Introduzione
Nel dicembre 1977, un rivoluzionario carta apparve tranquillamente nel Journal d'Analyse Mathématique, una rivista specializzata in matematica. L'autore, Hillel Furstenberg, non ha affermato alcun risultato entusiasmante, o addirittura nuovo. Aveva semplicemente offerto la dimostrazione di un teorema che un altro matematico, Endre Szemerédi, aveva già dimostrato due anni prima.
Nonostante ciò, l'articolo di Furstenberg lasciò un'impronta duratura nella matematica. La sua nuova argomentazione conteneva un nocciolo di intuizione con conseguenze di vasta portata: si potevano riformulare problemi come quello risolto da Szemerédi, sugli insiemi di numeri interi, in domande sui punti che si muovono nello spazio.
Da allora le tecniche di Furstenberg sono state utilizzate più e più volte e, poco a poco, sono state adattate e migliorate. All'inizio di quest'anno, sono stati potenziati, apparendo in due nuovi articoli che scoprono infiniti modelli in insiemi di numeri interi, progredendo a passi da gigante oltre il teorema di Szemerédi, vecchio di 47 anni.
La prova di Furstenberg
Szemerédi stava esaminando gli insiemi che contengono una “frazione positiva” di tutti i numeri interi. Prendiamo, ad esempio, l'insieme contenente tutti i multipli di 5. Mentre osserviamo aree sempre più grandi della linea numerica, i multipli di 5 continuano ad apparire regolarmente. I matematici dicono che l'insieme contenente tutti i multipli di 5 ha la frazione di un quinto di tutti i numeri interi.
Al contrario, sebbene esista un numero infinito di numeri primi, essi diventano così rari man mano che i numeri diventano più grandi che l'insieme di tutti i numeri primi non contiene una frazione positiva degli interi o, in altre parole, non ha una densità positiva . Si dice invece che i numeri primi abbiano densità zero.
Szemerédi cercava esempi delle cosiddette progressioni aritmetiche, o catene di numeri equidistanti. Ad esempio, immagina di avere una sequenza infinita di numeri come i quadrati perfetti: {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}. I quadrati perfetti hanno una progressione aritmetica di lunghezza tre nascosta nei primi termini: {1, 25, 49}. Ogni numero in questa progressione è 24 in più rispetto al suo predecessore.
Szemerédi dimostrò che qualsiasi insieme comprendente una frazione positiva di numeri interi deve contenere progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe. Il risultato fu una pietra miliare nel sottocampo della matematica chiamato combinatoria additiva.
La dimostrazione di Szémeredi, benché brillante, era quasi impossibile da seguire. "Fino ad oggi, penso che ci siano forse solo tre o quattro persone che capiscono veramente la dimostrazione [di Szemerédi]", ha detto Terence tao, matematico dell'Università della California, Los Angeles.
Quindi l'argomentazione più comprensibile di Furstenberg era benvenuta. Per scriverlo, Furstenberg si è affidato a metodi propri del suo campo matematico, ai sistemi dinamici. Un sistema dinamico è qualsiasi processo che cambia nel tempo. Potrebbe trattarsi di qualcosa di semplice come una palla da biliardo che rotola attorno a un tavolo da biliardo. Tutto ciò di cui hai bisogno è un modo per rappresentare matematicamente il tuo sistema e una regola su come si evolve. Una palla, ad esempio, può essere descritta dalla sua posizione e velocità. Quel sistema progredisce in un modo prescritto nel tempo, seguendo le leggi della fisica classica.
Furstenberg era molto interessato a qualcosa chiamato teoria ergodica. Invece di guardare allo stato di un sistema in un dato momento, i teorici ergodici studiano le statistiche su lunghi periodi. Per una palla da biliardo, ciò potrebbe significare capire se la palla finisce più in alcuni punti del tavolo che in altri a causa del modo in cui tende a rimbalzare sulle pareti.
L'idea chiave di Furstenberg era quella di considerare gli insiemi di numeri interi non come oggetti fissi, ma come stati momentanei in un sistema dinamico. Potrebbe sembrare un piccolo cambiamento di prospettiva, ma gli ha permesso di utilizzare gli strumenti della teoria ergodica per dimostrare i risultati in combinatoria. A quel tempo Furstenberg non aveva idea che le sue idee avrebbero preso vita propria. "Era solo che mi piaceva avere quest'altra prova", ha detto. Ma altri videro la promessa del collegamento tra teoria ergodica e calcolo combinatorio. "Un'intera generazione di teorici ergodici ha iniziato a dedicarsi alla combinatoria e a risolvere tutti questi problemi, e viceversa", ha detto Tao.
Negli ultimi anni, quattro matematici: Bryna Kra, Gioele Moreira, Florian Richter ed Donald Robertson - hanno sviluppato le tecniche di Furstenberg per trovare non solo progressioni arbitrariamente lunghe all'interno di qualsiasi insieme contenente una frazione positiva di numeri interi, ma versioni infinite di strutture chiamate insiemi.
“Gli insiemi sono molto meno specifici delle progressioni; hanno un aspetto molto meno speciale", ha detto Robertson. "Ma è più interessante e più delicato, perché gli insiemi sono configurazioni infinite, mentre le progressioni sono finite."
Se Furstenberg ha costruito un ponte tra la teoria ergodica e la combinatoria, Kra, Moreira, Richter e Robertson lo hanno ampliato fino a trasformarlo in “un’autostrada a sei corsie”, ha detto Tao.
B + C congettura
Il teorema di Szemerédi fu proposto per la prima volta, ma non dimostrato, nel 1936 da due matematici. Uno di loro era un matematico ungherese famoso per fare congetture: Paul Erdős. Nel 2016, mentre Moreira stava lavorando alla sua tesi di dottorato presso la Ohio State University, si è imbattuto in un'altra congettura fatta da Erdős sulle strutture chiamate sumset.
Un sommario è composto da altri due insiemi; chiamali B ed C. La somma, scritta come B + C, è costruito sommando insieme tutte le possibili coppie di numeri, prendendo un numero da B e l'altro da C. Erdős lo ha ipotizzato per qualsiasi set A che contiene una frazione positiva di interi, esistono altri insiemi infiniti B ed C il cui insieme è contenuto all'interno A. Nell'articolo che Moreira stava leggendo, gli autori avevano dimostrato la congettura di Erdős quando A contiene una grande frazione di numeri interi. Ma per insiemi di densità positiva più piccoli, il risultato era ancora sconosciuto. "Non appena ho letto la dichiarazione, ho pensato che fosse davvero una buona domanda, perché è così semplice", ha detto Moreira. “O è falso, oppure non dovrebbe essere difficile. Il che ovviamente era sbagliato. Non è stato né falso né facile”.
Moreira coinvolse nel progetto Richter e Robertson, suoi amici della scuola di specializzazione. Robertson, ora all'Università di Manchester, si era laureato un anno prima di Moreira, e Richter era un paio d'anni indietro. Tutti e tre erano esperti nell'applicazione delle tecniche della teoria ergodica alla combinatoria. Ma questo problema ha posto nuove sfide.
"Non c'erano praticamente precedenti per trovare insiemi infiniti all'interno di un insieme di densità positiva", ha detto Daniele Glasscock, un matematico dell'Università del Massachusetts, Lowell che frequentò la scuola di specializzazione con Moreira, Richter e Robertson.
Forse per questo motivo il problema della somma si è rivelato difficile da risolvere. "Dobbiamo forzare un po' la teoria ergodica a emergere", ha detto Moreira. I loro sforzi alla fine furono ripagati, e in cosa Marcin Saok della McGill University hanno definito un “risultato sorprendente”, sono riusciti a dimostrare la congettura di Erdős nel 2018. La loro dimostrazione è stata successivamente pubblicato nella Annali di matematica, una delle riviste di matematica più prestigiose.
Le nuove prove
Quel documento lasciava aperte due grandi domande. Una di queste era un'altra congettura sommaria di Erdős chiamata the B + B + t congetturare.
Anche Moreira, Richter e Robertson avevano posto una loro domanda: se si dispone di un insieme di densità positiva A, riesci a trovare tre insiemi infiniti — B, C e adesso D - where B + C + D è dentro A? Che ne dici di quattro insiemi infiniti? Cinque?
Dopo aver posato la versione multi-set, i matematici sono rimasti bloccati per un po'. Sembrava che le tecniche usate per la congettura dei due insiemi avessero raggiunto il loro limite.
"Non siamo riusciti a trovare una riformulazione dinamica di questo problema", ha detto Richter. Il loro approccio, ha detto, “ha fallito proprio all’inizio”.
Passarono due anni prima che si vedessero reali progressi. A questo punto, Richter era un ricercatore post-dottorato presso la Northwestern University, dove Bryna Kra era un professore. Nel 2020, impossibilitati a incontrarsi di persona a causa della pandemia di Covid-19, Kra e Richter si sono ritrovati a discutere del problema della somma su Zoom.
"Alla fine, abbiamo trovato altre varianti che abbiamo capito", ha detto Kra.
Kra e Richter hanno iniziato a parlare con Moreira e Robertson ogni settimana, riesaminando la dimostrazione del 2018.
"Quello che dovevamo fare è ripensare ogni fase della dimostrazione, a partire dalla traduzione in un sistema dinamico", ha detto Kra.
Utile alla loro causa è stato un 2019 carta da un matematico francese di nome Bernardo Ostia. Il presentatore aveva riprovato il risultato di Moreira, Richter e Robertson e aveva scoperto come far funzionare la teoria ergodica. Secondo Moreira, Host "ha visto come scrivere la nostra dimostrazione nel modo in cui avrebbe dovuto essere scritta".
Con i miglioramenti di Host in mano, Kra, Moreira, Richter e Robertson continuarono a modificare la loro dimostrazione, cercando di estrarre l'argomentazione più semplice ed elegante possibile. "Lo stavamo semplicemente analizzando, immagino, ancora e ancora, per vedere davvero: qual è il nocciolo della questione?" disse Richter. "Alla fine, avevamo una dimostrazione che aveva pochissima somiglianza con la dimostrazione iniziale."
La dimostrazione a cui arrivarono, come quella di Furstenberg, considerava gli insiemi infiniti di numeri interi come timestamp in un sistema dinamico. Questo sistema dinamico, tuttavia, è meglio immaginarlo come punti che saltano nello spazio.
Ecco un'immagine approssimativa di come funziona: inizia stando in un angolo di una stanza chiusa, chiamalo Angolo 0. Sei dotato di un elenco di orari A. Quel set, A, è un insieme di numeri interi a densità positiva.
Sei anche dotato di una regola per muoverti nella stanza. Ogni secondo ti sposti in un nuovo punto, in base a dove ti trovavi. La regola esatta che seguirai sarà progettata per corrispondere al tuo set di tempi A - ogni volta che è presente il timestamp A, ti ritroverai in una zona speciale della stanza.
Ad esempio, diciamo A è composto da tutti i numeri divisibili per 4 e ogni secondo ti sposti in senso orario fino all'angolo successivo della stanza. Dopo un secondo ti sposti alla curva 1; dopo due secondi, Angolo 2 e così via. Quindi, ogni quattro passaggi, ovvero per ogni volta che è presente un — sarai tornato all'angolo 0 originale.
Questo processo va avanti per sempre. Viaggiando da un angolo all'altro in senso orario, visiterai ogni angolo infinite volte. Un punto al quale ti avvicini un numero infinito di volte si chiama punto di accumulazione.
Kra, Moreira, Richter e Robertson hanno dimostrato che puoi scegliere abilmente uno di questi spot per trovare il tuo risultato B + C. Nell'esempio dell'angolo, prendi l'angolo 1. Arrivi lì agli orari 1, 5, 9 e 13 - orari che sembrano 4n + 1 per qualche numero intero n. Permettere B essere l'insieme di quei tempi.
Ora immagina che invece di iniziare dalla curva 0, inizi dalla curva 1. Ciò significa che a volte divisibile per 4, ti ritroverai di nuovo alla curva 1, e arriverai alla curva 0 tre passi dopo: a volte 3, 7, 11 o qualsiasi numero del modulo 4n + 3. Chiama l'insieme di quei tempi C.
Ora, avvia nuovamente il processo dall'angolo 0. Questa volta, guarda cosa succede se prendi un numero da B e un numero da C - diciamo, 13 da B e 3 da C - e sommarli.
Ciò richiederebbe 13 + 3 = 16 secondi. Dato che 16 è un multiplo di 4, è presente A. Ma puoi anche prevedere che 13 + 3 sarà divisibile per 4, e quindi avremo A, senza effettivamente sommare 13 e 3 insieme. Basta seguire cosa succede nel sistema dinamico quando aspetti 13 + 3 secondi: innanzitutto passano 13 secondi. A quel punto ti ritrovi nella curva 1. Poi, partendo dalla curva 1, fai altri tre passi, che ti riportano alla curva 0. Dato che sei partito dalla curva 0 e sei finito lì, devi aver aspettato un multiplo di quattro secondi, il che significa che la quantità di tempo totale era un numero nel set originale A.
Per far funzionare questa argomentazione, il gruppo ha dovuto occuparsi di molti dettagli matematici complessi. Ad esempio, nella maggior parte dei casi hai a disposizione un numero infinito di punti in cui spostarti, non solo quattro angoli. Ciò significa che in realtà non tornerai in un punto infinite volte; ti avvicinerai solo infinite volte. Ciò introdusse nuove complicazioni matematiche nell’argomentazione. Ma una volta capito come avrebbe funzionato il processo, sapevano che sarebbero stati in grado di affrontare le domande più difficili che stavano cercando.
"Abbiamo fornito questa prova qui ed è stato subito chiaro come generalizzarla", ha detto Richter, che ora lavora al Politecnico federale di Losanna. Per dimostrare la versione multi-insieme della congettura, ad esempio, i ricercatori potrebbero semplicemente aggiungere un punto di accumulazione al percorso. L'argomento generale era lo stesso, solo con un nuovo livello di complicazione.
Sbrogliare tutti gli aspetti tecnici non è stato facile. Dopo aver stabilito la loro configurazione dinamica, Kra, Moreira, Richter e Robertson hanno impiegato più di un anno per elaborare le prove delle congetture più difficili. Nel giugno di quest'anno, il gruppo ha finalmente pubblicato due articoli. Uno ha dimostrato la versione multi-insieme della congettura dell'insieme. L'altra ha dimostrato il B + B + t versione della congettura, che richiede che il secondo insieme C essere uguale al primo insieme B, spostato da una costante, t.
Passi successivi
Sebbene gli articoli di giugno risolvano due questioni relative agli insiemi, Kra, Moreira, Richter e Robertson prevedono un lungo futuro per la loro linea di ricerca. “Come per tutto ciò che Erdős ha chiesto, vuole solo che mettiamo piede nella porta”, ha detto Moreira, ora all’Università di Warwick. “Ma ora dobbiamo aprire la porta ed esplorare cos’altro c’è”.
Nei loro nuovi articoli, i quattro matematici espongono diverse possibili direzioni di esplorazione, sotto forma di domande ancora senza risposta. Si fa affidamento sul fatto che, sebbene qualsiasi insieme di densità positiva A contiene una somma infinita B + C, non contiene necessariamente i due componenti B ed C. Quando puoi insistere su questo punto? B ed C deve essere contenuto anche all'interno A? Gli autori sfidano inoltre i matematici a capire se riescono a trovare una sequenza infinita di insiemi infiniti i cui insiemi sono contenuti in A.
Matt Bowen, uno studente laureato di Sabok alla McGill University, ha già risposto ad un'altra domanda aperta in questo campo. Nel mese di ottobre, lui postato una prova che se assegni a ogni intero uno di pochi colori, puoi trovare una somma B + C e un prodotto di insiemi BC all'interno di uno solo dei colori.
Non si sa ancora esattamente dove porterà il nuovo lavoro di Kra, Moreira, Richter e Robertson. Ma Tao, almeno, è ottimista riguardo alle nuove tecniche sviluppate dal gruppo. Ciò che ottengono con i loro metodi è “in realtà piuttosto sorprendente”, ha detto. "Ci sono altre domande che coinvolgono insiemi infiniti che prima erano considerate senza speranza, ora a portata di mano."
