Théorie des champs quantiques Pries Puzzle mathématique ouvert

Le mois dernier, Karen Vogtman ainsi que Michel Borinski posté une preuve qu'il existe un chargement de structures mathématiques dans un monde mathématique jusque-là inaccessible appelé l'espace des modules des graphes, que Vogtmann et un collaborateur décrite en premier lieu dans le milieu 1980s.

« C'est un problème super difficile. C'est incroyable qu'ils aient pu le faire », a déclaré Dan Margalit, mathématicien au Georgia Institute of Technology.

Vogtmann et Borinsky ont commencé par des questions que Vogtmann, mathématicienne à l'Université de Warwick, se posait depuis des décennies. Le duo a ensuite réimaginé le problème dans le langage de la physique, en utilisant des techniques de la théorie quantique des champs pour arriver à leur résultat.

La preuve démontre que certaines structures existent dans l'espace des modules, mais elle ne révèle pas explicitement quelles sont ces structures. De cette façon, leur nouveau résultat ressemble plus à un détecteur de métaux qu'à une caméra - il les avertit que quelque chose d'intéressant se cache, même s'ils ne peuvent pas le décrire complètement.

Vous pouvez considérer les espaces de modules des graphiques comme des formes mathématiques avec une décoration supplémentaire. Si vous vous tenez à n'importe quel point de la forme, vous verrez un graphique flotter au-dessus de vous - une collection de points, ou sommets, reliés par des arêtes. À différents endroits sur un espace de modules, les graphes changent, leurs bords se rétrécissent ou s'agrandissent, et parfois disparaissent complètement. En raison de ces caractéristiques, Borinsky, physicien mathématicien à l'Institut fédéral suisse de technologie de Zurich, décrit les espaces de modules comme "une grande mer de graphes".

Le « rang » d'un graphe est le nombre de boucles dont il dispose ; pour chaque rang de graphes, il existe un espace de modules. La taille de cet espace augmente rapidement - si vous fixez les longueurs des arêtes du graphe, il y a trois graphes de rang 2, 15 de rang 3, 111 de rang 4 et 2,314,204,852 10 XNUMX XNUMX de rang XNUMX. Sur l'espace des modules, ces longueurs peuvent varier, introduisant encore plus de complexité.

La forme de l'espace des modules pour les graphes d'un rang donné est déterminée par les relations entre les graphes. Lorsque vous vous promenez dans l'espace, les graphiques à proximité doivent être similaires et doivent se transformer en douceur les uns dans les autres. Mais ces relations sont compliquées, laissant l'espace des modules avec des caractéristiques mathématiquement troublantes, telles que des régions où trois parois de l'espace des modules se traversent.

Les mathématiciens peuvent étudier la structure d'un espace ou d'une forme à l'aide d'objets appelés classes de cohomologie, qui peuvent aider à révéler comment un espace est assemblé. Par exemple, considérons l'une des formes préférées des mathématiciens, le beignet. Sur le beignet, les classes de cohomologie sont simplement des boucles.

On peut dessiner plusieurs types de boucles différentes sur la surface du beignet : la boucle 1 encercle le trou central du beignet ; bouclez 2 fils dans le trou; la troisième boucle "triviale" se trouve du côté du beignet.

Cependant, toutes les classes de cohomologie ne sont pas égales. Une boucle située à l'extérieur du beignet - comme la troisième boucle - peut toujours glisser ou rétrécir pour éviter de croiser une autre boucle. Cela en fait une classe de cohomologie « triviale ».

Mais les boucles 1 et 2 en disent beaucoup plus sur la structure du beignet - elles n'existent qu'à cause du trou. Pour discerner mathématiquement la différence, vous pouvez utiliser des intersections, a expliqué Margalit. Les boucles 1 et 2 peuvent glisser sur la surface du beignet, mais à moins que vous ne les forciez à se détacher complètement de la surface, elles se croiseront toujours. Parce que ces deux boucles viennent avec des partenaires qu'elles ne peuvent s'empêcher de croiser, ce sont des classes de cohomologie « non triviales ».

Contrairement à un beignet, les mathématiciens ne peuvent pas trouver de classes de cohomologie sur les espaces de modules de graphes simplement en dessinant une image. Avec un si grand nombre de graphes, les espaces de modules sont difficiles à maîtriser, a déclaré Nathalie Wahl, mathématicienne à l'Université de Copenhague. « Très vite, l'ordinateur ne peut plus aider », dit-elle. En effet, une seule classe de cohomologie non triviale de dimension impaire a été calculé explicitement (en 11 dimensions), ainsi qu'une poignée de dimensions paires.

Ce que Vogtmann et Borinsky ont prouvé, c'est qu'il existe un nombre énorme de classes de cohomologie qui se trouvent dans l'espace des modules des graphes d'un rang donné - même si nous ne pouvons pas les trouver. "Nous savons qu'il y en a des tonnes, et nous en connaissons un", a déclaré Wahl, qualifiant la situation de "ridicule".

Au lieu de travailler directement avec des classes de cohomologie, Borinsky et Vogtmann ont étudié un nombre appelé la caractéristique d'Euler. Ce nombre fournit un type de mesure de l'espace des modules. Vous pouvez modifier l'espace des modules de certaines manières sans changer sa caractéristique d'Euler, ce qui rend la caractéristique d'Euler plus accessible que les classes de cohomologie elles-mêmes. Et c'est ce qu'ont fait Borinsky et Vogtmann. Au lieu de travailler directement avec l'espace des modules des graphes, ils ont étudié la «colonne vertébrale» - essentiellement un squelette de l'espace global. La colonne vertébrale a la même caractéristique d'Euler que l'espace des modules lui-même et est plus facile à utiliser. Le calcul de la caractéristique d'Euler sur la colonne vertébrale revenait à compter une grande collection de paires de graphiques.

La perspicacité de Borinsky était d'utiliser des techniques pour compter les diagrammes de Feynman, qui sont des graphiques qui représentent les façons dont les particules quantiques interagissent. Lorsque les physiciens veulent calculer, par exemple, les chances qu'une collision entre un électron et un positron produise deux photons, ils doivent somme sur toutes les interactions possibles qui mènent à ce résultat. Cela signifie faire la moyenne sur de nombreux diagrammes de Feynman, motivant des stratégies de comptage intelligentes.

"J'ai réalisé que l'on pouvait formuler ce type de problème comme une sorte d'univers de théorie quantique des champs jouet", a expliqué Borinsky.

Borinsky a imaginé les graphiques comme représentant des systèmes physiques dans une version simple de l'univers, une dans laquelle, entre autres hypothèses, il n'y a qu'un seul type de particule. Le cadre de la théorie quantique des champs a nécessité quelques ajustements pour que Borinsky et Vogtmann obtiennent le bon décompte. Par exemple, dans la théorie quantique des champs, deux graphiques qui sont des images miroir l'un de l'autre sont indiscernables, a déclaré Borinsky. Les formules d'addition des diagrammes de Feynman incluent des facteurs qui garantissent que ces graphiques ne sont pas surestimés. Mais lorsqu'il s'agit de calculer la caractéristique d'Euler, ces graphiques sont considérés comme différents. "Nous devons jouer à un petit jeu avec les symétries des graphiques", a déclaré Borinsky.

Avec une aide à la programmation du physicien José Vermaseren, Borinsky et Vogtmann ont finalement surmonté cette difficulté. Dans leur article de janvier, ils ont prouvé que la caractéristique d'Euler de l'espace des modules des graphes de rang n devient massivement négatif lorsque n Devient plus grand. Cela implique qu'il existe de très nombreuses classes de cohomologie non triviales à découvrir dans chaque espace de modules.

Bien que l'article de Borinsky et Vogtmann ne contienne aucune autre indication sur ces classes de cohomologie, c'est un résultat encourageant pour les chercheurs qui cherchent à les trouver - et cela ajoute peut-être au frisson de la chasse. Dit Margalit des cours de cohomologie : « Ceux que nous connaissons ne sont que des joyaux. Et chaque fois que nous en trouvons un, c'est cette belle chose.