A kvantummező elmélet Nyitott matematikai rejtvényeket készít

A múlt hónapban, Karen Vogtmann és a Michael Borinsky bizonyítékot tett közzé hogy van egy teherautónyi matematikai struktúra egy eddig hozzáférhetetlen matematikai világban, amelyet gráfok modulusterének neveztek, és Vogtmann és munkatársa először leírták az 1980 közepén.

„Ez egy rendkívül nehéz probléma. Elképesztő, hogy képesek voltak rá” – mondta Dan Margalit, a Georgia Institute of Technology matematikusa.

Vogtmann és Borinsky olyan kérdésekkel kezdte, amelyeket Vogtmann, a Warwicki Egyetem matematikusa évtizedek óta tett fel magának. Ezután a páros újragondolta a kérdést a fizika nyelvén, és a kvantumtérelmélet technikáit felhasználva jutott eredményre.

A bizonyítás bemutatja, hogy bizonyos struktúrák léteznek a modulustérben, de nem fedi fel kifejezetten, hogy mik ezek a struktúrák. Ily módon az új eredményük inkább egy fémdetektorhoz, mint egy kamerához hasonlít – figyelmezteti őket, hogy valami érdekes rejtőzik, bár nem tudják teljesen leírni.

A gráfok modulustereit matematikai alakzatoknak tekintheti, amelyekhez hozzáadott díszítés van. Ha az alakzat bármely pontján áll, egy grafikont fog látni felettünk – élekkel összekapcsolt pontok vagy csúcsok gyűjteménye. A modulustér különböző helyein a gráfok változnak, éleik zsugorodnak vagy nőnek, és néha teljesen eltűnnek. E tulajdonságok miatt Borinsky, a zürichi Svájci Szövetségi Műszaki Intézet matematikus fizikusa „a gráfok nagy tengereként” írja le a modulustereket.

A gráf „rangja” a benne lévő hurkok száma; a gráfok minden rangjához létezik egy modulustér. Ennek a térnek a mérete gyorsan növekszik – ha rögzíti a gráf éleinek hosszát, akkor három 2. rangú, 15. 3., 111. 4. és 2,314,204,852 10. rangú gráf lesz. A moduli téren ezek a hosszúságok változhat, ami még bonyolultabbá teszi.

Az adott rangú gráfok modulusterének alakját a gráfok közötti kapcsolatok határozzák meg. Ahogy sétál a térben, a közeli grafikonoknak hasonlóaknak kell lenniük, és simán egymásba kell alakulniuk. De ezek a kapcsolatok bonyolultak, így a modulus tér matematikailag nyugtalanító tulajdonságokkal rendelkezik, például olyan régiókkal, ahol a modulustér három fala átmegy egymáson.

A matematikusok egy tér vagy alakzat szerkezetét tanulmányozhatják a kohomológia osztályoknak nevezett objektumok segítségével, amelyek segíthetnek feltárni a tér összeállításának módját. Vegyük például a matematikusok egyik kedvenc formáját, a fánkot. A fánkon a kohomológia órák egyszerűen hurkok.

A fánk felületére többféle hurkot rajzolhatunk: Az 1. hurok körbeveszi a fánk központi lyukát; hurkoljon át 2 szálat a lyukon; a harmadik „triviális” hurok a fánk oldalán található.

Azonban nem minden kohomológia osztály egyenlő. A fánk külső oldalán ülő hurok – akárcsak a harmadik hurok – mindig elcsúszhat vagy összezsugorodhat, hogy elkerülje egy másik hurok metszését. Ez „triviális” kohomológiai órává teszi.

De az 1. és 2. hurok sokkal többet mond a fánk szerkezetéről – csak a lyuk miatt léteznek. A különbség matematikai felismeréséhez használhat kereszteződéseket – magyarázta Margalit. Az 1. és 2. hurkok körbecsúszhatnak a fánk felületén, de ha nem kényszerítjük őket arra, hogy teljesen elszakadjanak a felülettől, mindig metszik egymást. Mivel ez a két hurok olyan partnerekkel érkezik, akiket nem tudnak nem keresztezni, ezek „nem triviális” kohomológia órák.

A fánkkal ellentétben a matematikusok nem találnak kohomológiai osztályokat a gráfok moduluszterén pusztán egy kép rajzolásával. Ilyen hatalmas számú gráf esetén a modulustereket nehéz kezelni – mondta Nathalie Wahl, a Koppenhágai Egyetem matematikusa. "Nagyon gyorsan, a számítógép már nem tud segíteni" - mondta. Valójában csak egy páratlan dimenziós, nem triviális kohomológia óra volt kifejezetten kiszámítva (11 dimenzióban), néhány párossal együtt.

Amit Vogtmann és Borinsky bebizonyított, az az, hogy óriási számú kohomológiai osztály van, amelyek egy adott rangú gráfok modulusterében találhatók – még ha nem is találjuk őket. „Tudjuk, hogy rengeteg van, és egyet is tudunk” – mondta Wahl, „nevetségesnek” nevezve a helyzetet.

Ahelyett, hogy közvetlenül kohomológiai osztályokkal dolgoztak volna, Borinsky és Vogtmann az Euler-karakterisztikának nevezett számot tanulmányozta. Ez a szám megadja a modulustér egyfajta mérését. A modulusteret bizonyos módokon módosíthatja anélkül, hogy megváltoztatná az Euler-karakterisztikáját, így az Euler-karakterisztikát könnyebben elérhetővé teheti, mint magukat a kohomológiai osztályokat. És ezt tette Borinszkij és Vogtmann. Ahelyett, hogy közvetlenül a gráfok modulusterével dolgoztak volna, a „gerincet” tanulmányozták – lényegében a teljes tér vázát. A gerinc ugyanazokkal az Euler-karakterisztikával rendelkezik, mint maga a moduli tér, és könnyebb vele dolgozni. A gerincen az Euler-karakterisztikának kiszámítása grafikonpárok nagy gyűjteményének megszámlálásához vezetett.

Borinsky meglátása az volt, hogy a Feynman-diagramok számlálására szolgáló technikákat használjon, amelyek olyan grafikonok, amelyek a kvantumrészecskék kölcsönhatását ábrázolják. Amikor a fizikusok ki akarják számolni, mondjuk annak az esélyét, hogy egy elektron és egy pozitron ütközése két fotont hoz létre, összegzi az összes lehetséges interakciót amelyek ahhoz az eredményhez vezetnek. Ez azt jelenti, hogy sok Feynman-diagramon átlagolni kell, és okos számolási stratégiákat kell motiválni.

„Rájöttem, hogy ezt a fajta problémát egyfajta játék kvantumtérelméleti univerzumként is meg lehet fogalmazni” – magyarázta Borinsky.

Borinszkij úgy képzelte el, hogy a gráfok fizikai rendszereket reprezentálnak az univerzum egy egyszerű változatában, amelyben – egyéb feltételezések mellett – csak egyfajta részecske van. A kvantumtérelméleti keretrendszer némi kiigazításra szorult, hogy Borinsky és Vogtmann megkapják a megfelelő számolást. Például a kvantumtérelméletben két, egymás tükörképei grafikon megkülönböztethetetlen, mondta Borinszkij. A Feynman-diagramok összeadásának képletei olyan tényezőket tartalmaznak, amelyek biztosítják, hogy ezeket a grafikonokat ne számolják túl. De amikor az Euler-karakterisztikáról van szó, ezeket a grafikonokat különbözőnek tekintjük. „Játszanunk kell egy kis játékot a grafikonok szimmetriájával” – mondta Borinsky.

Némi programozási segítséggel a fizikustól Jos Vermaseren, Borinsky és Vogtmann végre túljutott ezen a nehézségen. Januári dolgozatukban bebizonyították, hogy a ranggráfok modulusterének Euler-karakterisztikája n masszívan negatívvá válik, mint n nagyobb lesz. Ez azt jelenti, hogy sok-sok nem triviális kohomológia osztályt kell feltárni az egyes modulustereken belül.

Bár Borinszkij és Vogtmann írása nem tartalmaz további utalásokat ezekről a kohomológiai órákról, ez biztató eredmény azoknak a kutatóknak, akik keresik őket – és talán még tovább fokozza a vadászat izgalmát. Margalit a kohomológiaórákról ezt mondta: „Ezek, akikről tudjuk, csak ezek a drágakövek. És valahányszor találunk egyet, ez gyönyörű dolog.”