Teoria quantistica dei campi Pries Apri il puzzle matematico

Il mese scorso, Karen Vogtmann ed Michele Borinsky pubblicato una prova che esiste un carico di strutture matematiche all'interno di un mondo matematico finora inaccessibile chiamato spazio dei moduli dei grafici, che Vogtmann e un collaboratore descritta per la prima a metà degli 1980.

“È un problema difficilissimo. È sorprendente che ci siano riusciti", ha detto Dan Margalit, matematico del Georgia Institute of Technology.

Vogtmann e Borinsky iniziarono con domande che Vogtmann, matematica dell'Università di Warwick, si poneva da decenni. La coppia ha poi reinventato la questione nel linguaggio della fisica, utilizzando tecniche della teoria quantistica dei campi per ottenere il risultato.

La dimostrazione dimostra che esistono certe strutture nello spazio dei moduli, ma non rivela esplicitamente quali siano quelle strutture. In questo modo, il loro nuovo risultato è più simile a un metal detector che a una macchina fotografica: li avvisa che si nasconde qualcosa di interessante, anche se non riescono a descriverlo completamente.

Puoi pensare agli spazi dei moduli dei grafici come forme matematiche con decorazioni aggiunte. Se ti trovi in ​​qualsiasi punto della forma, vedrai un grafico fluttuare sopra di te: una raccolta di punti, o vertici, collegati da bordi. In posizioni diverse sullo spazio dei moduli, i grafici cambiano, i loro bordi si restringono o crescono e talvolta scompaiono del tutto. A causa di queste caratteristiche, Borinsky, fisico matematico del Politecnico federale di Zurigo, descrive gli spazi dei moduli come “un grande mare di grafici”.

Il “rango” di un grafico è il numero di cicli che ha; per ogni rango di grafi esiste uno spazio dei moduli. La dimensione di questo spazio cresce rapidamente: se si fissano le lunghezze dei bordi del grafico, ci sono tre grafici di rango 2, 15 di rango 3, 111 di rango 4 e 2,314,204,852 di rango 10. Nello spazio dei moduli, queste lunghezze possono variare, introducendo ancora più complessità.

La forma dello spazio dei moduli per i grafici di un dato rango è determinata dalle relazioni tra i grafici. Mentre cammini nello spazio, i grafici vicini dovrebbero essere simili e dovrebbero trasformarsi gradualmente l'uno nell'altro. Ma queste relazioni sono complicate, lasciando lo spazio dei moduli con caratteristiche matematicamente inquietanti, come regioni in cui tre pareti dello spazio dei moduli passano l'una attraverso l'altra.

I matematici possono studiare la struttura di uno spazio o di una forma utilizzando oggetti chiamati classi di coomologia, che possono aiutare a rivelare come è composto uno spazio. Consideriamo, ad esempio, una delle forme preferite dai matematici, la ciambella. Sulla ciambella, le classi di coomologia sono semplicemente dei cicli.

Si possono disegnare diversi tipi di anelli sulla superficie della ciambella: l'anello 1 circonda il foro centrale della ciambella; far passare 2 fili attraverso il foro; il terzo anello “banale” si trova sul lato della ciambella.

Tuttavia, non tutte le classi di coomologia sono uguali. Un anello posizionato all'esterno della ciambella, come il terzo anello, può sempre scorrere o restringersi per evitare di intersecare un altro anello. Ciò la rende una classe di coomologia “banale”.

Ma i circuiti 1 e 2 dicono molto di più sulla struttura della ciambella: esistono solo a causa del buco. Per discernere matematicamente la differenza, puoi usare le intersezioni, ha spiegato Margalit. Gli anelli 1 e 2 possono scivolare sulla superficie della ciambella, ma a meno che non li costringi a staccarsi del tutto dalla superficie, si intersecheranno sempre. Poiché questi due cicli presentano partner che non possono fare a meno di incrociare, sono classi di coomologia “non banali”.

A differenza di una ciambella, i matematici non possono trovare classi di coomologia sugli spazi dei moduli dei grafici semplicemente disegnando un'immagine. Con un numero così elevato di grafici, è difficile gestire gli spazi dei moduli, ha affermato Nathalie Wahl, matematica dell'Università di Copenaghen. "Molto rapidamente, il computer non può più aiutare", ha detto. In effetti, è stata creata solo una classe di coomologia non banale a dimensione dispari calcolato esplicitamente (in 11 dimensioni), insieme ad una manciata di dimensioni pari.

Ciò che Vogtmann e Borinsky hanno dimostrato è che esiste un numero enorme di classi di coomologia che si trovano nello spazio dei moduli dei grafi di un dato rango, anche se non riusciamo a trovarle. “Sappiamo che ce ne sono tonnellate, e ne conosciamo uno”, ha detto Wahl, definendo la situazione “ridicola”.

Invece di lavorare direttamente con le classi di coomologia, Borinsky e Vogtmann studiarono un numero chiamato caratteristica di Eulero. Questo numero fornisce un tipo di misura dello spazio dei moduli. È possibile modificare lo spazio dei moduli in determinati modi senza modificarne la caratteristica di Eulero, rendendo la caratteristica di Eulero più accessibile delle classi di coomologia stesse. E questo è ciò che hanno fatto Borinsky e Vogtmann. Invece di lavorare direttamente con lo spazio dei moduli dei grafici, hanno studiato la “spina dorsale”, essenzialmente uno scheletro dello spazio complessivo. La colonna vertebrale ha la stessa caratteristica di Eulero dello spazio dei moduli stesso ed è più facile da lavorare. Per calcolare la caratteristica di Eulero sulla colonna vertebrale è stato necessario contare un'ampia raccolta di coppie di grafici.

L'intuizione di Borinsky è stata quella di utilizzare tecniche per contare i diagrammi di Feynman, che sono grafici che rappresentano i modi in cui le particelle quantistiche interagiscono. Quando i fisici vogliono calcolare, ad esempio, le probabilità che una collisione tra un elettrone e un positrone produca due fotoni, devono somma di tutte le possibili interazioni che portano a quel risultato. Ciò significa fare la media su molti diagrammi di Feynman, motivando strategie di conteggio intelligenti.

"Mi sono reso conto che è possibile formulare questo tipo di problema come una sorta di universo giocattolo della teoria quantistica dei campi", ha spiegato Borinsky.

Borinsky immaginava che i grafici rappresentassero i sistemi fisici in una versione semplice dell'universo, in cui, tra le altre ipotesi, esiste un solo tipo di particella. La struttura della teoria quantistica dei campi necessitava di qualche aggiustamento affinché Borinsky e Vogtmann ottenessero il giusto conteggio. Ad esempio, nella teoria quantistica dei campi, due grafici che sono l’immagine speculare l’uno dell’altro sono indistinguibili, ha detto Borinsky. Le formule per sommare i diagrammi di Feynman includono fattori che garantiscono che questi grafici non vengano conteggiati in modo eccessivo. Ma quando si tratta di calcolare la caratteristica di Eulero, questi grafici sono considerati diversi. “Dobbiamo fare un piccolo gioco con le simmetrie dei grafici”, ha detto Borinsky.

Con qualche aiuto di programmazione da parte del fisico Jos Vermaseren, Borinsky e Vogtmann superarono finalmente questa difficoltà. Nel loro articolo di gennaio, hanno dimostrato che la caratteristica di Eulero dello spazio dei moduli dei grafi di rango n diventa massicciamente negativo come n diventa più grande. Ciò implica che ci sono molte, molte classi di coomologia non banali da scoprire all'interno di ciascuno spazio di moduli.

Sebbene l’articolo di Borinsky e Vogtmann non contenga ulteriori indizi su queste classi di coomologia, si tratta di un risultato incoraggiante per i ricercatori che cercano di trovarle – e forse aumenta il brivido della caccia. Margalit ha detto delle lezioni di coomologia: “Quelle che conosciamo sono proprio queste gemme. E ogni volta che ne troviamo uno, è una cosa bellissima”.