Pengantar
Awal tahun ini, trio ahli matematika memutuskan untuk membuat lemon menjadi limun – dan akhirnya berhasil kemajuan besar pada masalah yang telah dipikirkan oleh matematikawan selama berabad-abad.
Ketiganya baru saja menyelesaikan sebuah proyek dan memikirkan langkah selanjutnya ketika, akhir Maret, dua dari mereka — Levent Alpoge dari Universitas Harvard dan Ari Shnidman dari Universitas Ibrani Yerusalem - tertular Covid-19, secara terpisah tetapi hampir bersamaan. Banyak orang akan beristirahat dalam keadaan seperti itu, tetapi anggota tim ketiga, Manjul Bhargava dari Universitas Princeton, mengusulkan sebaliknya. Meningkatkan pertemuan Zoom mingguan mereka menjadi tiga atau empat kali seminggu, menurutnya, dapat mengalihkan perhatian kolaboratornya yang sakit dari gejala mereka. Karantina, ketiganya memutuskan, bisa menjadi kesempatan untuk berpikir tanpa gangguan.
Selama pertemuan ini, mereka mempertimbangkan salah satu pertanyaan tertua dalam teori bilangan: Berapa banyak bilangan bulat yang dapat ditulis sebagai jumlah dari dua pecahan pangkat tiga, atau, sebagaimana ahli matematika menyebutnya, bilangan rasional? Angka 6 misalnya, bisa ditulis (17/21)3 + (37/21)3, sedangkan 13 = (7/3)3+(2/3)3.
Matematikawan telah menduga selama beberapa dekade bahwa setengah dari semua bilangan bulat dapat ditulis dengan cara ini. Sama seperti bilangan ganjil dan genap, sifat ini tampaknya membagi bilangan bulat menjadi dua kubu yang sama: kubu yang merupakan hasil penjumlahan dari dua kubus, dan kubu yang bukan.
Tapi tidak ada yang bisa membuktikan ini, atau bahkan memberikan batasan pada proporsi bilangan bulat yang termasuk dalam setiap kubu. Sejauh yang diketahui para matematikawan, kubu yang terdiri dari jumlah kubus rasional mungkin sangat kecil — atau mungkin berisi hampir setiap bilangan bulat. Matematikawan telah dihitung bahwa, jika sesuatu yang disebut dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer benar (seperti yang diyakini secara luas), sekitar 59% angka hingga 10 juta adalah jumlah dari dua kubus rasional. Tetapi data tersebut dapat, paling banter, menawarkan petunjuk tentang bagaimana perilaku garis bilangan lainnya.
Berbeda dengan angka ganjil dan genap, "kedua kubu ini halus," kata Barry Mazuro dari Harvard. Tidak ada tes untuk menentukan nomor mana yang termasuk dalam kubu mana yang diketahui berfungsi untuk semua nomor. Ahli matematika telah membuat tes yang merupakan kandidat kuat, tetapi untuk saat ini masing-masing memiliki beberapa kekurangan — ahli matematika tidak dapat membuktikan bahwa tes tersebut akan selalu mencapai kesimpulan, atau mereka tidak dapat membuktikan bahwa kesimpulannya benar.
Kesulitan dalam memahami jumlah kubus, dan persamaan kubik secara lebih umum, telah “memalukan berulang kali bagi ahli teori bilangan,” kata Bhargava. Dia memenangkan Fields Medal pada tahun 2014 sebagian untuk karyanya tentang solusi rasional ke persamaan kubik dikenal sebagai kurva eliptik, yang jumlah dari dua kubus adalah kasus khusus.
Sekarang, di kertas diposting online pada akhir Oktober, Alpöge, Bhargava dan Shnidman telah menunjukkan bahwa setidaknya 2/21 (sekitar 9.5%) dan paling banyak 5/6 (sekitar 83%) dari bilangan bulat dapat ditulis sebagai jumlah dari dua pecahan pangkat tiga.
Pertanyaan tentang jumlah kubus bukan hanya rasa ingin tahu. Kurva eliptik memiliki struktur yang sangat rumit yang telah mendorongnya ke pusat banyak bidang matematika murni dan terapan, terutama memungkinkan kriptografer membuat sandi yang kuat. Dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer, pertanyaan utama di bidang ini, memiliki hadiah $1 juta sebagai salah satu Masalah Hadiah Milenium Institut Matematika Tanah Liat.
Karya baru dibangun di atas seperangkat alat yang telah dikembangkan Bhargava selama 20 tahun terakhir, bersama dengan kolaborator, untuk jelajahi seluruh keluarga dari kurva eliptik. Memahami penjumlahan dua kubus berarti menganalisis keluarga yang jauh lebih kecil, dan “semakin kecil keluarga, semakin sulit masalahnya,” kata Peter Sarnak dari Institute for Advanced Study di Princeton.
Keluarga khusus ini tampaknya “jauh dari jangkauan,” tambah Sarnak. “Saya akan mengatakan, 'Itu terlihat terlalu keras, terlalu keras.'”
Transisi Fase
Berbeda dengan jumlah pecahan pangkat tiga, yang tampaknya berlimpah, hampir tidak ada bilangan bulat yang merupakan jumlah dari dua pecahan kuadrat. Pada awal 1600-an, matematikawan Albert Girard dan Pierre de Fermat telah menemukan tes sederhana untuk menentukan bilangan bulat mana yang merupakan jumlah dari dua kuadrat: Faktorkan bilangan Anda menjadi bilangan prima, lalu periksa eksponen dari setiap bilangan prima yang memiliki sisa 3 jika Anda membaginya dengan 4. Jika eksponen tersebut semuanya genap, angka Anda adalah jumlah dari dua pecahan kuadrat; jika tidak, tidak. Misalnya, 490 difaktorkan menjadi 21 × 51 × 72. Satu-satunya dari faktor-faktor ini yang memiliki sisa 3 ketika Anda membaginya dengan 4 adalah 7, dan 7 memiliki eksponen genap. Oleh karena itu, 490 adalah jumlah dari dua kuadrat (untuk yang penasaran, sama dengan 72 + 212).
Sebagian besar angka gagal dalam uji eksponen genap. Jika Anda memilih bilangan bulat secara acak, kemungkinan bahwa itu adalah jumlah dari dua pecahan kuadrat pada dasarnya nol. Matematikawan percaya bahwa hal yang sama berlaku untuk jumlah dari dua pecahan yang dipangkatkan empat, atau pangkat lima, atau pangkat apa pun yang lebih tinggi dari tiga. Hanya dengan jumlah kubus tiba-tiba ada kelimpahan.
Matematikawan terbiasa dengan persamaan kubik yang berperilaku berbeda dari semua kekuatan lainnya. Di antara persamaan yang terbuat dari dua variabel (seperti persamaan penjumlahan dua kubus), persamaan yang eksponen tertingginya adalah 1 atau 2 cenderung dipahami dengan baik — biasanya persamaan tersebut tidak memiliki solusi rasional atau banyak tak terhingga, dan biasanya mudah untuk beritahu yang mana. Sementara itu, persamaan yang eksponen tertingginya 4 atau lebih umumnya memiliki hanya percikan yang terbatas dari solusi rasional.
Persamaan kubik, sebaliknya, dapat memiliki banyak solusi, sangat banyak atau tidak sama sekali. Persamaan ini mewakili semacam transisi fase antara eksponen di bawah 3 dan eksponen di atas, menampilkan fenomena yang tidak pernah terlihat dalam pengaturan lain ini. “Kubus berbeda dalam segala hal,” kata Mazur.
Tidak seperti persamaan dengan eksponen yang lebih rendah, kubus sangat sulit untuk dipahami. Tidak ada metode menyeluruh untuk menemukan atau bahkan menghitung solusi rasional untuk kubik yang telah terbukti selalu berhasil.
"Bahkan dengan semua kekuatan komputasi yang kita miliki, jika Anda memberi saya kurva eliptik dengan koefisien yang sangat besar, saya tidak perlu tahu berapa banyak solusi rasional yang dimilikinya," kata Wei Ho, mantan murid Bhargava yang saat ini menjadi profesor tamu di Institut Studi Lanjutan.
Dalam soal penjumlahan dua pangkat tiga, pecahan yang terlibat bisa sangat besar: Angka 2,803, misalnya, adalah jumlah dari dua pecahan pangkat tiga yang penyebutnya masing-masing memiliki 40 angka. Dan begitu kita melihat angka dalam jutaan, kata Bhargava, banyak pecahan "akan melibatkan lebih banyak angka daripada yang bisa ditampung di semua kertas di dunia ini."
Matriks Pemetaan
Karena kurva eliptik sangat tidak dapat diatur, ahli teori bilangan mencari cara untuk menghubungkannya dengan objek yang lebih mudah diatur. April ini, ketika Alpöge dan Shnidman melawan Covid, mereka dan Bhargava membangun pekerjaan yang sebelumnya telah dilakukan dengan Ho dan menemukan bahwa setiap kali persamaan jumlah kubus memiliki solusi rasional, ada cara untuk membangun setidaknya satu khusus 2 matriks × 2 × 2 × 2 — analog empat dimensi dari matriks dua dimensi yang lebih dikenal. “Kami mulai menyusun rencana untuk menghitung matriks 2 × 2 × 2 × 2 ini,” tulis ketiganya.
Untuk melakukannya, tim menggunakan dua mata pelajaran klasik yang masing-masing telah dipelajari selama lebih dari satu abad. Salah satunya adalah "geometri angka", yang melibatkan cara menghitung titik kisi di dalam berbagai bentuk geometris. Topik ini telah menikmati kebangkitan di bidang kurva eliptik selama 20 tahun terakhir, sebagian besar berkat karya Bhargava dan kolaborator.
Teknik lainnya, yang dikenal sebagai metode lingkaran, berasal dari karya matematikawan legendaris India Srinivasa Ramanujan dan kolaborator lamanya GH Hardy pada awal abad ke-20. “Ini adalah aplikasi besar pertama yang menggabungkan metode lingkaran dengan teknik geometri bilangan ini,” kata Ho. "Bagian itu sangat keren."
Dengan menggunakan metode ini, ketiganya dapat menunjukkan bahwa setidaknya untuk 1/6 dari semua bilangan bulat, tidak ada matriks 2 × 2 × 2 × 2. Itu berarti bahwa untuk bilangan-bilangan tersebut, persamaan jumlah pangkat tiga tidak memiliki solusi rasional. Jadi tidak lebih dari 5/6 bilangan bulat, atau sekitar 83%, dapat menjadi jumlah kubus dari dua pecahan.
Dalam arah sebaliknya, mereka menemukan bahwa setidaknya 5/12 dari semua bilangan bulat memiliki tepat satu matriks yang cocok. Sangat menggoda untuk menyimpulkan bahwa angka-angka ini adalah jumlah dari dua kubus, tetapi itu tidak secara otomatis mengikuti. Setiap angka yang merupakan jumlah dari dua kubus memiliki matriks, tetapi itu tidak berarti kebalikannya benar: bahwa setiap angka dengan matriks adalah jumlah dari dua kubus.
Alpöge, Bhargava, dan Shnidman membutuhkan apa yang oleh para peneliti kurva eliptik disebut teorema konvers - sesuatu yang mengambil informasi tentang persamaan kubik dan menggunakannya untuk membangun solusi rasional. Teorema konvers membentuk subbidang yang berkembang dari teori kurva eliptik, sehingga ketiganya beralih ke dua praktisi ahli subbidang tersebut — Ashay Burungale dari University of Texas, Austin dan Princeton. Burungale dan Skinner mampu menunjukkan bahwa, setidaknya untuk beberapa waktu, jika suatu bilangan bulat memiliki satu matriks yang berasosiasi, maka bilangan tersebut haruslah merupakan penjumlahan dari dua kubus rasional. Teorema mereka, yang pada dasarnya membuktikan potongan yang relevan dari dugaan Birch dan Swinnerton-Dyer, muncul di makalah sebagai lampiran tiga halaman, yang digambarkan Sarnak sebagai luar biasa.
Burungale dan Skinner tidak membuktikan teorema mereka untuk setiap bilangan bulat dengan tepat satu matriks — mereka harus menerapkan syarat teknis yang mengurangi himpunan bagian 5/12 menjadi 2/21, atau sekitar 9.5%, dari semua bilangan bulat. Tapi Bhargava optimis bahwa Burungale dan Skinner, atau peneliti lain di daerah mereka, akan mencapai sisa 5/12 (sekitar 41% secara keseluruhan) dalam waktu yang terlalu lama. “Teknik mereka semakin kuat,” kata Bhargava.
Membuktikan dugaan penuh - bahwa tepat setengah dari semua bilangan bulat adalah jumlah dari dua kubus - pada akhirnya akan membutuhkan penanganan himpunan angka yang memiliki lebih dari satu matriks terkait. Himpunan ini, yang oleh Bhargava disebut "sangat kabur", mencakup kedua angka yang merupakan jumlah dari dua kubus dan yang bukan. Penanganan angka seperti itu akan membutuhkan ide yang sama sekali baru, katanya.
Untuk saat ini, para peneliti senang akhirnya menyelesaikan pertanyaan untuk sebagian besar bilangan bulat, dan sangat ingin menyelidiki teknik dalam pembuktian lebih lanjut. “Itu salah satu hal yang indah: Anda dapat menjelaskan hasilnya dengan sangat mudah, tetapi alatnya sangat, sangat canggih dalam teori bilangan,” kata Sarnak.
