Bevezetés
Az év elején egy matematikus trió úgy döntött, hogy citromból limonádét készít – és végül jelentős előrelépés egy olyan problémára, amelyen a matematikusok évszázadok óta gondolkodnak.
Mindhárman éppen egy projektet fejeztek be, és a következő lépéseken gondolkodtak, amikor március végén ketten közülük - Levent Alpöge a Harvard Egyetem és Ari Shnidman a jeruzsálemi Héber Egyetem munkatársa – külön-külön, de szinte egyszerre kapta el a Covid-19-et. Sokan ilyen körülmények között szünetet tartanának, de a csapat harmadik tagja, Manjul Bhargava a Princeton Egyetemen az ellenkezőjét javasolta. Feltételezte, hogy a heti Zoom-találkozók heti három-négy alkalomra növelése elvonhatja beteg munkatársainak figyelmét a tünetekről. A karantén – döntöttek úgy hárman –, hogy alkalom lehet a zavartalan gondolkodásra.
Ezeken a találkozókon a számelmélet egyik legrégebbi kérdését fontolgatták: Hány egész szám írható fel két kockatört összegeként, vagy ahogy a matematikusok hívják, racionális számként? A 6-os szám például felírható így (17/21)3 + (37/21)3, míg 13 = (7/3)3+(2/3)3.
A matematikusok évtizedek óta gyanítják, hogy az összes egész szám fele így írható. Csakúgy, mint a páratlan és páros számoknál, úgy tűnik, hogy ez a tulajdonság az egész számokat két egyenlő táborra osztja: azokra, amelyek két kocka összege, és azokra, amelyek nem.
De ezt senki sem tudta bizonyítani, sőt korlátot sem adni az egyes táborokba eső egész számok arányára. A matematikusok tudomása szerint a racionális kockák összegeiből álló tábor eltűnőben kicsi lehet – vagy szinte minden egész számot tartalmazhat. Matematikusok kiszámolták hogy ha valami, amit Birch és Swinnerton-Dyer sejtésnek hívnak, igaz (amint azt széles körben hiszik), akkor a 59 millióig terjedő számok körülbelül 10%-a két racionális kocka összege. De az ilyen adatok a legjobb esetben is utalhatnak arra, hogyan viselkedhet a számsor többi része.
A páratlan és páros számokkal ellentétben „ez a két tábor finom” – mondta Barry Mazur a Harvardról. Nincs olyan teszt, amely meghatározná, hogy melyik szám melyik táborba tartozik, és amelyről ismert, hogy minden számra működik. A matematikusok olyan tesztekkel álltak elő, amelyek erős jelöltek, de egyelőre mindegyiknek van némi hátránya – vagy a matematikusok nem tudják bizonyítani, hogy a teszt mindig következtetésre jut, vagy nem tudják bizonyítani, hogy a következtetés helyes.
A kockaösszegek és általában a köbegyenletek megértésének nehézsége „visszatérő zavart okozott a számelméletek számára” – mondta Bhargava. Ő nyerte a Fields-érmet 2014-ben részben azért racionális megoldásokon végzett munkája az elliptikus görbéknek nevezett köbös egyenletekhez, amelyek közül két kocka összege speciális eset.
Most egy papír Az október végén online közzétett Alpöge, Bhargava és Shnidman kimutatta, hogy az egész számoknak legalább 2/21 (kb. 9.5%) és legfeljebb 5/6 (körülbelül 83%) írható fel két kockatört összegeként.
A kockák összegének kérdése nem csupán érdekesség. Az elliptikus görbék gazdagon bonyolult szerkezettel rendelkeznek, amely a tiszta és az alkalmazott matematika számos területének középpontjába juttatta őket, különösen lehetővé téve a kriptográfusok számára, hogy erőteljes rejtjeleket készítsenek. A terület központi kérdése, a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés 1 millió dolláros jutalommal jár, mint az Clay Mathematics Institute Millennium Prize Problémák egyike.
Az új munka azokra az eszközökre épül, amelyeket Bhargava az elmúlt 20 év során munkatársaival együtt fejlesztett ki, hogy fedezze fel a teljes családot elliptikus görbék. Két kocka összegének megértése egy sokkal kisebb család elemzését jelenti, és „minél kisebb a család, annál nehezebb a probléma” – mondta. Sarnak Péter a Princeton-i Institute for Advanced Study munkatársa.
Ez a bizonyos család „elérhetetlennek” tűnt – tette hozzá Sarnak. "Azt mondtam volna: "Ez túl keménynek tűnik, túl keménynek tűnik."
Fázisátmenet
A bőségesnek tűnő kockás törtek összegeivel ellentétben alig van egész szám két négyzetes tört összege. Az 1600-as évek elejére Albert Girard és Pierre de Fermat matematikusok kitaláltak egy egyszerű tesztet annak meghatározására, hogy mely egész számok két négyzet összege: Tényeződjék prímszámokká, majd ellenőrizzék minden olyan prím kitevőjét, amelynek a maradéka 3. ha elosztod 4-gyel. Ha ezek a kitevők mind párosak, akkor számod két négyzetes tört összege; egyébként nem az. Például 490 tényezőt 2-be1 × 51 × 72. E tényezők közül az egyetlen, amelynek maradéka 3, ha 4-gyel osztjuk, a 7, és a 7-nek páros kitevője van. Ezért 490 két négyzet összege (a kíváncsiak számára 7-nek felel meg2 + 212).
A számok túlnyomó többsége megbukik a páros kitevő tesztjén. Ha véletlenszerűen választ ki egy egész számot, annak a valószínűsége, hogy ez két négyzetes tört összege, lényegében nulla. A matematikusok úgy vélik, hogy ugyanez igaz a negyedik vagy az ötödik hatványra emelt két tört összegére, vagy bármely háromnál nagyobb hatványra. Csak a kockaösszegekkel van hirtelen bőség.
A matematikusok hozzászoktak ahhoz, hogy a köbös egyenletek másképpen viselkednek, mint az összes többi hatalomé. A két változóból álló egyenletek közül (mint például a két kocka összege egyenletek) általában jól érthetőek azok az egyenletek, amelyeknek a legmagasabb kitevője 1 vagy 2 – jellemzően vagy nincs racionális megoldásuk, vagy végtelen sok, és ez általában egyszerű mondd meg melyik. Eközben azok az egyenletek, amelyek legmagasabb kitevője 4 vagy nagyobb, általában rendelkeznek csak egy véges locsolás racionális megoldások.
Ezzel szemben a köbös egyenleteknek véges sok megoldása lehet, végtelen sok vagy egyáltalán nincs. Ezek az egyenletek egyfajta fázisátmenetet jelentenek a 3 alatti kitevők és a fentiek között, olyan jelenségeket jelenítve meg, amelyek soha nem láthatók ezekben a más beállításokban. „A kockák minden tekintetben különböznek egymástól” – mondta Mazur.
Az alacsonyabb kitevőjű egyenletekkel ellentétben a kockákat megdöbbentően nehéz felfogni. Nincs olyan átfogó módszer a köbök racionális megoldásainak megtalálására vagy akár számbavételére, amelyről bebizonyosodott, hogy mindig működik.
„Még a rendelkezésünkre álló számítási teljesítmény mellett is, ha adsz egy elliptikus görbét nagyon nagy együtthatókkal, nem feltétlenül tudom, hány racionális megoldása van” – mondta. Wei Ho, Bhargava egykori tanítványa, aki az jelenleg vendégprofesszor az Institute for Advanced Study-ban.
A két-kocka összege feladatban az érintett törtek óriásiak lehetnek: a 2,803-as szám például két kockás tört összege, amelyek nevezői mindegyike 40 számjegyű. És ha a milliós számokat nézzük, Bhargava szerint sok tört „több számjegyet tartalmazna, mint amennyi a világ összes papírján elférne”.
Leképezési mátrixok
Mivel az elliptikus görbék annyira irányíthatatlanok, a számelméleti szakemberek keresik a módját, hogy összekapcsolják őket jobban követhető objektumokkal. Idén áprilisban, miközben Alpöge és Shnidman a Coviddal küzdött, ők és Bhargava olyan munkára építkeztek, amelyet az utóbbi korábban Ho-val végzett, és rájöttek, hogy valahányszor egy kockaösszeg egyenletnek van racionális megoldása, van mód legalább egy speciális 2 felépítésére. × 2 × 2 × 2 mátrix – az ismertebb kétdimenziós mátrix négydimenziós analógja. „Elkezdtünk egy tervet kidolgozni, hogy megszámoljuk ezeket a 2 × 2 × 2 × 2 mátrixokat” – írták.
Ehhez a csapat két klasszikus témát vett igénybe, amelyeket egyenként több mint egy évszázada tanulmányoztak. Az egyik a „számok geometriája”, amely magában foglalja a különböző geometriai alakzatokon belüli rácspontok megszámlálását. Ez a téma reneszánszát éli az elliptikus görbék területén az elmúlt 20 évben, nagyrészt Bhargava és munkatársai munkájának köszönhetően.
A másik, kör-módszerként ismert technika a legendás indiai matematikus, Srinivasa Ramanujan és régi munkatársa, G.H. Hardy a 20. század elején. "Ez az első nagy alkalmazás a kör módszer és ezekkel a számgeometria technikákkal kombinálva" - mondta Ho. – Nagyon klassz ez a rész.
Ezekkel a módszerekkel a trió megmutatta, hogy az összes egész szám legalább 1/6-ánál nem létezik 2 × 2 × 2 × 2 mátrix. Ez azt jelenti, hogy ezekre a számokra a kockaösszeg egyenletnek nincs racionális megoldása. Tehát az egész számok legfeljebb 5/6-a, azaz körülbelül 83%-a lehet két tört kockáinak összege.
Ellenkező irányban azt találták, hogy az összes egész szám legalább 5/12-ének pontosan egy megfelelő mátrixa van. Csábító az a következtetés, hogy ezek a számok két kocka összege, de ez nem következik automatikusan. Minden számnak, amely két kocka összege van, van mátrixa, de ez nem feltétlenül jelenti azt, hogy fordítva is igaz: minden mátrixszal rendelkező szám két kocka összege.
Alpöge-nek, Bhargavának és Shnidmannak szüksége volt arra, amit az elliptikus görbe kutatói fordított tételnek neveznek – olyasvalamire, amely egy köbös egyenletre vonatkozó információkat vesz fel és használja fel racionális megoldások megalkotására. A fordított tételek az elliptikus görbék elméletének virágzó részterületét alkotják, így a trió az alterület két szakértőjéhez fordult - Ashay Burungale a Texasi Egyetemen, Austinban és Princetonban. Burungale és Skinner meg tudta mutatni, hogy ha egy egész számhoz egyetlen társított mátrix tartozik, akkor ennek a számnak két racionális kocka összegének kell lennie. Tételük, amely lényegében a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés egy releváns részét bizonyítja, háromoldalas mellékletként jelenik meg az újságban, amelyet Sarnak önmagában is csodálatosnak ír le.
Burungale és Skinner nem bizonyította tételét minden egész számra pontosan egy mátrixszal – olyan technikai feltételt kellett szabniuk, amely az 5/12 részhalmazt az összes egész szám 2/21-ére, azaz körülbelül 9.5%-ára csökkentette. De Bhargava optimista, hogy Burungale és Skinner, vagy más kutatók a területükön túl sokáig érik el az 5/12 többi részét (összesen körülbelül 41%-át). „A technikáik folyamatosan erősödnek” – mondta Bhargava.
A teljes sejtés bizonyításához – miszerint az összes egész számnak pontosan a fele két kocka összege – végül azt a számhalmazt kívánja meg, amelyhez egynél több társított mátrix tartozik. Ez a készlet, amelyet Bhargava „nagyon homályosnak” nevezett, tartalmazza mind a két kocka összegét jelentő számokat, mind azokat a számokat, amelyek nem. Az ilyen számok kezelése teljesen új ötleteket igényel – mondta.
A kutatók egyelőre örülnek, hogy végre eldöntötték a kérdést az egész számok jelentős hányadára vonatkozóan, és alig várják, hogy tovább vizsgálják a bizonyítás technikáit. „Ez egyike azoknak a gyönyörű dolgoknak: nagyon könnyen megmagyarázhatja az eredményt, de az eszközök nagyon-nagyon a számelmélet élvonalában vannak” – mondta Sarnak.
