L’image de jauge de la dynamique quantique

L’image de jauge de la dynamique quantique

Horodatage: 21 mars 2024 6:43
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Kevin Slagle

Département de génie électrique et informatique, Rice University, Houston, Texas 77005 États-Unis
Département de physique, California Institute of Technology, Pasadena, Californie 91125, États-Unis
Institute for Quantum Information and Matter et Walter Burke Institute for Theoretical Physics, California Institute of Technology, Pasadena, Californie 91125, États-Unis

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Abstract

Bien que les hamiltoniens locaux présentent une dynamique temporelle locale, cette localité n'est pas explicite dans l'image de Schrödinger dans le sens où les amplitudes de la fonction d'onde n'obéissent pas à une équation locale du mouvement. Nous montrons que la localité géométrique peut être obtenue explicitement dans les équations du mouvement en « évaluant » l’invariance unitaire globale de la mécanique quantique en une invariance de jauge locale. Autrement dit, les valeurs d'espérance $langle psi|A|psi rangle$ sont invariantes sous une transformation unitaire globale agissant sur la fonction d'onde $|psirangle en U |psirangle$ et les opérateurs $A vers UAU^dagger$, et nous montrons que c'est possible pour évaluer cette invariance globale en une invariance de jauge locale. Pour ce faire, nous remplaçons la fonction d'onde par une collection de fonctions d'onde locales $|psi_Jrangle$, une pour chaque morceau d'espace $J$. L'ensemble des patchs spatiaux est choisi pour couvrir l'espace ; par exemple, nous pourrions choisir que les correctifs soient des qubits uniques ou des sites voisins les plus proches sur un réseau. Les fonctions d'onde locales associées aux paires voisines de patchs spatiaux $I$ et $J$ sont liées les unes aux autres par des transformations unitaires dynamiques $U_{IJ}$. Les fonctions d'onde locales sont locales dans le sens où leur dynamique est locale. Autrement dit, les équations de mouvement pour les fonctions d'onde locales $|psi_Jrangle$ et les connexions $U_{IJ}$ sont explicitement locales dans l'espace et ne dépendent que de termes hamiltoniens proches. (Les fonctions d'onde locales sont des fonctions d'onde à plusieurs corps et ont la même dimension spatiale de Hilbert que la fonction d'onde habituelle.) Nous appelons cette image de la dynamique quantique l'image de jauge car elle présente une invariance de jauge locale. La dynamique locale d'une seule parcelle spatiale est liée à l'image d'interaction, où l'hamiltonien d'interaction est constitué uniquement de termes hamiltoniens proches. Nous pouvons également généraliser la localité explicite pour inclure la localité dans les densités de charge et d'énergie locales.

Image présentée : Dans l'image de Schrödinger, une fonction d'onde initiale $|psi_0rangle$ évolue vers $U(t) |psi_0rangle$ après un temps $t$, où $U(t) = e^{-iHt}$ est l'évolution temporelle unitaire opérateur. L'image de la jauge considère à la place les fonctions d'onde locales $|psi_I(t)rangle$ qui sont associées à un sous-ensemble (ou patch) $I$ dans l'espace. La fonction d'onde locale évoluée dans le temps $|psi_I(t)rangle = tilde{U}_I^dagger(t) |psi(t)rangle$ est obtenue à partir de la fonction d'onde de Schrödinger $|psi(t)rangle = U(t) |psi_0rangle $ via l'opérateur unitaire $tilde{U}_I^dagger(t)$, qui inverse l'évolution temporelle en dehors de la région $I$. En conséquence, la dynamique de la fonction d'onde locale $partial_I |psi_I(t)rangle$ ne dépend que des termes hamiltoniens proches qui chevauchent la région $I$. La figure représente ces opérateurs unitaires comme des circuits quantiques et démontre qu'une grande partie de l'évolution temporelle à partir de $U(t)$ s'annule avec $tilde{U}_I^dagger(t)$, ne laissant qu'un opérateur d'évolution temporelle en forme de sablier. agissant sur la fonction d'onde initiale (à droite de la figure). Cet opérateur en forme de sablier est analogue à la croissance de l'opérateur en forme de cône lumineux dans l'image de Heisenberg.

Résumé populaire

Les deux images les plus célèbres de la dynamique quantique sont les images de Schrödinger et de Heisenberg. Dans l'image de Schrödinger, la fonction d'onde évolue dans le temps, tandis que dans l'image de Heisenberg, la fonction d'onde est constante mais les opérateurs évoluent dans le temps. Dans ce travail, nous introduisons une nouvelle image de la dynamique quantique, l’image de jauge, qui établit des liens profonds avec la localité de l’information et la théorie de jauge.

Concernant la localité : un avantage appréciable de l'image de Heisenberg est que la localité est explicite dans les équations du mouvement. Autrement dit, l’évolution temporelle d’un opérateur local dépend uniquement de l’état des opérateurs locaux proches. En revanche, la localité n'est pas explicite de cette manière dans l'image de Schrödinger, pour laquelle il existe une seule fonction d'onde dont la dynamique temporelle dépend d'opérateurs partout dans l'espace. Notre nouvelle image de jauge modifie l'image de Schrödinger de telle sorte que nous pouvons calculer une « fonction d'onde locale » qui transporte les mêmes informations que la fonction d'onde de Schrödinger. Attendez-vous à ce que la dynamique temporelle des fonctions d'onde locales dans l'image de jauge ne dépende que des termes hamiltoniens proches, ce qui rend la localité explicite dans le équations du mouvement. Afin d'obtenir cette localité explicite, l'image de jauge ajoute des champs de jauge aux équations du mouvement.

La théorie de jauge établit un lien profond entre un hamiltonien (ou lagrangien) avec une symétrie globale et un autre hamiltonien où la symétrie globale est remplacée par une symétrie de jauge locale via l'addition de champs de jauge dynamiques. Fait intéressant, l'équation de Schrödinger $ihbar partial_t |psirangle = H |psirangle$ admet une invariance unitaire globale donnée par la transformation $|psirangle en U |psirangle$ et $H en UHU^dagger$. Nos travaux montrent qu'il est également possible d'appliquer la théorie de jauge à cette invariance globale dans l'équation de Schrödinger pour obtenir une nouvelle équation du mouvement, ie l'image de jauge, avec des champs de jauge dynamiques et une invariance de jauge locale.

► Données BibTeX

► Références

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Cité par

[1] Sayak Guha Roy et Kevin Slagle, « Interpolation entre la jauge et les images de Schrödinger de la dynamique quantique », SciPost Physique Core 6 4, 081 (2023).

[2] Kevin Slagle, « Réseaux de jauge quantique : un nouveau type de réseau tensoriel », Quantique 7, 1113 (2023).

Les citations ci-dessus proviennent de SAO / NASA ADS (dernière mise à jour réussie 2024-03-21 22:55:07). La liste peut être incomplète car tous les éditeurs ne fournissent pas de données de citation appropriées et complètes.

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