सिस्टम्स इन मोशन से, अनंत पैटर्न प्रकट होते हैं

दिसंबर 1977 में, एक क्रांतिकारी काग़ज़ में चुपचाप दिखाई दिया जर्नल डी एनालिसिस मैथेमेटिक, एक विशेष गणित पत्रिका. लेखक, हिलेल फुरस्टेनबर्ग ने किसी रोमांचकारी - या यहाँ तक कि नए - परिणामों का दावा नहीं किया। उन्होंने केवल एक प्रमेय का प्रमाण प्रस्तुत किया था जिसे एक अन्य गणितज्ञ, एंड्रे स्जेमेरीडी ने दो साल पहले ही सिद्ध कर दिया था।

इसके बावजूद, फुरस्टेनबर्ग के पेपर ने गणित पर एक स्थायी छाप छोड़ी। उनके नए तर्क में दूरगामी परिणामों के साथ अंतर्दृष्टि का एक कर्नेल शामिल था: आप समस्याओं को फिर से हल कर सकते हैं जैसे कि ज़ेमेरेडी ने हल किया था, पूर्णांक के सेट के बारे में, अंतरिक्ष में घूमने वाले बिंदुओं के बारे में प्रश्नों में।

इसके बाद के वर्षों में, फुरस्टेनबर्ग की तकनीकों का बार-बार उपयोग किया गया है, और थोड़ा-थोड़ा करके उन्हें समायोजित और बेहतर किया गया है। इस साल की शुरुआत में, वे सुपरचार्ज थे, दो नए पत्रों में दिखाई दे रहे थे जो पूर्णांक के सेट में अनंत पैटर्न को उजागर करते थे - जो कि ज़ेमेरेडी के अब 47-वर्षीय प्रमेय से छलांग और सीमा से आगे बढ़ रहा है।

फुरस्टेनबर्ग का प्रमाण

ज़ेमेरीडी उन सेटों की जांच कर रहा था जिनमें सभी पूर्णांकों का "सकारात्मक अंश" होता है। उदाहरण के लिए, 5 के सभी गुणकों वाले सेट को लें। जैसा कि आप संख्या रेखा के बड़े और बड़े स्वाथों को देखते हैं, 5 के गुणक नियमित रूप से दिखाई देते रहते हैं। गणितज्ञ कहते हैं कि 5 के सभी गुणकों वाले सेट में सभी पूर्णांकों के पांचवें भाग का अंश होता है।

इसके विपरीत, जबकि अभाज्य संख्याएँ अनंत संख्या में होती हैं, वे इतनी दुर्लभ हो जाती हैं क्योंकि संख्याएँ बड़ी हो जाती हैं कि सभी अभाज्य संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांकों का धनात्मक अंश नहीं होता है, या दूसरे शब्दों में कहा जाए, तो धनात्मक घनत्व नहीं होता है . इसके बजाय प्राइम्स को घनत्व शून्य कहा जाता है।

ज़ेमेरीडी तथाकथित अंकगणितीय प्रगति, या समान दूरी वाली संख्याओं की श्रृंखलाओं के उदाहरणों की तलाश में था। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि आपके पास संख्याओं का अनंत क्रम है जैसे कि पूर्ण वर्ग: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}। पूर्ण वर्गों में लंबाई तीन की अंकगणितीय प्रगति होती है जो पहले कई शब्दों में छिपी होती है: {1, 25, 49}। इस क्रम में प्रत्येक संख्या अपने पूर्ववर्ती से 24 अधिक है।

ज़ेमेरीडी ने साबित किया कि पूर्णांकों के एक सकारात्मक अंश वाले किसी भी सेट में मनमाने ढंग से लंबी अंकगणितीय प्रगति होनी चाहिए। नतीजा गणित के उपक्षेत्र में एक मील का पत्थर था जिसे एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स कहा जाता है।

ज़ेमेरेडी का प्रमाण, हालांकि शानदार था, जिसका पालन करना लगभग असंभव था। "आज तक, मुझे लगता है कि शायद केवल तीन या चार लोग हैं जो वास्तव में [ज़ेमेरीडी के] प्रमाण को समझते हैं," कहा टेरेंस ताओ, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स में एक गणितज्ञ।

इसलिए फुरस्टेनबर्ग के अधिक बोधगम्य तर्क का स्वागत किया गया। इसे लिखने के लिए, फुरस्टेनबर्ग ने गणित के अपने क्षेत्र, गतिशील प्रणालियों के तरीकों पर भरोसा किया। एक गतिशील प्रणाली कोई भी प्रक्रिया है जो समय के साथ बदलती है। यह पूल टेबल के चारों ओर लुढ़कती बिलियर्ड बॉल की तरह सरल हो सकता है। आपको केवल अपने सिस्टम का गणितीय रूप से प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका चाहिए, और यह कैसे विकसित होता है इसके लिए एक नियम है। एक गेंद, उदाहरण के लिए, उसकी स्थिति और वेग द्वारा वर्णित किया जा सकता है। शास्त्रीय भौतिकी के नियमों का पालन करते हुए, वह प्रणाली समय के साथ निर्धारित तरीके से आगे बढ़ती है।

फुरस्टेनबर्ग को एर्गोडिक सिद्धांत नामक किसी चीज में सबसे ज्यादा दिलचस्पी थी। किसी भी समय किसी प्रणाली की स्थिति को देखने के बजाय, एर्गोडिक सिद्धांतकार लंबी अवधि में आंकड़ों का अध्ययन करते हैं। एक बिलियर्ड बॉल के लिए, इसका मतलब यह पता लगाना हो सकता है कि क्या गेंद टेबल पर कुछ स्थानों पर दूसरों की तुलना में अधिक समाप्त होती है क्योंकि जिस तरह से यह दीवारों से उछलती है।

फुरस्टेनबर्ग का मुख्य विचार पूर्णांकों के सेट को निश्चित वस्तुओं के रूप में नहीं, बल्कि एक गतिशील प्रणाली में क्षणिक अवस्थाओं के रूप में देखना था। यह परिप्रेक्ष्य में एक छोटे से बदलाव की तरह प्रतीत हो सकता है, लेकिन इसने उन्हें कॉम्बिनेटरिक्स में परिणाम साबित करने के लिए एर्गोडिक सिद्धांत से उपकरण का उपयोग करने की अनुमति दी। उस समय, फुरस्टेनबर्ग को इस बात का अंदाजा नहीं था कि उनके विचार अपना जीवन खुद ही ले लेंगे। "यह बस था, मुझे यह अन्य सबूत पसंद आया," उन्होंने कहा। लेकिन दूसरों ने एर्गोडिक थ्योरी और कॉम्बिनेटरिक्स के बीच संबंध का वादा देखा। ताओ ने कहा, "एर्गोडिक सिद्धांतकारों की एक पूरी पीढ़ी ने कॉम्बिनेटरिक्स में चार्ज करना और इन सभी समस्याओं को हल करना शुरू कर दिया, और इसके विपरीत।"

पिछले कुछ वर्षों में, चार गणितज्ञ - ब्रायना क्रा, जोएल मोरेरा, फ्लोरियन रिक्टर और डोनाल्ड रॉबर्टसन - फुरस्टेनबर्ग की तकनीकों को विकसित किया है, न केवल किसी भी सेट के भीतर पूर्णांकों के सकारात्मक अंश वाले किसी भी सेट के भीतर मनमाने ढंग से लंबी प्रगति को खोजने के लिए, बल्कि संरचनाओं के अनंत संस्करण जिन्हें समसेट कहा जाता है।

“समसेट प्रगति की तुलना में बहुत कम विशिष्ट हैं; वे बहुत कम विशेष दिखते हैं, ”रॉबर्टसन ने कहा। "लेकिन यह अधिक दिलचस्प और अधिक नाजुक है, क्योंकि सारांश अनंत विन्यास हैं, जबकि प्रगति परिमित हैं।"

अगर फुरस्टेनबर्ग ने एर्गोडिक थ्योरी और कॉम्बिनेटरिक्स के बीच एक पुल का निर्माण किया, तो क्रा, मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन ने इसे "छह-लेन राजमार्ग" में बढ़ा दिया, ताओ ने कहा।

B + C अनुमान

ज़ेमेरीडी प्रमेय पहली बार प्रस्तावित किया गया था, लेकिन 1936 में दो गणितज्ञों द्वारा सिद्ध नहीं किया गया था। उनमें से एक हंगेरियन गणितज्ञ थे जो अनुमान लगाने के लिए प्रसिद्ध थे: पॉल एर्डोस। 2016 में, जब मोरेरा ओहियो स्टेट यूनिवर्सिटी में अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध पर काम कर रहे थे, तब उन्होंने ठोकर खाई एक और अनुमान जो एर्डोस ने बनाया था समसेट नामक संरचनाओं के बारे में।

एक समुच्चय दो अन्य समुच्चयों से बनता है; उन्हें बुलाओ B और C. सारांश, के रूप में लिखा B + C, संख्याओं के प्रत्येक संभव युग्म को एक साथ जोड़कर, एक संख्या लेकर बनाया जाता है B और दूसरे से C. Erdős ने अनुमान लगाया कि किसी भी सेट के लिए A जिसमें पूर्णांकों का एक धनात्मक अंश होता है, वहां अन्य अनंत सेट मौजूद होते हैं B और C जिसका सारांश भीतर समाहित है A. पेपर में मोरेरा पढ़ रहा था, लेखकों ने एर्डोस के अनुमान को सिद्ध किया था जब ए में पूर्णांक का एक बड़ा अंश होता है। लेकिन छोटे सकारात्मक घनत्व सेटों के लिए, परिणाम अभी भी अज्ञात था। मोरेरा ने कहा, "जैसे ही मैंने बयान पढ़ा, मुझे लगा कि यह वास्तव में एक अच्छा सवाल है, क्योंकि यह बहुत आसान है।" "यह या तो गलत है, या यह मुश्किल नहीं होना चाहिए। जो बेशक गलत था। यह न तो झूठा था और न ही आसान।”

मोरेरा प्रोजेक्ट पर रिक्टर और रॉबर्टसन को लेकर आए, जो उनके ग्रेजुएट स्कूल के दोस्त थे। रॉबर्टसन, जो अब मैनचेस्टर विश्वविद्यालय में हैं, ने मोरेरा से एक साल पहले स्नातक किया था, और रिक्टर कुछ साल पीछे थे। तीनों कॉम्बिनेटरिक्स के लिए एर्गोडिक सिद्धांत तकनीकों को लागू करने में पारंगत थे। लेकिन इस समस्या ने नई चुनौतियां खड़ी कर दीं।

"सकारात्मक घनत्व के एक सेट के अंदर अनंत समसेट खोजने के लिए वास्तव में कोई मिसाल नहीं थी," कहा डेनियल ग्लासकॉक, मैसाचुसेट्स विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ, लोवेल जिन्होंने मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन के साथ स्नातक विद्यालय में भाग लिया।

शायद इसी वजह से समसेट प्रॉब्लम को सुलझाना मुश्किल साबित हुआ। मोरेरा ने कहा, "हमें एक तरह से मजबूर करना होगा, थोड़ा सा, एर्गोडिक सिद्धांत के माध्यम से।" उनके प्रयासों ने अंततः भुगतान किया, और किस रूप में मार्सिन साबोक मैकगिल विश्वविद्यालय के एक "आश्चर्यजनक उपलब्धि" कहा जाता है, वे 2018 में एर्डोस के अनुमान को साबित करने में सफल रहे। उनका सबूत बाद में था में प्रकाशित गणित के इतिहास, गणित की सबसे प्रतिष्ठित पत्रिकाओं में से एक।

नए सबूत

उस पेपर ने दो बड़े सवाल छोड़े। इनमें से एक एर्डोस का एक और सारांश अनुमान था जिसे 'द' कहा जाता है B + B + t अनुमान।

मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन भी अपने स्वयं के एक प्रश्न के साथ आए थे: यदि आपके पास धनात्मक-घनत्व सेट है A, क्या आप तीन अनंत समुच्चय खोज सकते हैं — B, C और अब डी - जहां B + C + D क्या अंदर है A? चार अनंत समुच्चयों के बारे में क्या? पाँच?

बहु-सेट संस्करण प्रस्तुत करने के बाद, गणितज्ञ कुछ समय के लिए अटक गए। ऐसा लग रहा था कि दो-सेट अनुमान के लिए उन्होंने जिन तकनीकों का इस्तेमाल किया था, वे अपनी सीमा तक पहुँच चुकी थीं।

"हम इस समस्या का एक गतिशील सुधार नहीं खोज सके," रिक्टर ने कहा। उनका दृष्टिकोण, उन्होंने कहा, "शुरुआत में ही विफल हो गया।"

वास्तविक प्रगति देखने से पहले दो साल बीत गए। इस समय तक, रिक्टर नॉर्थवेस्टर्न यूनिवर्सिटी में पोस्टडॉक्टोरल फेलो थे, जहां ब्रायना क्रा प्रोफेसर थे। 2020 में, कोविड -19 महामारी द्वारा व्यक्तिगत रूप से मिलने से रोका गया, क्रा और रिक्टर ने खुद को जूम पर समसेट समस्या पर चर्चा करते हुए पाया।

"आखिरकार, हम कुछ अन्य विविधताओं के साथ आए जिन्हें हमने समझा," क्रा ने कहा।

क्रा और रिक्टर ने हर हफ्ते मोरेरा और रॉबर्टसन से बात करना शुरू किया, 2018 के सबूत की दोबारा जांच की।

क्रा ने कहा, "हमें जो करना था, वह सबूत के हर चरण पर पुनर्विचार करना था, जो उस अनुवाद से एक गतिशील प्रणाली में शुरू हुआ था।"

उनके कारण के लिए मददगार एक 2019 था काग़ज़ नाम के एक फ्रांसीसी गणितज्ञ द्वारा बर्नार्ड होस्ट. होस्ट ने मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन के परिणाम को फिर से साबित कर दिया था और यह पता लगा लिया था कि एर्गोडिक सिद्धांत को कैसे गाया जाए। मोरिरा की राय में, होस्ट ने "देखा कि कैसे अपने प्रूफ़ को उस तरह से लिखना है जिस तरह से इसे लिखा जाना चाहिए था।"

होस्ट के हाथ में सुधार के साथ, क्रा, मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन ने सबसे सरल, सबसे सुरुचिपूर्ण तर्क निकालने की कोशिश करते हुए अपने प्रमाण को बदलना जारी रखा। "हम बस इसे विच्छेदित कर रहे थे, मुझे लगता है, बार-बार, वास्तव में देखने के लिए: इस मुद्दे की जड़ क्या है?" रिक्टर ने कहा। "अंत में, हमारे पास एक प्रमाण था जो प्रारंभिक प्रमाण के साथ बहुत कम समानता रखता था।"

जिस प्रमाण के साथ वे समाप्त हुए, फुरस्टेनबर्ग की तरह, एक गतिशील प्रणाली में समय टिकटों के रूप में पूर्णांकों के अनंत सेटों को देखा। हालांकि, इस गतिशील प्रणाली को अंतरिक्ष में चारों ओर कूदने वाले बिंदुओं के रूप में बेहतर माना जाता है।

यह कैसे काम करता है इसकी एक कच्ची तस्वीर यहां दी गई है: एक बंद कमरे के एक कोने में खड़े होकर शुरू करें, इसे कॉर्नर 0 कहें। आप समय की सूची से लैस हैं A. वह सेट, A, पूर्णांकों का धनात्मक-घनत्व समुच्चय है।

आप कमरे में इधर-उधर घूमने के लिए भी एक नियम से सुसज्जित हैं। हर सेकंड, आप एक नए स्थान पर जाते हैं, इस आधार पर कि आप अभी कहाँ खड़े थे। आपके द्वारा पालन किए जाने वाले सटीक नियम को आपके समय के सेट से मिलान करने के लिए डिज़ाइन किया जाएगा A - जब भी टाइम स्टैम्प हो A, आप स्वयं को कमरे के एक विशेष क्षेत्र में पाएंगे।

उदाहरण के लिए कहते हैं A 4 से विभाज्य सभी संख्याएँ शामिल हैं, और हर सेकंड, आप कमरे के अगले कोने में दक्षिणावर्त चलते हैं। एक सेकंड के बाद, आप 1 कोने में चले जाते हैं; दो सेकंड के बाद, कोना 2, और इसी तरह आगे। फिर, हर चार कदम - मतलब हर बार जो अंदर है ए - आप मूल कोना 0 पर वापस आ गए होंगे।

यह प्रक्रिया सदा चलती रहती है। दक्षिणावर्त वृत्त में एक कोने से दूसरे कोने तक यात्रा करते हुए, आप प्रत्येक कोने में अनंत बार जाएंगे। एक बिंदु जो आप अनंत बार के करीब पहुंचते हैं उसे संचय बिंदु कहा जाता है।

क्रा, मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन ने साबित कर दिया कि आप चतुराई से इनमें से किसी एक स्पॉट को चुनकर अपना योग खोज सकते हैं B + C. कोने के उदाहरण में, कॉर्नर 1 लें। आप वहां 1, 5, 9 और 13 बार पहुंचते हैं — बार जो 4 जैसा दिखता हैn + 1 किसी पूर्णांक के लिए n। चलो B उस समय का सेट हो।

अब कल्पना करें कि कोने 0 से शुरू करने के बजाय, आप कोने 1 से शुरू करते हैं। इसका मतलब है कि कई बार 4 से विभाज्य होने पर, आप अपने आप को कोने 1 पर वापस पाएंगे, और आप तीन कदम बाद कोने 0 पर पहुंचेंगे: कई बार 3, 7, 11 या 4 के रूप की कोई भी संख्याn + 3. उस समय के सेट को कॉल करें C.

अब, अपनी प्रक्रिया को फिर से Corner 0 से शुरू करें। इस बार, देखें कि यदि आप एक नंबर लेते हैं तो क्या होता है B और से एक संख्या C - कहते हैं, 13 से B और 3 से सी - और उन्हें जोड़ें।

इसमें 13 + 3 = 16 सेकंड का समय लगेगा। चूँकि 16, 4 का गुणज है, यह अंदर है A. लेकिन आप यह भी अनुमान लगा सकते हैं कि 13 + 3 4 से विभाज्य होगा, और इस तरह से A, वास्तव में 13 और 3 को एक साथ जोड़े बिना। जब आप 13 + 3 सेकंड प्रतीक्षा करते हैं तो डायनेमिक सिस्टम में जो होता है उसका पालन करें: पहले, 13 सेकंड बीत जाते हैं। उस बिंदु पर, आप स्वयं को कोने 1 में पाते हैं। फिर, कोने 1 से शुरू करके, आप तीन और कदम चलते हैं, जो आपको वापस कोने 0 पर ले जाता है। चार सेकंड का गुणक, जिसका अर्थ है कि समय की कुल राशि मूल सेट में एक संख्या थी A.

इस तर्क को काम करने के लिए, समूह को कई जटिल गणितीय विवरणों से निपटना पड़ा। उदाहरण के लिए, ज्यादातर मामलों में आपके पास स्थानांतरित करने के लिए अनंत संख्या में स्थान उपलब्ध होते हैं, न कि केवल चार कोनों पर। इसका मतलब है कि आप वास्तव में एक स्थान पर अनंत बार नहीं लौटेंगे; आप अनंत बार ही इसके करीब पहुंचेंगे। इसने तर्क में नई गणितीय जटिलताओं को पेश किया। लेकिन एक बार जब उन्हें पता चल गया कि प्रक्रिया कैसे काम करेगी, तो वे जान गए कि वे उन कठिन सवालों से निपटने में सक्षम होंगे जो वे बाद में थे।

स्विस फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी लॉज़ेन में रिक्टर ने कहा, "हम यहां इस सबूत के साथ आए, और यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि इसे कैसे सामान्यीकृत किया जाए।" अनुमान के बहु-सेट संस्करण को साबित करने के लिए, उदाहरण के लिए, शोधकर्ता पथ में केवल एक संचय बिंदु जोड़ सकते हैं। समग्र तर्क वही था, केवल जटिलता की एक नई परत के साथ।

सभी तकनीकीताओं को टटोलना आसान नहीं था। जब वे अपने गतिशील सेटअप पर बस गए, तो अधिक कठिन अनुमानों के प्रमाणों पर काम करने के लिए क्रा, मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन को एक वर्ष से अधिक का समय लगा। इस साल जून में, समूह ने आखिरकार दो पेपर पोस्ट किए। एक साबित हुआ समसेट अनुमान का बहु-सेट संस्करण। अन्य सिद्ध किया B + B + t अनुमान का संस्करण, जिसके लिए दूसरे सेट की आवश्यकता होती है C पहले सेट के बराबर हो B, कुछ स्थिर द्वारा स्थानांतरित, t.

अगला चरण

हालांकि जून के पेपर समसेट्स के बारे में दो सवालों को हल करते हैं, क्रा, मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन अपने शोध के लिए एक लंबे भविष्य की कल्पना करते हैं। मोरेरा ने कहा, "जैसा कि एर्डोस ने जो कुछ भी पूछा है, वह चाहता है कि हम अपना पैर दरवाजे पर रखें।" "लेकिन अब हमें दरवाजा खोलने और यह पता लगाने की जरूरत है कि वहां और क्या है।"

अपने नए पत्रों में, चार गणितज्ञों ने अभी तक अनुत्तरित प्रश्नों के रूप में अन्वेषण की कई संभावित दिशाएँ निर्धारित की हैं। एक इस तथ्य पर निर्भर करता है कि, हालांकि कोई सकारात्मक-घनत्व सेट है A एक अनंत सारांश शामिल है B + C, यह आवश्यक नहीं है कि इसमें दो घटक हों B और C. आप उस पर कब जोर दे सकते हैं B और C के अंदर भी होना चाहिए A? लेखक गणितज्ञों को यह पता लगाने के लिए भी चुनौती देते हैं कि क्या वे अनंत सेटों का एक अनंत क्रम खोज सकते हैं जिनके योग समाहित हैं A.

मैकगिल विश्वविद्यालय में सबोक के स्नातक छात्र मैट बोवेन द्वारा क्षेत्र में एक और खुले प्रश्न का उत्तर पहले ही दिया जा चुका है। अक्टूबर में, वह तैनात एक सबूत है कि यदि आप प्रत्येक पूर्णांक को कुछ रंगों में से एक निर्दिष्ट करते हैं, तो आप एक समसेट प्राप्त कर सकते हैं बी + सी और सेट का एक उत्पाद BC रंगों में से केवल एक के भीतर।

क्रा, मोरेरा, रिक्टर और रॉबर्टसन का नया काम कहां ले जाएगा यह अभी भी अज्ञात है। लेकिन ताओ, कम से कम, समूह द्वारा विकसित की गई नई तकनीकों के बारे में आशावादी है। उन्होंने कहा कि वे अपने तरीकों से जो हासिल करते हैं वह "वास्तव में काफी आश्चर्यजनक" है। "ऐसे अन्य प्रश्न हैं जिनमें अनंत सेट शामिल हैं जिन्हें पहले निराशाजनक माना जाता था, अब पहुंच के भीतर।"