Quattordici anni fa, i matematici Dusa McDuff ed Felix Schlenk inciampato in un giardino geometrico nascosto che solo ora sta cominciando a fiorire. I due erano interessati a un certo tipo di forma oblunga, che potesse essere strizzata e piegata in modi molto particolari e infilata all'interno di una palla. Si chiedevano: per una certa forma, quanto deve essere grande la palla?
Quando i loro risultati iniziarono a cristallizzarsi, all'inizio non notarono i modelli sorprendenti che emergevano. Ma un collega che ha esaminato il loro lavoro ha individuato il famoso Numeri di Fibonacci — un elenco le cui voci sono apparse più e più volte in natura e nel corso di secoli di matematica. Sono strettamente legati, ad esempio, all'esaltato rapporto aureo, studiato nell'arte, nell'architettura e nella natura sin dagli antichi greci.
I numeri di Fibonacci "rendono sempre felici i matematici", ha affermato Tara Holm, un matematico alla Cornell University. La loro apparizione nel lavoro di McDuff e Schlenk, ha aggiunto, era "un'indicazione che c'è qualcosa lì".
Il loro risultato fondamentale è stato pubblicato nel 2012 nel Annali di matematica, ampiamente considerata la prima rivista nel settore. Ha rivelato l'esistenza di strutture simili a scale con infiniti gradini. La dimensione di ogni gradino in queste "scale infinite" era un rapporto di numeri di Fibonacci.
Man mano che la scala saliva, i gradini diventavano sempre più piccoli, la parte superiore della scala si schiacciava contro la sezione aurea. Né il rapporto aureo né i numeri di Fibonacci hanno alcuna relazione apparente con il problema di adattare una forma all'interno di una palla. È stato strano trovare questi numeri in agguato all'interno del lavoro di McDuff e Schlenk.
Poi all'inizio di quest'anno, McDuff ha scoperto un altro indizio su questo mistero. Lei e molti altri hanno rivelato non solo infinite più scale, ma intricate strutture frattali. I loro risultati "non sono qualcosa che mi aspettavo lontanamente di vedere sorgere naturalmente in questo tipo di problema", ha affermato Michele Usher, professore all'Università della Georgia.
Il lavoro ha rivelato schemi nascosti in aree della matematica apparentemente non correlate, un segno affidabile che qualcosa di importante è in corso.
La forma del movimento
Questi problemi non si verificano nel mondo familiare della geometria euclidea, dove gli oggetti mantengono la loro forma. Invece, operano secondo le strane regole della geometria simplettica, dove le forme rappresentano i sistemi fisici. Consideriamo ad esempio un semplice pendolo. In un dato momento, lo stato fisico del pendolo è definito da dove si trova e dalla velocità con cui sta andando. Se tracciate tutte le possibilità per questi due valori - la posizione e la velocità del pendolo - otterrete una forma semplicistica che assomiglia alla superficie di un cilindro infinitamente lungo.
Puoi modificare forme semplicistiche, ma solo in modi molto particolari. Il risultato finale deve riflettere lo stesso sistema. L'unica cosa che può cambiare è come lo misuri. Queste regole assicurano di non scherzare con la fisica sottostante.
McDuff e Schlenk stavano cercando di capire quando potevano inserire un ellissoide simplettico - una massa allungata - all'interno di una palla. Questo tipo di problema, noto come problema di incorporamento, è piuttosto semplice nella geometria euclidea, dove le forme non si piegano affatto. È anche semplice in altri sottocampi della geometria, dove le forme possono piegarsi quanto vuoi purché il loro volume non cambi.
La geometria simplettica è più complicata. Qui, la risposta dipende dall'"eccentricità" dell'ellissoide, un numero che rappresenta quanto è allungato. Una forma lunga e sottile con un'elevata eccentricità può essere facilmente piegata in una forma più compatta, come un serpente che si attorciglia. Quando l'eccentricità è bassa, le cose sono meno semplici.
McDuff e Schlenk 2012 carta ha calcolato il raggio della pallina più piccola che potrebbe adattarsi a vari ellissoidi. La loro soluzione somigliava a una scala infinita basata sui numeri di Fibonacci, una sequenza di numeri in cui il numero successivo è sempre la somma dei due precedenti.
Dopo che McDuff e Schlenk hanno svelato i loro risultati, i matematici si sono chiesti: e se provassi a incorporare il tuo ellissoide in qualcosa di diverso da una palla, come un cubo quadridimensionale? Sarebbero spuntate altre scale infinite?
Una sorpresa frattale
I risultati sono arrivati quando i ricercatori hanno scoperto alcune scale infinite qui, alcune in più lì. Poi, nel 2019, l'Association for Women in Mathematics ha organizzato una settimana laboratorio nella geometria simplettica. All'evento, Holm e il suo collaboratore Ana Rita Pires mettere insieme un gruppo di lavoro che includeva McDuff e Morgan Weiler, un dottorato di ricerca appena laureato. dell'Università della California, Berkeley. Hanno deciso di incorporare ellissoidi in un tipo di forma che ha infinite incarnazioni, consentendo loro alla fine di produrre infinite scale.
Per visualizzare le forme studiate dal gruppo, ricorda che le forme simplettiche rappresentano un sistema di oggetti in movimento. Poiché lo stato fisico di un oggetto utilizza due quantità — posizione e velocità — le forme simplettiche sono sempre descritte da un numero pari di variabili. In altre parole, sono pari-dimensionali. Poiché una forma bidimensionale rappresenta solo un oggetto che si muove lungo un percorso fisso, le forme quadridimensionali o più sono le più intriganti per i matematici.
Ma le forme quadridimensionali sono impossibili da visualizzare, limitando gravemente il kit di strumenti dei matematici. Come rimedio parziale, i ricercatori a volte possono disegnare immagini bidimensionali che catturano almeno alcune informazioni sulla forma. Secondo le regole per la creazione di queste immagini 2D, una palla quadridimensionale diventa un triangolo rettangolo.
Le forme analizzate dal gruppo di Holm e Pires sono chiamate superfici di Hirzebruch. Ogni superficie di Hirzebruch si ottiene tagliando l'angolo superiore di questo triangolo rettangolo. Un numero, b, misura quanto hai tagliato. quando b è 0, non hai tagliato nulla; quando è 1, hai cancellato quasi l'intero triangolo.
Inizialmente, gli sforzi del gruppo sembravano difficilmente dare frutti. "Ci abbiamo lavorato una settimana e non abbiamo trovato nulla", ha detto Weiler, che ora è un post-dottorato alla Cornell. All'inizio del 2020, non avevano ancora fatto molti progressi. McDuff ha ricordato uno dei suggerimenti di Holm per il titolo del documento che avrebbero scritto: "No Luck in Finding Staircases".
Ma il gruppo alla fine ha trovato la sua posizione e nell'ottobre 2020 lo hanno fatto pubblicato un giornale che ha scavato infinite scale per certi valori di b.
Lo scorso marzo, McDuff, Weiler e Nicki Magill — uno studente di Holm che ha iniziato a lavorare con McDuff durante la pandemia di coronavirus — postato un preprint in cui hanno quasi completato il progetto di analisi degli incorporamenti di ellissoidi nelle superfici di Hirzebruch. "È incredibile", ha detto Holm. "È così bello."
Quando lo fecero, sorse un'altra sorpresa. Se guardi tutti i valori di b per la quale appare una scala infinita, ottieni ancora un'altra struttura frattale - una disposizione di punti con Caratteristiche che sfidano il buon senso. Chiamato insieme di Cantor, ha più punti dei numeri razionali, ma in qualche modo i punti dell'insieme di Cantor sono più sparsi.
"Hanno davvero sviluppato questa bellissima immagine con le simmetrie delle scale che sto ancora cercando di assorbire completamente", ha detto Daniel Cristofaro-Gardiner, un matematico presso l'Università del Maryland.
Sebbene il nuovo lavoro abbia prodotto scale più infinite di qualsiasi risultato precedente, gli incastri simplettici e le scale che li accompagnano rimangono per lo più un mistero, poiché le superfici di Hirzebruch comprendono solo una piccola parte delle possibili forme simplettiche. "Mi sento ancora come se fossimo un po' nel bosco e non siamo ancora arrivati al livello delle nuvole dove possiamo vedere l'intero quadro", ha detto Holm. "È un momento emozionante, perché penso che ci arriveremo".
