi r_3$, voimme kirjoittaa kuutiofunktion faktoritetussa muodossaan $lateksi f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ ja kerro se ulos. Tämä antaa meille $lateksi f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$, jonka asetamme sitten yhtä suureksi kuin yleinen muoto $lateksi f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, ja koska vastaavien kertoimien on oltava samat, päädymme Vietan kaavaan kuution juurien summalle:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Huomaa, että voimme jakaa yhtälön molemmat puolet kolmella saadaksemme

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

Tämä kertoo meille, että kuution keskimääräinen juuri on $lateksi -frac{b}{3a}$. Jos nyt käännetään kuutio tällä määrällä, keskijuuri on 0, mikä tekee juurien summan yhtä suureksi kuin 0, mikä puolestaan ​​tekee $lateksi x^2$ kertoimen käännetyssä kuutiossa katoamaan.

Lyhyesti sanottuna muunnos $lateksi g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ tuottaa niin sanotun "masennetun" kuution, mikä yksinkertaisesti tarkoittaa, että siinä ei ole $lateksi x^2$ -termiä . Muuntunut ja masentunut kuutiomme näyttää tältä:

$lateksi g(x)=ax^3+mx+n$

Kertoimet m ja n voidaan ilmaista termeillä a, b, c, ja d alkuperäisestä kuutiosta. Se, mihin ne vastaavat, on vähemmän tärkeää kuin se, että masentuneiden kuutioiden juurien löytämiseen on taattuja tekniikoita. Itse asiassa tällainen tekniikka oli Gerolamo Cardanon ja Niccolò Tartaglian välisen legendaarisen kiistan ytimessä 1500-luvulla, joka koski ystävyyttä, pettämistä ja julkisia matemaattisia kaksintaisteluja. Se on a pitkä ja kiehtova tarina, jossa on merkittävä matemaattinen johtopäätös: Kyky muuttaa mikä tahansa kuutio alennetuksi kuutioksi, yhdessä kyvyn ratkaista mikä tahansa kuutioinen, antaa meille mahdollisuuden ratkaista jokainen kuutioyhtälö. Annat minulle anteeksi, että jätän pois muut yksityiskohdat, koska no, se on vain helpompi näyttää sinulle.

Tämä on kuutiokaava, joka, kuten neliöllinen kaava, ratkaisee jokaisen kuutioyhtälön. Mutta toisin kuin neliössä, siinä ei ole tarttuvaa sävelmää laulamista varten. Voit yrittää kirjoittaa sellaisen, mutta se vaatii todennäköisesti muutaman säkeen ja kertosäkeen tai kaksi.

Harjoitukset

1. Jos tiedät yhden kuutiojuuren, voit varmasti löytää muutkin. Miksi?

2. Toisen asteen juuret voivat olla kompleksilukuja. Eikö se vaikuta symmetria-argumenttiin?

3. Kun on annettu yleinen neliöllinen $lateksi f(x)=ax^2+bx+c$, ratkaise muunnettu neliöllinen $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ johtaaksesi toisen asteen kaava.

4. Mikä on neliöfunktion $lateksi f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ juurien keskiarvo?

5. Osoita laskun avulla, että kuution taivutuspiste on myös sen symmetriapiste.