समरूपता जो गणित के समीकरणों को हल करना आसान बनाती है

"पॉप गोज़ द वीज़ल" की धुन के बारे में सोचें। अब ये गीत गाएँ:

नकारात्मक b, फायदा या नुकसान
का वर्गमूल b वर्ग
मील-नुस चार a c
सभी! दो से अधिक a

इस जिंगल ने बीजगणित के छात्रों की पीढ़ियों को द्विघात सूत्र को याद करने में मदद की है जो $latex ax^2+bx+c=0$ के रूप के हर समीकरण को हल करता है। यह सूत्र उतना ही उपयोगी है जितना कि शब्दकोश में "गणित की चिंता" के अंतर्गत दिखाई देने की संभावना है, और एक त्वरित नज़र आपको दिखाता है कि क्यों:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}{2a}$$

यह देखने में जितना डरावना लगता है, इसके अंदर छिपा एक सरल रहस्य है जो हर द्विघात समीकरण को हल करना आसान बनाता है: समरूपता। आइए देखें कि समरूपता द्विघात सूत्र को कैसे काम करती है और समरूपता की कमी कैसे घन समीकरणों ($latex ax^3+bx^2+cx+d =0$ के रूप में) को हल करना बहुत कठिन बना देती है। वास्तव में, यह इतना कठिन है कि 1500 के दशक में कुछ गणितज्ञों ने अपना जीवन कड़वे सार्वजनिक झगड़ों में उलझा कर बिताया, जो क्यूबिक्स के लिए करने की होड़ में थे, जो कि क्वाड्रैटिक्स के लिए इतनी आसानी से किया जा सकता था।

गणित की कक्षा में समीकरणों को हल करना एक मुख्य कौशल है - यह हमें अधिकतम लाभ, न्यूनतम दूरी, प्रतिच्छेदन बिंदु और बहुत कुछ खोजने में मदद करता है। सबसे बुनियादी समीकरणों में से एक जिसे हम हल करना सीखते हैं वह $latex f(x)=0$ है। एक फ़ंक्शन $latex f(x)$ को देखते हुए, यह समीकरण पूछता है: क्या इनपुट x 0 का आउटपुट लौटाएँ? इस कारण से, इस समीकरण के समाधान को कभी-कभी फ़ंक्शन का "शून्य" या "मूल" कहा जाता है।

इससे पहले कि हम प्रत्येक द्विघात फलन के मूल खोजें, आइए एक आसान से शुरुआत करें: $latex f(x)=x^2-9$ के मूल क्या हैं? उन्हें खोजने के लिए, बस समीकरण $latex f(x)=0$ को हल करें।

$लेटेक्स f(x)=0$
$लेटेक्स x^2-9=0$
$लेटेक्स x^2=9$
$लेटेक्स x=pm3$

इन जड़ों को ढूंढना आसान है क्योंकि इस समीकरण को हल करना आसान है। आपको बस आइसोलेट होना है x. ध्यान दें कि हमें अंतिम पंक्ति में उस $latex pm$ की आवश्यकता है, क्योंकि 3 और -3 दोनों में यह गुण है कि जब आप उन्हें वर्गित करते हैं तो आपको 9 मिलता है। एक त्वरित जांच करें कि $latex f(3)=f(-3)=0 $ सत्यापित करता है कि ये वास्तव में इनपुट हैं जो $latex f(x)$ आउटपुट 0 बनाते हैं।

वह $latex pm$ स्थिति में निहित समरूपता की ओर भी इशारा करता है। द्विघात फ़ंक्शन के दो मूल होते हैं, और यदि आप एक संख्या रेखा पर दो मूलों की कल्पना करते हैं, तो आप देखेंगे कि वे $latex x=0$ के बारे में सममित हैं।

और जब आपको याद आता है कि द्विघात फलन का ग्राफ़ एक परवलय है, तो यह बहुत मायने रखता है। प्रत्येक परवलय में समरूपता का एक अक्ष होता है जो परवलय को दो दर्पण-छवि टुकड़ों में विभाजित करता है। $latex f(x)=x^2-9$ के मामले में, समरूपता की धुरी है y-अक्ष (रेखा $latex x=0$). जब आप $latex f(x)=x^2-9$ को सामान्य तरीके से, उपचार द्वारा ग्राफ़ करते हैं x स्वतंत्र चर के रूप में और $latex y=f(x)$ को सेट करते हुए, आप इसकी जड़ें देख सकते हैं x-अक्ष, के दोनों ओर से समान दूरी पर y-एक्सिस।

$latex f(x)=x^2-8x-9$ जैसे अधिक जटिल द्विघात के लिए, जड़ों को खोजने में थोड़ी अधिक खुदाई करनी पड़ती है।

$लेटेक्स f(x)=0$
$लेटेक्स x^2-8x-9=0$
$लेटेक्स x^2-8x=9$

हम $latex f(x)$ को 0 के बराबर सेट कर सकते हैं और 9 को दाईं ओर ले जा सकते हैं जैसा कि हमने पहले किया था, लेकिन हम अलग करने के लिए दोनों पक्षों का वर्गमूल नहीं ले सकते x. के साथ वह दूसरा शब्द x इसमें रास्ते में खड़ा है. लेकिन यह फ़ंक्शन, प्रत्येक द्विघात की तरह, सममित है, और हम समस्या के चारों ओर नेविगेट करने के लिए उस समरूपता का उपयोग कर सकते हैं। समरूपता को अधिक पारदर्शी बनाने के लिए हमें बस थोड़ी सी बीजगणित की आवश्यकता है।

आइए फ़ंक्शन $latex f(x)=x^2-8x-9$ को $latex f(x)=x(x-8)-9$ के रूप में फिर से लिखें। अब $latex x(x-8)$ भाग पर ध्यान केंद्रित करें। यह दो स्थितियों में 0 होगा - यदि एक्स = 0 या यदि एक्स = 8 - और यह गारंटी देता है कि $latex f(0)$ और $latex f(8)$ -9 का समान मान लेंगे। इससे हमें परवलय पर दो सममित बिंदु मिलते हैं, और चूँकि समरूपता के अक्ष को $latex x=0$ और $latex x=8$ को बीच में विभाजित करना होता है, इसलिए यह रेखा $latex x=4$ होनी चाहिए।

अब जब हमें समरूपता मिल गई है, तो इसका लाभ उठाने का समय आ गया है। हम अपने परवलय की चार इकाइयों को बाईं ओर स्थानांतरित करने जा रहे हैं ताकि इसकी समरूपता की धुरी रेखा $latex x=4$ से रेखा $latex x=0$ तक चली जाए। इस अनुवाद को बीजगणितीय रूप से करने का एक सरल तरीका है: हम प्रत्येक को प्रतिस्थापित करते हैं x साथ में x + 4

आइए $latex g(x)$ को नया द्विघात फ़ंक्शन कहते हैं जो हमें प्रतिस्थापित करने पर मिलता है x साथ में x+ 4. दूसरे शब्दों में, मान लीजिए $latex g(x)=f(x+4)$. देखें कि जब हम $latex g(x)$ को सरल बनाते हैं तो क्या होता है:

$लेटेक्स g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$लेटेक्स g(x)=x^2-25$

जब हम वितरणात्मक संपत्ति को कुछ बार लागू करते हैं और समान शर्तें एकत्र करते हैं, तो x हमारे नए अनुवादित द्विघात का पद गायब हो जाता है, और इससे $latex g(x)$ की जड़ें ढूंढना आसान हो जाता है:

$लेटेक्स g(x)=0$
$लेटेक्स x^2-25=0$
$लेटेक्स x^2=25$
$लेटेक्स x=pm5$

$latex g(x)$ की जड़ें $latex x=pm5$ हैं, इसलिए $latex f(x)=x^2-8x-9$ की जड़ें खोजने के लिए, हम बस $latex g( की जड़ों को स्थानांतरित करते हैं x)$ दाईं ओर चार इकाइयाँ पीछे। यह हमें $latex f(x)$ की जड़ें देता है: $latex 4pm5$, या 9 और -1, जिसे आप $latex f(9)=f(-1)=0$ की गणना करके सत्यापित कर सकते हैं।

इस थोड़े कठिन द्विघात समीकरण को हल करने का रहस्य इसे सरकाना और हस्तक्षेप को समाप्त करके इसे एक आसान द्विघात समीकरण में बदलना था x अवधि। यह दृष्टिकोण किसी भी द्विघात फलन पर काम करेगा। एक मनमाना द्विघात $latex f(x)=ax^2+bx+c$ को देखते हुए, आप हमेशा समान फैक्टरिंग के साथ इसकी समरूपता की धुरी पा सकते हैं:

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$latex f(x)=x(ax+b)+c$

इस रूप में आप देख सकते हैं कि $latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, जिसका अर्थ है कि समरूपता की धुरी $latex x=0$ और $latex x= के बीच आधी है -फ्रैक{बी}{ए}$. दूसरे शब्दों में, किसी भी द्विघात फलन $latex f(x)=ax^2+bx+c$ की समरूपता की धुरी रेखा $latex x=-frac{b}{2a}$ है। और यह परिचित दिखना चाहिए. यह द्विघात सूत्र में छिपा है!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

यह देखना आसान है कि क्या आप इसे इस तरह दोबारा लिखते हैं:

$$

द्विघात सूत्र इस तथ्य पर निर्भर करता है कि द्विघात $latex f(x)=ax^2+bx+c$ की जड़ें $latex x=-frac{b}{2a}$ के बारे में सममित हैं। और जैसा कि हमने ऊपर किया, आप उन्हें ढूंढने के लिए उस समरूपता का उपयोग कर सकते हैं: बस $latex f(x)$ का $latex -frac{b}{2a}$ द्वारा अनुवाद करें। यह को ख़त्म करने का प्रभाव रखता है x शब्द, जो आपको फिर आसानी से अलग होने की अनुमति देता है x और हल करें. ऐसा करें, और आपको द्विघात सूत्र प्राप्त होगा। (अधिक विवरण के लिए नीचे दिए गए अभ्यास देखें।) यह बच्चों की धुन गुनगुनाने जितना आसान नहीं है, लेकिन यह महत्वपूर्ण बीजगणितीय और ज्यामितीय कनेक्शन को प्रदर्शित करता है जो इस सूत्र को काम में लाते हैं।

समरूपता की शक्ति के साथ द्विघातों को हल करने से हमें घन समीकरणों पर समान रणनीति आज़माने के लिए प्रोत्साहित किया जा सकता है। लेकिन जबकि क्यूबिक्स में समरूपता होती है, यह उस प्रकार की नहीं है जो $latex f(x)=0$ जैसे समीकरणों को हल करने में मदद करती है। क्यूबिक ग्राफ़ में "बिंदु समरूपता" होती है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक क्यूबिक फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक विशेष बिंदु होता है, जहां, यदि कोई रेखा उस बिंदु से गुजरती है और क्यूबिक को कहीं और काटती है, तो यह ग्राफ़ को उस बिंदु के बारे में फिर से सममित रूप से काटती है।

यह एक मजबूत प्रकार की समरूपता है, लेकिन यह जड़ें ढूंढने में मदद नहीं करती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी फ़ंक्शन की जड़ें वहां होती हैं जहां इसका ग्राफ़ क्षैतिज रेखा $latex y=0$ को पार करता है (द x-अक्ष), और सामान्य तौर पर, वे चौराहे घन के समरूपता के विशेष बिंदु के बारे में सममित नहीं होते हैं।

वास्तव में, एक घन में केवल जड़ हो सकती है। वहां कोई समरूपता नहीं.

फिर भी, चतुर्भुज के साथ हमारे पहले के काम में कुछ ऐसा है जो मदद कर सकता है।

यदि हमारे पास एक द्विघात फलन $latex f(x)=ax^2+bx+c$ है और हम जानते हैं कि इसकी जड़ें $latex r_1 $ और $latex r_2$ हैं, तो हम हमेशा इसमें $latex f(x)$ लिख सकते हैं "फैक्टरयुक्त" फॉर्म: $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. अब, जब हम इसे गुणा करते हैं और सरल बनाते हैं, तो हमें काम करने के लिए कुछ बहुत उपयोगी मिलता है।

$latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

ध्यान दें कि का गुणांक कैसा है x शब्द में दो जड़ों $latex r_1$ और $latex r_2$ का योग शामिल है। यह विएटा के सूत्रों में से एक से संबंधित है (जिसे आपने देखा होगा एक बार or दो बार इन कॉलमों में पहले): एक द्विघात फ़ंक्शन $latex f(x)=ax^2+bx+c$ को देखते हुए, दो जड़ों का योग हमेशा $latex -frac{b}{a}$ होगा। आप इसे द्विघात के सामान्य रूप को उसके गुणनखंडित रूप $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ के बराबर सेट करके दिखा सकते हैं और यह देख सकते हैं कि दो बहुपद वास्तव में एकमात्र तरीका हो सकते हैं समान रहें यदि उनके संगत गुणांक समान हों। इस मामले में, इसका मतलब है के गुणांक x समीकरण के दोनों पक्षों के पद समान होने चाहिए, इसलिए हम लिख सकते हैं

$लेटेक्स b=-a(r_1+r_2)$

और फिर विभाजित करें:

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

ध्यान दें कि इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर एक दिलचस्प तथ्य प्रदर्शित होता है: द्विघात फलन की दो जड़ों का औसत बराबर होता है x-समरूपता के अक्ष का मान:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

यह समझ में आता है, क्योंकि समरूपता की धुरी को दो जड़ों के बीच में होना चाहिए, और किन्हीं दो संख्याओं का औसत उनके ठीक बीच की संख्या है।

लेकिन इस नए रिश्ते पर हमारे पिछले अनुवाद के संदर्भ में विचार करें। समरूपता के अक्ष को $latex x = -frac{b}{2a}$ से $latex x=0$ तक ले जाकर परवलय का अनुवाद करने से $latex -frac{b}{2a} से दो जड़ों का औसत भी बदल जाता है। $ से 0.

लेकिन यदि मूलों का औसत 0 है, तो मूलों का योग भी 0 होना चाहिए, और दोनों मूलों का योग द्विघात के गुणनखंडित रूप में प्रकट होता है:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

इसका मतलब यह है कि द्विघात का अनुवाद करने पर मूलों का योग 0 हो जाता है x शब्द लुप्त हो जाना. इससे हमें अपने पहले के द्विघात समीकरण को हल करने में मदद मिली, और जड़ों के बारे में एक समान परिणाम घन कार्यों के लिए भी लागू होता है।

एक सामान्य घन $latex f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ को देखते हुए, हम वही कर सकते हैं जो हमने द्विघात के साथ किया था। यदि क्यूबिक में मूल $latex r_1$, $latex r_2$, और $latex r_3$ हैं, तो हम क्यूबिक फ़ंक्शन को इसके गुणनखंडित रूप में लिख सकते हैं $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ और इसे गुणा करें। इससे हमें $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$ मिलता है जिसे हम फिर सामान्य रूप $latex f के बराबर सेट करते हैं (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, और चूंकि संगत गुणांक समान होना चाहिए, हम एक घन की जड़ों के योग के लिए विएटा के सूत्र के साथ समाप्त होते हैं:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

ध्यान दें कि हम समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित कर सकते हैं

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

यह हमें बताता है कि घन का औसत मूल $latex -frac{b}{3a}$ है। अब, यदि हम इस राशि से घन का अनुवाद करते हैं, तो औसत मूल 0 होगा, जिससे मूलों का योग 0 के बराबर हो जाएगा, जो बदले में हमारे अनुवादित घन में $latex x^2$ का गुणांक गायब कर देगा।

संक्षेप में, परिवर्तन $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ वह उत्पन्न करता है जिसे "डिप्रेस्ड" क्यूबिक के रूप में जाना जाता है, जिसका सीधा सा मतलब है कि इसमें कोई $latex x^2$ शब्द नहीं है . हमारा परिवर्तित और उदास घन इस तरह दिखेगा:

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

गुणांक m और n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ए, बी, सी, और d मूल घन से. वे किसके बराबर हैं, यह इस तथ्य से कम महत्वपूर्ण नहीं है कि दबे हुए क्यूबिक्स की जड़ों को खोजने के लिए गारंटीकृत तकनीकें हैं। वास्तव में, ऐसी तकनीक 1500 के दशक में गेरोलामो कार्डानो और निकोलो टार्टाग्लिया के बीच एक पौराणिक विवाद के केंद्र में थी जिसमें दोस्ती, विश्वासघात और सार्वजनिक गणित द्वंद्व शामिल थे। यह है एक लंबी और दिलचस्प कहानी, एक उल्लेखनीय गणितीय निष्कर्ष के साथ: किसी भी घन को दबे हुए घन में बदलने की क्षमता, किसी भी दबे हुए घन को हल करने की क्षमता के साथ, हमें हर घन समीकरण को हल करने की अनुमति देती है। बाकी विवरण छोड़ने के लिए आप मुझे क्षमा करेंगे क्योंकि, खैर, आपको दिखाना बहुत आसान है।

यह घन सूत्र है, जो द्विघात सूत्र की तरह हर घन समीकरण को हल करता है। लेकिन द्विघात सूत्र के विपरीत, इसमें गाने के लिए कोई आकर्षक धुन नहीं है। एक लिखने का प्रयास करने के लिए आपका स्वागत है, लेकिन इसके लिए संभवतः कुछ छंदों और एक या दो कोरस की आवश्यकता होगी।

अभ्यास

1. यदि आप घन की एक जड़ को जानते हैं, तो आप निश्चित रूप से अन्य को भी ढूंढ सकते हैं। क्यों?

2. किसी द्विघात के मूल सम्मिश्र संख्याएँ हो सकते हैं। क्या यह समरूपता तर्क को प्रभावित नहीं करता है?

3. सामान्य द्विघात $latex f(x)=ax^2+bx+c$ को देखते हुए, रूपांतरित द्विघात $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ को व्युत्पन्न करने के लिए हल करें द्विघात सूत्र।

4. चतुर्थक फलन $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ के मूलों का औसत क्या है?

5. यह दिखाने के लिए कैलकुलस का उपयोग करें कि घन का विभक्ति बिंदु उसका समरूपता बिंदु भी है।