"यह मेरे लिए एक बड़ा आश्चर्य था कि यह सच हो गया," सेमूर ने कहा। "इसके सही होने का कोई कारण प्रतीत नहीं हुआ।"
परिणाम के लिए आ रहा है
उनके अप्रत्याशित परिणाम तक पहुंचने के लिए, टीम पर भरोसा किया क्लासिक तकनीक विरोधाभास द्वारा "सबूत" उन्होंने मान लिया कि अनुमान के प्रतिरूप है - एक ग्राफ जिसमें कहीं भी पांच-चक्र नहीं है, लेकिन एर्दो-हज़नल की अवहेलना में पर्याप्त रूप से बड़े गुच्छे या स्थिर सेट नहीं हैं। "हम तो इसके बारे में इतनी सारी चीजें साबित करने की कोशिश करते हैं कि यह संभवतः मौजूद नहीं हो सकता है," सेमोर ने कहा। और अगर प्रतिरूप मौजूद नहीं हो सकता है, तो इसका मतलब है कि अनुमान सही होना चाहिए था।
बेशक, वास्तविक तर्क अधिक शामिल है। स्पार्कल ने कहा कि टीम को किसी भी प्रतिरूप में दिलचस्पी नहीं थी - उन्होंने सबसे छोटे संभव एक की मांग की, जो ग्राफ सिद्धांत में एक आम रणनीति है। गणितज्ञों को अक्सर काम करने के लिए न्यूनतम काउंटरटेक्सम आसान लगते हैं क्योंकि वे ग्राफ़ के उन हिस्सों पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं जो हाथ में समस्या के लिए प्रासंगिक हैं और बाकी को अस्थायी रूप से अनदेखा करते हैं।
स्पिरकल ने कहा, "सबसे छोटे काउंटरएक्सप्लिमेंट के पास ऐसी संपत्ति है कि अगर मैं किसी एक शीर्ष को हटाता हूं, तो यह अचानक काउंटरटेम्पल नहीं है।" शेष ग्राफ, जिसे घटा दिया गया है n सेवा मेरे n - 1 कोने, अब एक गुच्छेदार या स्थिर सेट है जो इतना बड़ा है कि यह अब प्रतिधारण के रूप में योग्य नहीं है।
पांच चक्र का प्रमाण भी बना एक 2020 पपr Pach और István Tomon से, जिन्होंने एक ग्राफ़ में "कॉम्ब्स" नामक कुछ संरचनाओं को खोजने के लिए एक विधि प्रस्तुत की।
इन कंघियों को देखने में क्या लगता है, इसका अंदाजा लगाने के लिए, एक ऐसे ग्राफ की कल्पना करें, जिसमें ऊपर की ओर इशारा करते हुए दांतों के साथ एक साधारण, चौड़े दांतों वाली कंघी जैसी हो। चलो यह भी मानते हैं कि कंघी के ऊपर सीधे एक शीर्ष है, किनारों के साथ जो इसे सभी दांतों की युक्तियों से जोड़ते हैं। जिस वस्तु का हमने अभी वर्णन किया है वह गणितीय अर्थों में एक कंघी के समान है: वहाँ, प्रत्येक दाँत के आधार पर, एक कोने में एक कड़ा होता है, जिसके बीच में किनारे हो सकते हैं।
यदि हम इस तरह के दो कोने के बीच किनारे पर अधिक बारीकी से देखते हैं, तो हम उस आधार से दो समानांतर दांतों के माध्यम से एक पथ का अनुसरण कर सकते हैं (प्रत्येक एक बढ़त का गठन)। वहां से, हम अलग-अलग किनारों के माध्यम से कंघी के ऊपर एकल शीर्ष पर दांतों की युक्तियों को जोड़ते हैं, और जिस आकृति को हमने अभी पता लगाया है वह वास्तव में पांच-तरफा बहुभुज है।
अपने नए पेपर में, चुडनोव्स्की और उनके सहयोगियों ने पच और टोमन की विधि को परिष्कृत करने के लिए यह दिखाने के लिए कि हर छोटी से छोटी प्रतिधारण में, कहीं न कहीं, एक बड़ी कंघी है। तात्पर्य यह है कि इसका पांच चक्र होना चाहिए - एक चीज जो इसे नहीं माना जाता है। और हां, इसका मतलब यह है कि यह एक प्रतिरूप नहीं है। यह दिखाते हुए कि अनुमान के कोई प्रतिवाद नहीं पाया जा सकता है, चार सहयोगियों ने साबित किया कि इस मामले में अनुमान सही होना चाहिए।
शिखर सम्मेलन का मार्ग?
अब जब पांच-चक्र के प्रश्न का उत्तर दिया जाता है, तो क्या यह पूर्ण अनुमान के प्रमाण के रूप में हो सकता है, जैसा कि एर्दो और हाजी ने प्रत्याशित किया था? "एक लंबे समय के लिए, पांच-चक्र सामान्य प्रश्न के समान कठिन लग रहा था," सेमोर ने कहा। “उम्मीद यह थी कि अगर हम ऐसा कर सकते हैं, तो हम सामान्य सवाल कर सकते हैं। लेकिन उस उम्मीद में थोड़ी फजीहत हुई है। ”
"यह सबूत लगभग हमें वहाँ नहीं लाता है," स्पिरकल ने कबूल किया। "फिलहाल ऐसा लगता है कि हमें कुछ महत्वपूर्ण नए विचारों की आवश्यकता होगी।" लेकिन आशा है, उसने कहा। "यह चरणों की एक लंबी श्रृंखला के पहले हो सकता है।"
ग्राहम ने कहा, "पांच चक्र के मामले को सुलझाने से अधिक लोगों को लगता है कि सामान्य अनुमान सही होना चाहिए।" "हालांकि किसी ने भी इसे साबित करने का कोई तरीका नहीं पाया है, लेकिन इस तरह की सफलता से इस शब्द को फैलाने में मदद मिलती है।"
यहां तक कि अपने दम पर, प्रमाण को अभी भी एक बड़ी उपलब्धि माना जाता है - एक दशक से अधिक समय में इस अनुमान के संबंध में सबसे बड़ा विकास, और एक जिसका परिणाम केवल पांच-चक्र के मामले तक सीमित नहीं है। ", इस समस्या को हल करने के लिए उन्हें जिन तकनीकों को विकसित करने के लिए मजबूर किया गया था, उन्हें अन्य समस्याओं पर लागू किया जा सकता है," च्वातल ने कहा, "जो हम गणित में प्रगति करते हैं।"
चार सह-लेखकों ने पहले ही इस प्रक्रिया को शुरू कर दिया है, जो एक ही पेपर में साबित करता है कि एर्ड्स-हज़नल अनुमान अन्य विशेष मामलों के लिए है, जिसमें "टोपी" के साथ तथाकथित पांच-चक्र शामिल हैं - एक अतिरिक्त किनारे वाला छह-चक्र शीर्ष पर एक त्रिकोण (या टोपी) के साथ एक पंचकोण बनाते हुए, दो कोने जुड़ते हैं।
