1Google Inc., Venise, CA 90291, États-Unis
2Centre de physique théorique, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA 02139, États-Unis
3Département de physique, Harvard University, Cambridge, MA 02138, États-Unis
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Abstract
L'algorithme d'optimisation approximative quantique (QAOA) est un algorithme à usage général pour les problèmes d'optimisation combinatoire dont les performances ne peuvent que s'améliorer avec le nombre de couches $p$. Bien que QAOA soit prometteur en tant qu'algorithme pouvant être exécuté sur des ordinateurs quantiques à court terme, sa puissance de calcul n'a pas été pleinement explorée. Dans ce travail, nous étudions le QAOA appliqué au modèle de Sherrington-Kirkpatrick (SK), qui peut être compris comme la minimisation de l'énergie des spins $n$ avec des couplages signés aléatoires tout-à-tout. Il existe un algorithme classique récent de Montanari qui, en supposant une conjecture largement admise, peut trouver efficacement une solution approximative pour une instance typique du modèle SK à moins de $(1-epsilon)$ fois l'énergie de l'état fondamental. Nous espérons égaler ses performances avec le QAOA.
Notre résultat principal est une nouvelle technique qui nous permet d'évaluer l'énergie d'instance typique du QAOA appliquée au modèle SK. Nous produisons une formule pour la valeur attendue de l'énergie, en fonction des paramètres $2p$ QAOA, dans la limite de taille infinie qui peut être évaluée sur un ordinateur avec une complexité $O(16^p)$. Nous évaluons la formule jusqu'à $p=12$ et constatons que le QAOA à $p=11$ surpasse l'algorithme de programmation semi-définie standard. De plus, nous montrons la concentration : avec une probabilité tendant vers un comme $ntoinfty$, les mesures du QAOA produiront des chaînes dont les énergies se concentrent à notre valeur calculée. En tant qu'algorithme fonctionnant sur un ordinateur quantique, il n'est pas nécessaire de rechercher les paramètres optimaux instance par instance puisque nous pouvons les déterminer à l'avance. Ce que nous avons ici est un nouveau cadre d'analyse de la QAOA, et nos techniques peuvent être d'un grand intérêt pour évaluer ses performances sur des problèmes plus généraux où les algorithmes classiques peuvent échouer.
Image en vedette : Valeurs atteintes par le QAOA appliquées au problème de minimisation de l'énergie du modèle de verre de spin de Sherrington-Kirkpatrick (SK). Les valeurs de profondeur $ple8$ sont basées sur l'optimisation des paramètres QAOA. Les valeurs pour $9le p le 12$ proviennent de l'évaluation de la QAOA à certains paramètres extrapolés à partir de ceux à $p$ inférieur mais non optimisés davantage. À $p=11$ et plus, le QAOA dépasse la valeur atteinte par l'algorithme de programmation semi-définie (SDP) standard.
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Cité par
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