Bevezetés
1977 decemberében egy forradalmár papír csendesen megjelent a Journal d'Analysis Mathématique, egy speciális matematikai folyóirat. A szerző, Hillel Furstenberg nem állított fel semmilyen izgalmas – vagy akár új – eredményt. Egyszerűen felkínált egy bizonyítást egy olyan tételre, amelyet egy másik matematikus, Szemerédi Endre már két évvel korábban bebizonyított.
Ennek ellenére Furstenberg dolgozata maradandó nyomot hagyott a matematikában. Új érvelése messzemenő következményekkel járó betekintési magot tartalmazott: A Szemerédi által megoldott problémákat az egész számok halmazairól át lehet fogalmazni a térben mozgó pontokra vonatkozó kérdésekre.
Az azóta eltelt évek során újra és újra alkalmazták Furstenberg technikáit, és apránként korrigálták és javították azokat. Az év elején feltűntek, két új tanulmányban jelentek meg, amelyek végtelen mintákat tárnak fel egész számok halmazaiban – ugrásszerűen haladva túl Szemerédi immár 47 éves tételén.
Furstenberg bizonyítása
Szemerédi olyan halmazokat vizsgált, amelyek az összes egész szám „pozitív törtrészét” tartalmazzák. Vegyük például azt a halmazt, amely az 5 összes többszörösét tartalmazza. Ahogy a számegyenes egyre nagyobb sávjait nézi, az 5 többszörösei továbbra is rendszeresen megjelennek. A matematikusok azt mondják, hogy az 5 összes többszörösét tartalmazó halmaz az összes egész szám ötödének a töredéke.
Ezzel szemben, bár végtelen számú prímszám van, a számok növekedésével annyira megritkulnak, hogy az összes prímszám halmaza nem tartalmazza az egész számok pozitív törtrészét, vagy másképpen fogalmazva, nincs pozitív sűrűsége. . Ehelyett azt mondják, hogy a prímek sűrűsége nulla.
Szemerédi példákat keresett az úgynevezett aritmetikai sorozatokra, vagy egyenlő távolságú számláncokra. Képzeljük el például, hogy van egy végtelen számsorozatunk, például a tökéletes négyzetek: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. A tökéletes négyzetek három hosszúságú aritmetikai progressziójukat rejtik az első néhány tagban: {1, 25, 49}. Ebben a folyamatban minden szám 24-gyel több, mint elődje.
Szemerédi bebizonyította, hogy bármely halmaznak, amely az egész számok pozitív törtrészét tartalmazza, tetszőlegesen hosszú számtani sorozatokat kell tartalmaznia. Az eredmény mérföldkő volt a matematika additív kombinatorika nevű részterületén.
Szémeredi bizonyítékát, bár ragyogó volt, szinte lehetetlen volt követni. "A mai napig úgy gondolom, hogy csak három-négy ember van, aki igazán érti [Szemerédi] bizonyítékát" Terence tao, a Los Angeles-i Kaliforniai Egyetem matematikusa.
Furstenberg érthetőbb érvelése tehát üdvözlendő volt. Ennek megírásához Furstenberg saját matematikai területéről származó módszerekre, dinamikus rendszerekre támaszkodott. A dinamikus rendszer minden olyan folyamat, amely idővel változik. Ez olyan egyszerű dolog lehet, mint egy biliárdlabda, amely egy biliárdasztal körül forog. Csak egy módszerre van szüksége a rendszer matematikai ábrázolására, és egy szabályra a fejlődésére. Egy labda például a helyzetével és sebességével írható le. Ez a rendszer előre meghatározott módon fejlődik az idő múlásával, követve a klasszikus fizika törvényeit.
Furstenberget leginkább az ergodikus elmélet érdekelte. Ahelyett, hogy egy rendszer állapotát vizsgálnák egy adott időpontban, az ergodikus teoretikusok hosszú időn keresztül tanulmányozzák a statisztikákat. Biliárdlabda esetében ez azt jelentheti, hogy ki kell deríteni, hogy a labda az asztal egyes pontjain jobban kikerül-e, mint másokra, mivel hajlamos a falakról visszapattanni.
Furstenberg kulcsgondolata az volt, hogy az egész számok halmazait ne rögzített objektumként, hanem pillanatnyi állapotként tekintse egy dinamikus rendszerben. Kis perspektívaváltásnak tűnhet, de lehetővé tette számára, hogy az ergodikus elmélet eszközeit használja a kombinatorika eredményeinek bizonyítására. Akkoriban Furstenberg még nem sejtette, hogy ötletei önálló életet élnek majd. „Csak az volt, hogy szerettem, ha megkaptam ezt a másik bizonyítékot” – mondta. Mások azonban az ergodikus elmélet és a kombinatorika közötti kapcsolat ígéretét látták. „Ergodikus teoretikusok egész generációja kezdett belevágni a kombinatorikába, megoldani ezeket a problémákat, és fordítva” – mondta Tao.
Az elmúlt néhány évben négy matematikus - Bryna Kra, Joel Moreira, Richter Flórián és a Donald Robertson - kifejlesztették Furstenberg technikáit, hogy ne csak tetszőlegesen hosszú folyamatokat találjanak az egész számok pozitív töredékét tartalmazó halmazokon belül, hanem a struktúrák végtelen változatait, amelyeket összeghalmazoknak neveznek.
„A summák sokkal kevésbé specifikusak, mint a progressziók; sokkal kevésbé különlegesek” – mondta Robertson. "De ez érdekesebb és finomabb, mert az összegek végtelen konfigurációk, míg a progressziók végesek."
Ha Furstenberg hidat épített az ergodikus elmélet és a kombinatorika között, Kra, Moreira, Richter és Robertson „hatsávos autópályává” bővítette azt – mondta Tao.
B + C sejtés
Szemerédi tételét először két matematikus javasolta, de nem bizonyította be 1936-ban. Egyikük egy magyar matematikus volt, aki híres a sejtésekről: Erdős Pál. 2016-ban, amikor Moreira doktori disszertációján dolgozott az Ohio Állami Egyetemen, véletlenül belebotlott egy másik sejtés, amit Erdős fogalmazott meg a sumhalmazoknak nevezett struktúrákról.
Egy összeghalmaz két másik halmazból készül; hívd azokat B és a C. A summák, így írva B + C, úgy épül fel, hogy az összes lehetséges számpárt összeadjuk, és egy számot veszünk B a másik pedig C. Erdős ezt bármelyik halmazra sejtette A amely egész számok pozitív törtrészét tartalmazza, léteznek más végtelen halmazok is B és a C amelynek összege benne van A. A Moreira által olvasott cikkben a szerzők bebizonyították Erdős sejtését, amikor A az egész számok nagy részét tartalmazza. De a kisebb pozitív sűrűségű halmazok esetében az eredmény még mindig ismeretlen volt. "Amint elolvastam a nyilatkozatot, azt hittem, ez egy nagyon jó kérdés, mert olyan egyszerű" - mondta Moreira. „Ez vagy hamis, vagy nem lehet nehéz. Ami persze rossz volt. Nem volt se hamis, se nem könnyű.”
Moreira bevonta Richtert és Robertsont, a posztgraduális iskolai barátait a projektbe. Robertson, aki most a Manchesteri Egyetemen tanul, egy évvel Moreira előtt végzett, Richter pedig pár évvel lemaradt. Mindhárman jól jártak az ergodikus elméleti technikák kombinatorika alkalmazásában. Ez a probléma azonban új kihívásokat támasztott.
„Gyakorlatilag nem volt példa arra, hogy végtelen összegeket találjunk egy pozitív sűrűségű halmazon belül” – mondta. Daniel Glasscock, matematikus a Massachusetts-i Egyetemen (Lowell), aki Moreira, Richter és Robertson egyetemistákhoz járt.
Talán ez az oka annak, hogy a sumset-probléma nehezen megoldható. „Kicsit erőltetni kell az ergodikus elméletet, hogy átjöjjön” – mondta Moreira. Erőfeszítéseik végül meghozták gyümölcsüket, és miben Sabok Marcin A McGill Egyetem „elképesztő teljesítménynek” nevezett kutatóinak 2018-ban sikerült bebizonyítaniuk Erdős sejtését. a A matematika évkönyvei, az egyik legrangosabb matematikai folyóirat.
Az új bizonyítékok
Az újság két nagy kérdést hagyott nyitva. Ezek egyike Erdős egy másik, a B + B + t sejtés.
Moreira, Richter és Robertson is felvetődött egy saját kérdéssel: Ha van pozitív sűrűségű halmazod A, találsz-e három végtelen halmazt? B, C és most D - ahol B + C + D Benne van A? Mi a helyzet négy végtelen halmazzal? Öt?
Miután feltették a többhalmazos változatot, a matematikusok egy időre elakadtak. Úgy tűnt, hogy a kéthalmazos sejtéshez használt technikák elérték a határukat.
„Nem találtuk a probléma dinamikus újrafogalmazását” – mondta Richter. Megközelítésük, mondta, „csak a legelején kudarcot vallott”.
Két év telt el, mire valódi fejlődést láttak. Ekkor már Richter posztdoktori ösztöndíjas volt a Northwestern Egyetemen, ahol Bryna Kra professzor volt. 2020-ban, mivel a Covid-19 világjárvány megakadályozta, hogy személyesen találkozzanak, Kra és Richter azon kapta magát, hogy a Zoomon keresztül megvitatják a problémát.
„Végül kitaláltunk néhány más variációt, amelyeket megértettünk” – mondta Kra.
Kra és Richter hetente beszélni kezdett Moreirával és Robertsonnal, és újra megvizsgálta a 2018-as bizonyítékot.
„Amit tennünk kellett, az az, hogy a bizonyítás minden lépését újra kell gondolnunk, kezdve azzal a dinamikus rendszerré történő fordítással” – mondta Kra.
Ügyüket segítette egy 2019 papír nevű francia matematikustól Bernard Host. A műsorvezető újra bebizonyította Moreira, Richter és Robertson eredményét, és kitalálta, hogyan kell az ergodikus elméletet énekelni. Moreira véleménye szerint a Házigazda „látta, hogyan kell megírni a bizonyítékunkat úgy, ahogyan azt meg kellett volna írni”.
A Host fejlesztéseivel Kra, Moreira, Richter és Robertson folytatta a bizonyítékok finomítását, megpróbálva a lehető legegyszerűbb, legelegánsabb érvet kihozni. – Azt hiszem, csak boncolgattuk újra és újra, hogy valóban lássuk: mi a probléma lényege? – mondta Richter. "A végén volt egy olyan bizonyítékunk, amely nagyon kevéssé hasonlított az eredeti bizonyítékhoz."
A bizonyíték, amelyre végül Furstenberghez hasonlóan, az egész számok végtelen halmazait időbélyegnek tekintette egy dinamikus rendszerben. Ezt a dinamikus rendszert azonban jobb úgy képzelni, mint a térben ugráló pontokat.
Íme egy hozzávetőleges kép a működéséről: Kezdje azzal, hogy álljon egy zárt szoba egyik sarkában, nevezze 0-s saroknak. A. Beállított, A, egész számok pozitív sűrűségű halmaza.
Fel van szerelve egy szabály a szobában való mozgáshoz is. Minden másodpercben új helyre költözik, attól függően, hogy éppen hol állt. Az Ön által követett pontos szabályt úgy alakítjuk ki, hogy megfeleljen az Ön által meghatározott időpontoknak A – amikor az időbélyeg be van írva A, akkor a szoba egy különleges részén találja magát.
Például mondjuk A 4-gyel osztható összes számból áll, és minden másodpercben az óramutató járásával megegyező irányba halad a szoba következő sarkába. Egy másodperc múlva az 1. sarokba lép; két másodperc után a 2. sarok és így tovább. Ezután minden négy lépésben – vagyis minden alkalommal, amikor be van kapcsolva A - vissza fog térni az eredeti Corner 0-hoz.
Ez a folyamat örökké tart. Az óramutató járásával megegyező irányban saroktól sarokig haladva végtelenül sokszor meglátogatja az egyes sarkokat. Azt a pontot, amely végtelen számú közelébe kerül, akkumulációs pontnak nevezzük.
Kra, Moreira, Richter és Robertson bebizonyította, hogy ügyesen kiválaszthat egyet ezek közül a helyek közül, hogy megtalálja az összeset B + C. A sarokpéldában vegyük az 1-es sarkot. 1-es, 5-ös, 9-es és 13-as időpontban érkezel oda – olyankor, amely 4-nek tűnik.n + 1 valamilyen egész számra n. enged B legyen azoknak az időknek a díszlete.
Most képzelje el, hogy ahelyett, hogy a 0. sarokról indulna, az 1. sarokban kezdje. Ez azt jelenti, hogy 4-gyel osztható időnként az 1. sarokba kerül, és három lépéssel később jut el a 0. sarokba: időnként 3, 7, 11, vagy a 4-es űrlap tetszőleges száman + 3. Hívja meg azoknak az időknek a halmazát C.
Most kezdje újra a folyamatot a 0. sarokból. Ezúttal nézd meg, mi történik, ha számot veszel a következőből B és egy számot C - mondjuk 13-tól B és 3-től C - és összeadja őket.
Ez 13 + 3 = 16 másodpercet vesz igénybe. Mivel a 16 a 4 többszöröse, benne van A. De azt is megjósolhatod, hogy a 13 + 3 osztható 4-gyel, és így be A, anélkül, hogy ténylegesen összeadnánk a 13-at és a 3-at. Csak kövesse, mi történik a dinamikus rendszerben, amikor 13 + 3 másodpercet vár: Először is 13 másodperc telik el. Ekkor az 1. sarokban találja magát. Ezután az 1. sarokból kiindulva még három lépést tesz, ami visszaviszi a 0. sarokba. Mivel a 0. sarokból indult, és ott kötött ki, biztosan várnia kellett egy négy másodperc többszöröse, ami azt jelenti, hogy a teljes időtartam egy szám volt az eredeti halmazban A.
Ahhoz, hogy ez az érvelés működjön, a csoportnak sok finom matematikai részlettel kellett megküzdenie. Például a legtöbb esetben végtelen számú hely áll rendelkezésére, ahová költözhet, nem csak négy sarok. Ez azt jelenti, hogy valójában nem fog végtelenül sokszor visszatérni egy helyre; csak végtelenül sokszor kerülsz a közelébe. Ez új matematikai bonyodalmakat vezetett be az érvelésbe. Ám amint rájöttek, hogyan fog működni a folyamat, tudták, hogy képesek lesznek megbirkózni azokkal a nehezebb kérdésekkel, amelyekre rájuk vártak.
„Itt találtuk ki ezt a bizonyítékot, és azonnal világossá vált, hogyan kell általánosítani” – mondta Richter, aki jelenleg a Lausanne-i Svájci Szövetségi Technológiai Intézet munkatársa. A sejtés többhalmazos változatának bizonyítására például a kutatók csak egy halmozási pontot adhatnak az útvonalhoz. Az általános érv ugyanaz volt, csak egy új bonyolultsági réteggel.
Nem volt könnyű minden technikai elemet kikalapálni. Miután megállapodtak a dinamikus felépítésük mellett, Krának, Moreirának, Richternek és Robertsonnak több mint egy évbe telt, hogy bizonyítékokat dolgozzanak ki a nehezebb sejtésekre. Ez év júniusában a csoport végre közzétett két újságot. Az egyik bebizonyosodott az összeghalmaz sejtés többhalmazos változata. A másik bebizonyította a B + B + t a sejtés változata, amely megköveteli, hogy a második halmaz C egyenlő legyen az első halmazzal B, eltolva valamilyen állandóval, t.
Következő lépések
Bár a júniusi tanulmányok két kérdést is megválaszolnak a szumhalmazokkal kapcsolatban, Kra, Moreira, Richter és Robertson hosszú jövőt képzel el kutatási irányának. „Mint mindennél, amit Erdős kért, ő is csak azt akarja, hogy betessük a lábunkat az ajtón” – mondta Moreira, aki jelenleg a Warwicki Egyetemen dolgozik. – De most ki kell nyitnunk az ajtót, és mennünk kell, hogy megvizsgáljuk, mi van még ott.
Új dolgozataikban a négy matematikus több lehetséges kutatási irányt vázol fel, még megválaszolatlan kérdések formájában. Az ember arra a tényre támaszkodik, hogy bár bármilyen pozitív sűrűségű halmaz A végtelen összeget tartalmaz B + C, nem feltétlenül tartalmazza a két összetevőt B és a C. Mikor lehet ehhez ragaszkodni B és a C belül is kell lennie A? A szerzők arra is kihívják a matematikusokat, hogy találják-e meg a végtelen halmazok végtelen sorozatát, amelyek összegei benne vannak A.
A téma egy másik nyitott kérdésére Matt Bowen, a McGill Egyetem Sabok's végzős hallgatója már válaszolt. Októberben ő kiküldött annak bizonyítéka, hogy ha minden egész számhoz hozzárendel egyet a néhány szín közül, akkor találhat egy összeget B+C és halmazok szorzata BC csak az egyik színen belül.
Hogy Kra, Moreira, Richter és Robertson új alkotása pontosan hova vezet, egyelőre nem tudni. De Tao legalább optimista a csoport által kifejlesztett új technikákat illetően. Amit módszereikkel elérnek, az „valójában egészen elképesztő” – mondta. „Vannak más kérdések is a végtelen halmazokkal kapcsolatban, amelyeket korábban reménytelennek tartottak, most pedig elérhető.”
