गणितीय तिकड़ी सदियों पुरानी संख्या सिद्धांत समस्या को आगे बढ़ाती है

इस साल की शुरुआत में, गणितज्ञों की तिकड़ी ने नींबू पानी में नींबू बनाने का फैसला किया - और बनाना समाप्त कर दिया प्रमुख प्रगति एक ऐसी समस्या पर जिसके बारे में गणितज्ञ सदियों से सोचते आ रहे हैं।

वे तीनों बस एक परियोजना को पूरा कर रहे थे और अगले चरणों के बारे में सोच रहे थे, जब मार्च के अंत में उनमें से दो - लेवेंट एल्पोगे हार्वर्ड विश्वविद्यालय के और अरी श्निडमैन यरुशलम के हिब्रू विश्वविद्यालय के - अलग से लेकिन लगभग एक साथ कोविड -19 अनुबंधित। बहुत से लोग ऐसी परिस्थितियों में एक ब्रेक लेंगे, लेकिन टीम का तीसरा सदस्य, मंजुल भार्गव प्रिंसटन विश्वविद्यालय के विपरीत प्रस्तावित किया। उन्होंने सुझाव दिया कि सप्ताह में तीन या चार बार अपनी साप्ताहिक ज़ूम मीटिंग्स को रैंप करते हुए, अपने बीमार सहयोगियों को उनके लक्षणों से विचलित कर सकते हैं। संगरोध, तीनों ने फैसला किया, अबाधित सोचने का अवसर हो सकता है।

इन बैठकों के दौरान, उन्होंने संख्या सिद्धांत में सबसे पुराने प्रश्नों में से एक पर विचार किया: कितने पूर्णांक दो घन भिन्नों के योग के रूप में लिखे जा सकते हैं, या जैसा कि गणितज्ञ उन्हें परिमेय संख्या कहते हैं? संख्या 6, उदाहरण के लिए, (17/21) के रूप में लिखा जा सकता है³ +(37/21)³, जबकि 13 = (7/3)³+(2/3)³.

गणितज्ञों को दशकों से संदेह है कि सभी पूर्णांकों का आधा इस तरह लिखा जा सकता है। विषम और सम संख्याओं की तरह ही, यह गुण पूर्ण संख्याओं को दो समान शिविरों में विभाजित करता प्रतीत होता है: वे जो दो घनों का योग हैं, और वे जो नहीं हैं।

लेकिन कोई भी इसे साबित करने में सक्षम नहीं था, या यहां तक ​​कि प्रत्येक शिविर में आने वाली पूर्ण संख्याओं के अनुपात पर कोई बाध्यता भी नहीं दे सका। जहां तक ​​​​गणितज्ञों को पता था, परिमेय घनों के योगों वाला शिविर गायब रूप से छोटा हो सकता है - या इसमें लगभग हर पूर्ण संख्या शामिल हो सकती है। गणितज्ञों गणना की है कि, यदि बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान नाम की कोई चीज़ सत्य है (जैसा कि व्यापक रूप से माना जाता है), तो 59 मिलियन तक की संख्याओं का लगभग 10% दो परिमेय घनों का योग होता है। लेकिन इस तरह के डेटा, अधिक से अधिक इस बारे में संकेत दे सकते हैं कि शेष संख्या रेखा कैसे व्यवहार कर सकती है।

विषम और सम संख्याओं के विपरीत, "ये दो शिविर सूक्ष्म हैं," कहा बैरी मजूर हार्वर्ड का। यह निर्धारित करने के लिए कोई परीक्षण नहीं है कि कौन से नंबर किस शिविर में हैं जो सभी नंबरों के लिए काम करने के लिए जाने जाते हैं। गणितज्ञ ऐसे परीक्षण लेकर आए हैं जो मजबूत उम्मीदवार हैं, लेकिन अभी के लिए प्रत्येक में कुछ कमियां हैं - या तो गणितज्ञ यह साबित नहीं कर सकते कि परीक्षण हमेशा एक निष्कर्ष पर पहुंचेगा, या वे यह साबित नहीं कर सकते कि निष्कर्ष सही है।

भार्गव ने कहा, "क्यूब्स और क्यूबिक इक्वेशन के योग को समझने में कठिनाई" संख्या सिद्धांतकारों के लिए एक बार-बार होने वाली शर्मिंदगी रही है। वह फील्ड मेडल जीता 2014 में भाग के लिए तर्कसंगत समाधान पर उनका काम अण्डाकार वक्रों के रूप में ज्ञात घन समीकरणों के लिए, जिनमें से दो घनों का योग एक विशेष मामला है।

अब, में एक पेपर अक्टूबर के अंत में ऑनलाइन पोस्ट किए गए, एल्पोगे, भार्गव और श्निडमैन ने दिखाया है कि पूर्ण संख्याओं का कम से कम 2/21 (लगभग 9.5%) और अधिक से अधिक 5/6 (लगभग 83%) दो घन भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

घनों के योग का प्रश्न केवल एक जिज्ञासा नहीं है। अंडाकार वक्रों में एक समृद्ध जटिल संरचना होती है जो उन्हें शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित दोनों के कई क्षेत्रों के केंद्र में ले जाती है, विशेष रूप से क्रिप्टोग्राफरों को शक्तिशाली सिफर बनाने में सक्षम बनाती है। बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान, क्षेत्र में केंद्रीय प्रश्न, क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट के मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक के रूप में $1 मिलियन का इनाम है।

भार्गव ने पिछले 20 वर्षों में सहयोगियों के साथ विकसित किए गए उपकरणों के एक सेट पर नया काम बनाया है। पूरे परिवार का अन्वेषण करें अण्डाकार वक्रों का। दो घनों के योग को समझने का अर्थ है एक बहुत छोटे परिवार का विश्लेषण करना, और "जितना छोटा परिवार, उतनी ही कठिन समस्या," ने कहा पीटर सरनक प्रिंसटन में उन्नत अध्ययन संस्थान के।

सरनाक ने कहा, यह विशेष परिवार "पहुंच से बाहर" लग रहा था। "मैंने कहा होगा, 'यह बहुत कठिन लग रहा है, बहुत कठिन है।'"

एक चरण संक्रमण

घन अंशों के योग के विपरीत, जो बहुतायत से प्रतीत होते हैं, शायद ही कोई पूर्णांक दो वर्ग भिन्नों का योग होता है। 1600 के दशक की शुरुआत में, गणितज्ञ अल्बर्ट गिरार्ड और पियरे डी फ़र्मेट ने यह निर्धारित करने के लिए एक सरल परीक्षण किया था कि कौन सी पूर्ण संख्याएँ दो वर्गों का योग हैं: अपनी संख्या को अभाज्य संख्याओं में विभाजित करें, फिर प्रत्येक अभाज्य के घातांक की जाँच करें जिसमें 3 का शेष हो। जब आप इसे 4 से विभाजित करते हैं। यदि वे सभी घातांक सम हैं, तो आपकी संख्या दो वर्गों के भिन्नों का योग है; अन्यथा, यह नहीं है। उदाहरण के लिए, 490 कारक 2 में¹ × 5¹ × 7². इन कारकों में से केवल एक जिसमें शेष 3 है जब आप 4 से विभाजित करते हैं तो 7 है, और 7 में एक समान घातांक है। इसलिए, 490 दो वर्गों का योग है (उत्सुक के लिए, यह 7 के बराबर है² + 21²).

अधिकांश संख्याएँ सम-घातांक परीक्षण में विफल हो जाती हैं। यदि आप यादृच्छिक रूप से एक पूर्ण संख्या चुनते हैं, तो संभावना है कि यह दो वर्ग भिन्नों का योग अनिवार्य रूप से शून्य है। गणितज्ञ मानते हैं कि चौथी शक्ति, या पाँचवीं शक्ति, या तीन से अधिक किसी भी शक्ति तक बढ़ाए गए दो अंशों के योग के लिए भी यही सच है। यह केवल घनों के योग के साथ ही है कि अचानक बहुतायत हो जाती है।

गणितज्ञ अन्य सभी शक्तियों के क्यूबिक समीकरणों से अलग व्यवहार करने के आदी हैं। दो चरों (जैसे दो-क्यूब्स समीकरणों का योग) से बने समीकरणों के बीच, जिन समीकरणों का उच्चतम घातांक 1 या 2 है, उन्हें अच्छी तरह से समझा जाता है - आमतौर पर उनके पास या तो कोई तर्कसंगत समाधान नहीं होता है या असीम रूप से कई होते हैं, और यह आम तौर पर सीधा होता है बताओ कौन सा इस बीच, जिन समीकरणों का उच्चतम प्रतिपादक 4 या उच्चतर है, वे आम तौर पर होते हैं केवल एक सीमित छिड़काव तर्कसंगत समाधानों की।

इसके विपरीत, घन समीकरणों के सूक्ष्म रूप से अनेक हल हो सकते हैं, अपरिमित रूप से अनेक या कोई भी नहीं। ये समीकरण 3 से नीचे के घातांकों और ऊपर वाले के बीच एक प्रकार के चरण संक्रमण का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो ऐसी घटनाओं को प्रदर्शित करते हैं जो इन अन्य सेटिंग्स में कभी नहीं देखी जाती हैं। "क्यूब्स हर मामले में अलग हैं," मजूर ने कहा।

निचले घातांक वाले समीकरणों के विपरीत, घनों की थाह लेना आश्चर्यजनक रूप से कठिन है। क्यूबिक्स के तर्कसंगत समाधानों को खोजने या यहां तक ​​कि गिनने के लिए कोई व्यापक तरीका नहीं है जो हमेशा काम करने के लिए सिद्ध हो।

"यहां तक ​​​​कि हमारे पास सभी कंप्यूटिंग शक्ति के साथ, यदि आप मुझे बहुत बड़े गुणांक के साथ एक अण्डाकार वक्र देते हैं, तो मुझे जरूरी नहीं पता कि इसमें कितने तर्कसंगत समाधान हैं," कहा वी होभार्गव के पूर्व छात्र रहे हैं वर्तमान में विजिटिंग प्रोफेसर हैं उन्नत अध्ययन संस्थान में।

दो-घन समस्या के योग में, शामिल अंश बहुत अधिक हो सकते हैं: संख्या 2,803, उदाहरण के लिए, दो घन भिन्नों का योग है जिनके हर में 40 अंक हैं। भार्गव ने कहा, और एक बार जब हम लाखों में संख्याओं को देख रहे हैं, तो कई अंशों में "इस दुनिया के सभी कागजों पर फिट होने की तुलना में अधिक अंक शामिल होंगे।"

मैपिंग मैट्रिसेस

क्योंकि अण्डाकार वक्र इतने असंयमित होते हैं, संख्या सिद्धांतकार उन्हें अधिक सुगम वस्तुओं के साथ जोड़ने के तरीकों की तलाश करते हैं। इस अप्रैल में, जब एल्पोज और श्निडमैन कोविड से लड़ रहे थे, उन्होंने और भार्गव ने उस काम को आगे बढ़ाया जो बाद वाले ने पहले हो के साथ किया था और यह पता लगाया कि जब भी क्यूब के योग के समीकरण का तर्कसंगत समाधान होता है, तो कम से कम एक विशेष 2 बनाने का एक तरीका होता है × 2 × 2 × 2 मैट्रिक्स - अधिक परिचित द्वि-आयामी मैट्रिक्स का चार-आयामी एनालॉग। "हमने इन 2 × 2 × 2 × 2 आव्यूहों को गिनने की योजना बनाना शुरू किया," तीनों ने लिखा।

ऐसा करने के लिए, टीम ने दो शास्त्रीय विषयों पर काम किया, जिनमें से प्रत्येक का अध्ययन एक सदी से भी अधिक समय से किया जा रहा है। एक "संख्याओं की ज्यामिति" है, जिसमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के अंदर जाली बिंदुओं की गणना कैसे की जाती है। भार्गव और सहयोगियों के काम के बड़े हिस्से के कारण, यह विषय पिछले 20 वर्षों में अण्डाकार वक्रों के क्षेत्र में पुनर्जागरण का आनंद ले रहा है।

दूसरी तकनीक, जिसे सर्कल विधि के रूप में जाना जाता है, की शुरुआत 20वीं सदी की शुरुआत में महान भारतीय गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन और उनके लंबे समय से सहयोगी रहे जीएच हार्डी के काम से हुई थी। हो ने कहा, "इन ज्यामिति-की-संख्या तकनीकों के साथ सर्कल पद्धति के संयोजन का यह पहला प्रमुख अनुप्रयोग है।" "वह हिस्सा बहुत अच्छा है।"

इन विधियों का उपयोग करके, तीनों यह दिखाने में सक्षम थे कि सभी पूर्ण संख्याओं के कम से कम 1/6 के लिए, कोई 2 × 2 × 2 × 2 मैट्रिक्स मौजूद नहीं है। इसका अर्थ है कि उन संख्याओं के लिए, घन-के-योग समीकरण का कोई परिमेय समाधान नहीं है। अतः पूर्णांकों का 5/6 से अधिक या लगभग 83%, दो भिन्नों के घनों का योग नहीं हो सकता है।

विपरीत दिशा में, उन्होंने पाया कि सभी पूर्ण संख्याओं में से कम से कम 5/12 में ठीक एक मेल खाने वाला मैट्रिक्स है। यह निष्कर्ष निकालने का मन करता है कि ये संख्याएं दो घनों का योग हैं, लेकिन यह अपने आप नहीं आता है। प्रत्येक संख्या जो दो घनों का योग है, में एक आव्यूह होता है, लेकिन इसका यह अर्थ नहीं है कि इसका विलोम सत्य है: कि आव्यूह वाली प्रत्येक संख्या दो घनों का योग होती है।

Alpöge, Bhargava और Shnidman को दीर्घवृत्तीय वक्र शोधकर्ताओं की जरूरत है जो एक विपरीत प्रमेय कहते हैं - कुछ ऐसा जो एक घन समीकरण के बारे में जानकारी लेता है और इसका उपयोग तर्कसंगत समाधान बनाने के लिए करता है। उलटा प्रमेय अण्डाकार वक्रों के सिद्धांत के एक समृद्ध उपक्षेत्र का निर्माण करता है, इसलिए तिकड़ी ने उपक्षेत्र के दो विशेषज्ञ चिकित्सकों की ओर रुख किया - अशाय बुरुंगले टेक्सास विश्वविद्यालय, ऑस्टिन और प्रिंसटन के। बुरुंगले और स्किनर यह दिखाने में सक्षम थे कि, कम से कम कुछ समय में, यदि किसी पूर्ण संख्या में एक एकल संबद्ध मैट्रिक्स होता है, तो वह संख्या दो तर्कसंगत घनों का योग होनी चाहिए। उनका प्रमेय, जो अनिवार्य रूप से बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान का एक प्रासंगिक हिस्सा साबित करता है, पेपर में तीन पेज के परिशिष्ट के रूप में दिखाई देता है, जिसे सरनाक अपने आप में अद्भुत बताते हैं।

बुरुंगले और स्किनर ने बिल्कुल एक मैट्रिक्स के साथ प्रत्येक पूर्ण संख्या के लिए अपने प्रमेय को सिद्ध नहीं किया - उन्हें एक तकनीकी स्थिति लागू करनी पड़ी जिसने 5/12 उपसमुच्चय को घटाकर 2/21, या लगभग 9.5% कर दिया, सभी पूर्ण संख्याओं का। लेकिन भार्गव आशावादी हैं कि बुरुंगले और स्किनर, या उनके क्षेत्र के अन्य शोधकर्ता बहुत लंबे समय से पहले बाकी 5/12 (लगभग 41%) तक पहुंच जाएंगे। भार्गव ने कहा, "उनकी तकनीक लगातार मजबूत हो रही है।"

पूर्ण अनुमान को साबित करना - कि सभी पूर्णांकों का ठीक आधा दो घनों का योग है - अंततः उन संख्याओं के सेट से निपटने की आवश्यकता होगी जिनमें एक से अधिक संबद्ध मैट्रिक्स हैं। यह सेट, जिसे भार्गव "बहुत धुंधला" कहते हैं, में दोनों संख्याएँ शामिल हैं जो दो घनों का योग हैं और जो नहीं हैं। उन्होंने कहा कि इस तरह के नंबरों को संभालने के लिए पूरी तरह से नए विचारों की आवश्यकता होगी।

अभी के लिए, शोधकर्ताओं ने अंततः पूरी संख्या के पर्याप्त अनुपात के लिए प्रश्न सुलझा लिया है, और सबूत में तकनीकों की जांच करने के लिए उत्सुक हैं। "यह उन खूबसूरत चीजों में से एक है: आप परिणाम को बहुत आसानी से समझा सकते हैं, लेकिन उपकरण संख्या सिद्धांत के अत्याधुनिक हैं," सरनाक ने कहा।