Introduction
En décembre 1977, un révolutionnaire papier apparu discrètement dans Journal d'Analyse Mathématique, une revue spécialisée en mathématiques. L'auteur, Hillel Furstenberg, n'a revendiqué aucun résultat passionnant, ni même nouveau. Il avait simplement offert la preuve d'un théorème qu'un autre mathématicien, Endre Szemerédi, avait déjà prouvé deux ans auparavant.
Malgré cela, l'article de Furstenberg a laissé une empreinte durable sur les mathématiques. Son nouvel argument contenait un noyau de perspicacité aux conséquences de grande portée : vous pouviez reformuler des problèmes comme celui que Szemerédi avait résolu, sur des ensembles d'entiers, en questions sur des points se déplaçant dans l'espace.
Dans les années qui ont suivi, les techniques de Furstenberg ont été utilisées encore et encore, et petit à petit elles ont été ajustées et améliorées. Plus tôt cette année, ils ont été suralimentés, apparaissant dans deux nouveaux articles qui découvrent des modèles infinis dans des ensembles d'entiers – progressant à pas de géant au-delà du théorème de Szemerédi, maintenant vieux de 47 ans.
Preuve de Furstenberg
Szemerédi avait examiné des ensembles contenant une « fraction positive » de tous les entiers. Prenons, par exemple, l'ensemble contenant tous les multiples de 5. Lorsque vous regardez des bandes de plus en plus grandes de la droite numérique, des multiples de 5 continuent d'apparaître régulièrement. Les mathématiciens disent que l'ensemble contenant tous les multiples de 5 a la fraction d'un cinquième de tous les entiers.
En revanche, bien qu'il existe un nombre infini de nombres premiers, ils deviennent si rares à mesure que les nombres augmentent que l'ensemble de tous les nombres premiers ne contient pas de fraction positive des nombres entiers, ou en d'autres termes, n'a pas une densité positive . On dit plutôt que les nombres premiers ont une densité nulle.
Szemerédi cherchait des exemples de soi-disant progressions arithmétiques, ou chaînes de nombres régulièrement espacés. Par exemple, imaginez que vous avez une suite infinie de nombres tels que les carrés parfaits : {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. Les carrés parfaits ont une progression arithmétique de longueur trois se cachant dans les premiers termes : {1, 25, 49}. Chaque numéro de cette progression est 24 de plus que son prédécesseur.
Szemerédi a prouvé que tout ensemble comprenant une fraction positive des nombres entiers doit contenir des progressions arithmétiques arbitrairement longues. Le résultat a été un point de repère dans le sous-domaine des mathématiques appelé combinatoire additive.
La preuve de Szémeredi, bien que brillante, était presque impossible à suivre. "À ce jour, je pense qu'il n'y a peut-être que trois ou quatre personnes qui comprennent vraiment la preuve [de Szemerédi]", a déclaré Terence tao, mathématicien à l'Université de Californie à Los Angeles.
L'argument plus compréhensible de Furstenberg était donc le bienvenu. Pour l'écrire, Furstenberg s'est appuyé sur des méthodes de son propre domaine des mathématiques, les systèmes dynamiques. Un système dynamique est un processus qui change avec le temps. Cela pourrait être quelque chose d'aussi simple qu'une boule de billard roulant autour d'une table de billard. Tout ce dont vous avez besoin est un moyen de représenter mathématiquement votre système et une règle pour son évolution. Une balle, par exemple, peut être décrite par sa position et sa vitesse. Ce système progresse d'une manière prescrite dans le temps, suivant les lois de la physique classique.
Furstenberg était surtout intéressé par ce qu'on appelle la théorie ergodique. Plutôt que de regarder l'état d'un système à un moment donné, les théoriciens ergodiques étudient les statistiques sur de longues périodes. Pour une boule de billard, cela pourrait signifier déterminer si la boule se retrouve à certains endroits de la table plus qu'à d'autres en raison de la façon dont elle a tendance à rebondir sur les murs.
L'idée clé de Furstenberg était de considérer les ensembles d'entiers non pas comme des objets fixes, mais comme des états momentanés dans un système dynamique. Cela peut sembler être un petit changement de perspective, mais cela lui a permis d'utiliser des outils de la théorie ergodique pour prouver des résultats en combinatoire. À l'époque, Furstenberg n'avait aucune idée que ses idées prendraient une vie propre. "C'était juste que j'aimais avoir cette autre preuve", a-t-il déclaré. Mais d'autres ont vu la promesse du lien entre la théorie ergodique et la combinatoire. "Toute une génération de théoriciens ergodiques a commencé à se lancer dans la combinatoire et à résoudre tous ces problèmes, et vice versa", a déclaré Tao.
Au cours des dernières années, quatre mathématiciens — Bryn Kra, Joël Moreira, Florian Richter ainsi que Donald Robertson — ont développé les techniques de Furstenberg pour trouver non seulement des progressions arbitrairement longues dans tout ensemble contenant une fraction positive des entiers, mais des versions infinies de structures appelées sumsets.
« Les sumsets sont beaucoup moins spécifiques que les progressions ; ils sont beaucoup moins spéciaux », a déclaré Robertson. "Mais c'est plus intéressant et plus délicat, car les sumsets sont des configurations infinies, alors que les progressions sont finies."
Si Furstenberg a construit un pont entre la théorie ergodique et la combinatoire, Kra, Moreira, Richter et Robertson l'ont élargi en "une autoroute à six voies", a déclaré Tao.
B + C Conjecture
Le théorème de Szemerédi a été proposé pour la première fois, mais non prouvé, en 1936 par deux mathématiciens. L'un d'eux était un mathématicien hongrois célèbre pour ses conjectures : Paul Erdős. En 2016, alors que Moreira travaillait sur sa thèse de doctorat à l'Ohio State University, il est tombé sur une autre conjecture qu'Erdős avait faite sur les structures appelées sumsets.
Un sumset est composé de deux autres ensembles ; appelle ceux B ainsi que C. Le sumset, écrit comme B + C, est construit en additionnant toutes les paires de nombres possibles, en prenant un nombre de B et l'autre de C. Erdős a conjecturé que pour tout ensemble A qui contient une fraction positive d'entiers, il existe d'autres ensembles infinis B ainsi que C dont la somme est contenue dans A. Dans l'article que Moreira lisait, les auteurs avaient prouvé la conjecture d'Erdős lorsque A contient une grande fraction des entiers. Mais pour les ensembles de densité positive plus petits, le résultat était encore inconnu. "Dès que j'ai lu la déclaration, j'ai pensé que c'était une très bonne question, parce que c'est si simple", a déclaré Moreira. « Soit c'est faux, soit ça ne devrait pas être difficile. Ce qui bien sûr était faux. Ce n'était ni faux ni facile.
Moreira a fait participer Richter et Robertson, ses amis de l'école doctorale, au projet. Robertson, maintenant à l'Université de Manchester, avait obtenu son diplôme un an avant Moreira, et Richter avait quelques années de retard. Tous trois connaissaient bien l'application des techniques de la théorie ergodique à la combinatoire. Mais ce problème posait de nouveaux défis.
"Il n'y avait pratiquement aucun précédent pour trouver des sumsets infinis à l'intérieur d'un ensemble de densité positive", a déclaré Daniel Glasscock, mathématicien à l'Université du Massachusetts, Lowell qui a fréquenté l'école doctorale avec Moreira, Richter et Robertson.
C'est peut-être pour cette raison que le problème de l'ensemble s'est avéré difficile à résoudre. "Nous devons en quelque sorte forcer un peu la théorie ergodique à passer", a déclaré Moreira. Leurs efforts ont fini par payer, et en quoi Marcin Sabok de l'Université McGill a qualifié de "réalisation étonnante", ils ont réussi à prouver la conjecture d'Erdős en 2018. Leur preuve a été plus tard publié au Annales des mathématiques, l'une des revues mathématiques les plus prestigieuses.
Les nouvelles preuves
Ce document a laissé deux grandes questions ouvertes. L'un d'eux était une autre conjecture de somme d'Erdős appelée le B + B + t conjecture.
Moreira, Richter et Robertson avaient également posé leur propre question : si vous avez un ensemble à densité positive A, pouvez-vous trouver trois ensembles infinis — B, C et maintenant RÉ - De B + C + D Est à l'intérieur A? Qu'en est-il de quatre ensembles infinis ? Cinq?
Après avoir posé la version multi-ensembles, les mathématiciens ont été bloqués pendant un certain temps. Il semblait que les techniques qu'ils avaient utilisées pour la conjecture à deux séries avaient atteint leurs limites.
"Nous n'avons pas pu trouver une reformulation dynamique de ce problème", a déclaré Richter. Leur approche, a-t-il dit, "a simplement échoué au tout début".
Deux ans se sont écoulés avant qu'ils ne voient de réels progrès. À cette époque, Richter était boursier postdoctoral à la Northwestern University, où Bryn Kra était professeur. En 2020, empêchés de se rencontrer en personne par la pandémie de Covid-19, Kra et Richter se sont retrouvés à discuter du problème de somme sur Zoom.
"Finalement, nous avons proposé d'autres variantes que nous avons comprises", a déclaré Kra.
Kra et Richter ont commencé à parler à Moreira et Robertson chaque semaine, réexaminant la preuve de 2018.
"Ce que nous devions faire, c'est repenser chaque étape de la preuve, en commençant par cette traduction en un système dynamique", a déclaré Kra.
Utile à leur cause était un 2019 papier par un mathématicien français nommé Bernard Hôte. Host avait re-prouvé le résultat de Moreira, Richter et Robertson et avait compris comment faire chanter la théorie ergodique. De l'avis de Moreira, Host "a vu comment écrire notre preuve comme elle aurait dû être écrite".
Avec les améliorations de Host en main, Kra, Moreira, Richter et Robertson ont continué à peaufiner leur preuve, essayant d'extraire l'argument le plus simple et le plus élégant possible. "Nous étions juste en train de le disséquer, je suppose, encore et encore, pour vraiment voir : quel est le nœud du problème ?" dit Richter. "A la fin, nous avions une preuve qui avait très peu de ressemblance avec la preuve initiale."
La preuve avec laquelle ils se sont retrouvés, comme celle de Furstenberg, considérait les ensembles infinis d'entiers comme des horodatages dans un système dynamique. Ce système dynamique, cependant, est mieux envisagé comme des points sautant dans l'espace.
Voici une image approximative de la façon dont cela fonctionne : Commencez par vous tenir dans un coin d'une pièce fermée, appelez-le Coin 0. Vous êtes équipé d'une liste de temps A. Cet ensemble, A, est un ensemble d'entiers à densité positive.
Vous êtes également équipé d'une règle pour vous déplacer dans la pièce. Chaque seconde, vous vous déplacez vers un nouvel endroit, en fonction de l'endroit où vous vous trouviez. La règle exacte que vous suivez sera conçue pour correspondre à votre ensemble de temps A - chaque fois que l'horodatage est dans A, vous vous retrouverez dans une zone spéciale de la pièce.
Par exemple, disons A se compose de tous les nombres divisibles par 4, et chaque seconde, vous vous déplacez dans le sens des aiguilles d'une montre jusqu'au coin suivant de la pièce. Après une seconde, vous passez au coin 1 ; après deux secondes, Corner 2, et ainsi de suite. Ensuite, toutes les quatre étapes - c'est-à-dire à chaque fois que cela se passe UNE - vous serez revenu au coin 0 d'origine.
Ce processus dure éternellement. En voyageant d'un coin à l'autre dans le sens des aiguilles d'une montre, vous visiterez chaque coin une infinité de fois. Un point que vous approchez d'un nombre infini de fois s'appelle un point d'accumulation.
Kra, Moreira, Richter et Robertson ont prouvé que vous pouvez choisir intelligemment l'un de ces spots pour trouver votre sumset B + C. Dans l'exemple du coin, prenez le coin 1. Vous y arrivez aux temps 1, 5, 9 et 13 — des temps qui ressemblent à 4n + 1 pour un entier n. Laisse moi B être l'ensemble de ces temps.
Imaginez maintenant qu'au lieu de commencer au coin 0, vous commenciez au coin 1. Cela signifie qu'à des moments divisibles par 4, vous vous retrouverez au coin 1, et vous arriverez au coin 0 trois étapes plus tard : parfois 3, 7, 11, ou n'importe quel nombre de la forme 4n + 3. Appelez l'ensemble de ces moments C.
Maintenant, recommencez votre processus à partir du coin 0. Cette fois, regardez ce qui se passe si vous prenez un nombre de B et un numéro de C - disons, 13 de B et 3 de C - et additionnez-les.
Cela prendrait 13 + 3 = 16 secondes. Comme 16 est un multiple de 4, c'est dans A. Mais vous pouvez aussi prédire que 13 + 3 sera divisible par 4, et donc dans A, sans réellement ajouter 13 et 3 ensemble. Suivez simplement ce qui se passe dans le système dynamique lorsque vous attendez 13 + 3 secondes : Tout d'abord, 13 secondes s'écoulent. À ce moment-là, vous vous retrouvez dans le coin 1. Ensuite, en partant du coin 1, vous vous déplacez de trois étapes supplémentaires, ce qui vous ramène au coin 0. Puisque vous êtes parti du coin 0 et que vous vous êtes retrouvé là-bas, vous avez dû attendre un multiple de quatre secondes, ce qui signifie que la durée totale était un nombre dans l'ensemble d'origine A.
Pour faire fonctionner cet argument, le groupe a dû faire face à de nombreux détails mathématiques capricieux. Par exemple, dans la plupart des cas, vous avez un nombre infini d'emplacements disponibles pour vous déplacer, pas seulement quatre coins. Cela signifie que vous ne reviendrez pas réellement à un endroit une infinité de fois ; vous ne vous en approcherez qu'un nombre infini de fois. Cela a introduit de nouvelles complications mathématiques à l'argument. Mais une fois qu'ils ont compris comment le processus fonctionnerait, ils savaient qu'ils seraient en mesure de s'attaquer aux questions les plus difficiles qu'ils recherchaient.
"Nous avons trouvé cette preuve ici, et il était immédiatement clair comment la généraliser", a déclaré Richter, qui est maintenant à l'Ecole polytechnique fédérale de Lausanne. Pour prouver la version multi-ensemble de la conjecture, par exemple, les chercheurs pourraient simplement ajouter un point d'accumulation au chemin. L'argument général était le même, juste avec une nouvelle couche de complication.
Marteler tous les détails techniques n'a pas été facile. Après avoir réglé leur configuration dynamique, il a fallu plus d'un an à Kra, Moreira, Richter et Robertson pour établir les preuves des conjectures les plus difficiles. En juin de cette année, le groupe a finalement publié deux articles. Un a prouvé la version multi-ensemble de la conjecture sumset. L'autre prouvé le B + B + t version de la conjecture, qui exige que le second ensemble C être égal au premier ensemble B, décalé d'une constante, t.
Prochaines étapes
Bien que les articles de juin résolvent deux questions sur les sumsets, Kra, Moreira, Richter et Robertson envisagent un long avenir pour leur ligne de recherche. "Comme pour tout ce qu'Erdős a demandé, il veut juste que nous mettions le pied dans la porte", a déclaré Moreira, maintenant à l'Université de Warwick. "Mais maintenant, nous devons ouvrir la porte et aller explorer ce qu'il y a d'autre."
Dans leurs nouveaux articles, les quatre mathématiciens exposent plusieurs pistes d'exploration possibles, sous la forme de questions encore sans réponse. On s'appuie sur le fait que, bien que tout ensemble de densité positive A contient une somme infinie B + C, il ne contient pas nécessairement les deux composants B ainsi que C. Quand pouvez-vous insister pour que B ainsi que C doit également être contenu à l'intérieur A? Les auteurs mettent également les mathématiciens au défi de déterminer s'ils peuvent trouver une séquence infinie d'ensembles infinis dont les sommes sont contenues dans A.
Une autre question ouverte dans le domaine a déjà été répondue par Matt Bowen, un étudiant diplômé de Sabok à l'Université McGill. En octobre, il posté une preuve que si vous attribuez à chaque entier une couleur parmi quelques couleurs, vous pouvez trouver un sumset B+C et un produit d'ensembles BC dans une seule des couleurs.
On ne sait toujours pas exactement où mèneront les nouvelles œuvres de Kra, Moreira, Richter et Robertson. Mais Tao, au moins, est optimiste quant aux nouvelles techniques que le groupe a développées. Ce qu'ils réalisent avec leurs méthodes est "en fait assez incroyable", a-t-il déclaré. "Il y a d'autres questions impliquant des ensembles infinis qui étaient considérées comme sans espoir auparavant, maintenant à portée de main."
