La symétrie qui facilite la résolution d'équations mathématiques

Pensez à la mélodie de "Pop Goes the Weasel". Maintenant, chantez ces paroles :

Négatif b, plus ou moins
La racine carrée de b au carré
mi-nus quatre a c
Tous! plus de deux a

Ce jingle a aidé des générations d'étudiants en algèbre à se souvenir de la formule quadratique qui résout chaque équation de la forme $latex ax^2+bx+c=0$. La formule est aussi utile qu'elle est susceptible d'apparaître dans le dictionnaire sous « anxiété mathématique », et un rapide coup d'œil vous montre pourquoi :

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Aussi intimidant que cela puisse paraître, se cacher à l'intérieur est un secret simple qui facilite la résolution de chaque équation quadratique : la symétrie. Regardons comment la symétrie fait fonctionner la formule quadratique et comment un manque de symétrie rend la résolution d'équations cubiques (de la forme $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) beaucoup, beaucoup plus difficile. Tellement plus difficile, en fait, que quelques mathématiciens des années 1500 ont passé leur vie mêlés à d'âpres querelles publiques en compétition pour faire pour les cubiques ce qui était si facile à faire pour les quadratiques.

La résolution d'équations est une compétence essentielle en cours de mathématiques - elle nous aide à trouver des profits maximaux, des distances minimales, des points d'intersection et bien plus encore. L'une des équations les plus élémentaires que nous apprenons à résoudre est $latex f(x)=0$. Étant donné une fonction $latex f(x)$, cette équation demande : Quelles entrées x renvoyer une sortie de 0 ? Pour cette raison, les solutions de cette équation sont parfois appelées les « zéros » ou les « racines » de la fonction.

Avant de trouver les racines de chaque fonction quadratique, commençons par une simple : quelles sont les racines de $latex f(x)=x^2-9$ ? Pour les trouver, il suffit de résoudre l'équation $latex f(x)=0$.

$latex f(x)=0$
$latex x^2-9=0$
$latex x^2=9$
$latex x=pm3$

Ces racines sont faciles à trouver car cette équation est facile à résoudre. Il ne vous reste plus qu'à vous isoler x. Notez que nous avons besoin de $latex pm$ dans la dernière ligne, car 3 et -3 ont la propriété que lorsque vous les mettez au carré, vous obtenez 9. Une vérification rapide que $latex f(3)=f(-3)=0 $ vérifie que ce sont bien les entrées qui font que la sortie $latex f(x)$ vaut 0.

Ce $latex pm$ indique également la symétrie inhérente à la situation. La fonction quadratique a deux racines, et si vous imaginez les deux racines sur une droite numérique, vous verrez qu'elles sont symétriques autour de $latex x=0$.

Et quand on se rappelle que le graphique d'une fonction quadratique est une parabole, cela a beaucoup de sens. Chaque parabole a un axe de symétrie qui divise la parabole en deux morceaux d'image miroir. Dans le cas de $latex f(x)=x^2-9$, l'axe de symétrie est le y-axis (la ligne $latex x=0$). Lorsque vous représentez $latex f(x)=x^2-9$ de la manière habituelle, en traitant x comme variable indépendante et en définissant $latex y=f(x)$, vous pouvez voir ses racines sur le x-axe, équidistant de et de part et d'autre de la y-axe.

Pour un quadratique plus compliqué comme $latex f(x)=x^2-8x-9$, trouver les racines demande un peu plus de recherche.

$latex f(x)=0$
$latexx^2-8x-9=0$
$latexx^2-8x=9$

Nous pouvons définir $latex f(x)$ égal à 0 et déplacer le 9 vers la droite comme nous l'avons fait auparavant, mais nous ne pouvons pas prendre la racine carrée des deux côtés pour isoler x. Cet autre terme avec le x en elle se dresse sur le chemin. Mais cette fonction, comme tout quadratique, est symétrique, et nous pouvons utiliser cette symétrie pour naviguer autour du problème. Nous avons juste besoin d'un peu d'algèbre pour rendre la symétrie plus transparente.

Réécrivons la fonction $latex f(x)=x^2-8x-9$ en $latex f(x)=x(x-8)-9$. Concentrez-vous maintenant sur la partie $latex x(x-8)$. Ce sera à 0 dans deux situations - si x = 0 ou si x = 8 — et cela garantit que $latex f(0)$ et $latex f(8)$ prendront la même valeur de -9. Cela nous donne deux points symétriques sur la parabole, et puisque l'axe de symétrie doit diviser $latex x=0$ et $latex x=8$ au milieu, ce doit être la ligne $latex x=4$.

Maintenant que nous avons trouvé la symétrie, il est temps d'en tirer parti. Nous allons décaler notre parabole de quatre unités vers la gauche pour que son axe de symétrie passe de la ligne $latex x=4$ à la ligne $latex x=0$. Il existe un moyen simple d'effectuer cette traduction algébriquement : nous remplaçons chaque x comprenant x + 4.

Appelons $latex g(x)$ la nouvelle fonction quadratique que nous obtenons lorsque nous remplaçons x comprenant x+ 4. Autrement dit, soit $latex g(x)=f(x+4)$. Regardez ce qui se passe lorsque nous simplifions $latex g(x)$ :

$latex g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$latex g(x)=x^2-25$

Après avoir appliqué la propriété distributive plusieurs fois et collecté des termes similaires, le x terme de notre nouveau quadratique traduit s'annule, ce qui facilite la recherche des racines de $latex g(x)$ :

$latex g(x)=0$
$latex x^2-25=0$
$latex x^2=25$
$latex x=pm5$

Les racines de $latex g(x)$ sont $latex x=pm5$, donc pour trouver les racines de $latex f(x)=x^2-8x-9$, il suffit de déplacer les racines de $latex g( x)$ recule de quatre unités vers la droite. Cela nous donne les racines de $latex f(x)$ : $latex 4pm5$, ou 9 et -1, que vous pouvez vérifier en calculant $latex f(9)=f(-1)=0$.

Le secret pour résoudre cette équation quadratique légèrement plus difficile était de la faire glisser et de la transformer en une équation quadratique plus facile en éliminant les interférences x terme. Cette approche fonctionnera sur n'importe quelle fonction quadratique. Étant donné un quadratique arbitraire $latex f(x)=ax^2+bx+c$, vous pouvez toujours trouver son axe de symétrie avec le même bit de factorisation :

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$latex f(x)=x(ax+b)+c$

Dans ce formulaire, vous pouvez voir que $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, ce qui signifie que l'axe de symétrie est à mi-chemin entre $latex x=0$ et $latex x= -frac{b}{a}$. En d'autres termes, l'axe de symétrie de toute fonction quadratique $latex f(x)=ax^2+bx+c$ est la droite $latex x=-frac{b}{2a}$. Et cela devrait vous sembler familier. Il se cache dans la formule quadratique !

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Il est plus facile de voir si vous le réécrivez comme ceci :

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

La formule quadratique repose sur le fait que les racines du quadratique $latex f(x)=ax^2+bx+c$ sont symétriques par rapport à $latex x=-frac{b}{2a}$. Et tout comme nous l'avons fait ci-dessus, vous pouvez utiliser cette symétrie pour les trouver : traduisez simplement $latex f(x)$ par $latex -frac{b}{2a}$. Cela a pour effet d'éliminer les x terme, ce qui vous permet ensuite d'isoler facilement x et résoudre. Faites ceci et vous obtiendrez la formule quadratique. (Voir les exercices ci-dessous pour plus de détails.) Ce n'est pas aussi facile que de fredonner une mélodie pour enfants, mais cela démontre les liens algébriques et géométriques importants qui font fonctionner cette formule.

Résoudre des quadratiques avec le pouvoir de la symétrie pourrait nous encourager à essayer une tactique similaire sur les équations cubiques. Mais bien que les cubiques aient une symétrie, ce n'est pas le genre qui aide à résoudre des équations comme $latex f(x)=0$. Les graphes cubiques ont une "symétrie ponctuelle", ce qui signifie qu'il y a un point spécial sur le graphe de chaque fonction cubique où, si une ligne passe par ce point et coupe le cubique n'importe où ailleurs, elle recoupe le graphe symétriquement autour de ce point.

C'est un type de symétrie fort, mais cela n'aide pas à trouver des racines. C'est parce que les racines d'une fonction se trouvent là où son graphique croise la ligne horizontale $latex y=0$ (le x-axe), et en général, ces intersections ne sont pas symétriques par rapport au point de symétrie spécial de la cubique.

En fait, un cube peut n'avoir qu'une racine. Aucune symétrie là-dedans.

Pourtant, il y a quelque chose dans nos travaux antérieurs avec les quadratiques qui peut aider.

Si nous avons une fonction quadratique $latex f(x)=ax^2+bx+c$ et que nous savons que ses racines sont $latex r_1 $ et $latex r_2$, alors nous pouvons toujours écrire $latex f(x)$ dans forme « factorisée » : $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. Maintenant, lorsque nous multiplions cela et simplifions, nous obtenons quelque chose de très utile avec lequel travailler.

$latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

Remarquez comment le coefficient de la x terme implique la somme des deux racines $latex r_1$ et $latex r_2$. Ceci est lié à l'une des formules de Vieta (que vous avez peut-être vues une fois or deux fois avant dans ces colonnes) : étant donné une fonction quadratique $latex f(x)=ax^2+bx+c$, la somme des deux racines sera toujours $latex -frac{b}{a}$. Vous pouvez le montrer en définissant la forme générale du quadratique égale à sa forme factorisée $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ et en observant que la seule façon dont deux polynômes peuvent réellement être le même si leurs coefficients correspondants sont les mêmes. Dans ce cas, cela signifie que les coefficients de la x les termes des deux côtés de l'équation doivent être égaux, nous pouvons donc écrire

$latex b=-a(r_1+r_2)$

puis divisez :

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

Notez que la division des deux côtés de cette équation par 2 démontre un fait intéressant : la moyenne des deux racines de la fonction quadratique est égale à la x-valeur de l'axe de symétrie :

$$frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

Cela a du sens, car l'axe de symétrie doit être au milieu des deux racines, et la moyenne de deux nombres quelconques est le nombre exactement au milieu d'eux.

Mais considérez cette nouvelle relation dans le contexte de notre traduction précédente. La translation de la parabole en déplaçant l'axe de symétrie de $latex x = -frac{b}{2a}$ à $latex x=0$ modifie également la moyenne des deux racines de $latex -frac{b}{2a} $ à 0.

Mais si la moyenne des racines est 0, alors la somme des racines doit également être 0, et la somme des deux racines apparaît sous la forme factorisée du quadratique :

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

Cela signifie que la translation du quadratique de sorte que la somme des racines devienne 0 rend également le x terme disparaît. C'est ce qui nous a aidés à résoudre notre équation quadratique précédente, et un résultat similaire sur les racines est valable pour les fonctions cubiques.

Étant donné un $latex cubique général f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, nous pouvons faire ce que nous avons fait avec le quadratique. Si la cubique a des racines $latex r_1$, $latex r_2$ et $latex r_3$, nous pouvons écrire la fonction cubique sous sa forme factorisée $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ et multipliez-le. Cela nous donne $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$ que nous fixons alors égal à la forme générale $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, et puisque les coefficients correspondants doivent être les mêmes, on aboutit à la formule de Vieta pour la somme des racines d'une cubique :

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

Notez que nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation par 3 pour obtenir

$$frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

Cela nous indique que la racine moyenne du cube est $latex -frac{b}{3a}$. Maintenant, si nous traduisons la cubique de cette quantité, la racine moyenne sera 0, ce qui rendra la somme des racines égale à 0, ce qui fera disparaître le coefficient de $latex x^2$ dans notre cubique traduit.

En bref, la transformation $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ donne ce qu'on appelle une cubique "déprimée", ce qui signifie simplement qu'elle n'a pas de terme $latex x^2$ . Notre cubique transformé et déprimé ressemblera à ceci :

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

Les coefficients m ainsi que le n peut s'exprimer en termes de un, b, c, ainsi que le d du cubique d'origine. Ce à quoi ils sont égaux est moins important que le fait qu'il existe des techniques garanties pour trouver les racines des cubiques déprimées. En fait, une telle technique était au cœur d'une dispute légendaire entre Gerolamo Cardano et Niccolò Tartaglia dans les années 1500 qui impliquait l'amitié, la trahison et des duels mathématiques publics. C'est un histoire longue et passionnante, avec une conclusion mathématique remarquable : la capacité de transformer n'importe quelle cubique en une cubique déprimée, ainsi que la capacité de résoudre n'importe quelle cubique déprimée, nous permet de résoudre toutes les équations cubiques. Vous me pardonnerez d'omettre le reste des détails car, eh bien, c'est juste plus facile à vous montrer.

C'est la formule cubique, qui, comme la formule quadratique, résout toutes les équations cubiques. Mais contrairement à la formule quadratique, il n'y a pas de mélodie entraînante à chanter. Vous pouvez essayer d'en écrire un, mais il faudra probablement quelques couplets et un ou deux refrains.

Des exercices

1. Si vous connaissez une racine d'un cubique, vous pouvez certainement trouver les autres. Pourquoi?

2. Les racines d'un quadratique peuvent être des nombres complexes. Cela n'affecte-t-il pas l'argument de symétrie?

3. Étant donné le quadratique général $latex f(x)=ax^2+bx+c$, résolvez le quadratique transformé $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ pour dériver le formule quadratique.

4. Quelle est la moyenne des racines de la fonction quartique $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ ?

5. Utilise le calcul pour montrer que le point d'inflexion d'une cubique est aussi son point de symétrie.