1Google Inc., Venezia, CA 90291, USA
2Centro di fisica teorica, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA 02139, USA
3Dipartimento di Fisica, Università di Harvard, Cambridge, MA 02138, USA
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Astratto
L'algoritmo di ottimizzazione quantistica approssimativa (QAOA) è un algoritmo generico per problemi di ottimizzazione combinatoria le cui prestazioni possono migliorare solo con il numero di livelli $p$. Sebbene QAOA sia promettente come algoritmo che può essere eseguito su computer quantistici a breve termine, la sua potenza di calcolo non è stata completamente esplorata. In questo lavoro, studiamo il QAOA applicato al modello Sherrington-Kirkpatrick (SK), che può essere inteso come minimizzazione dell'energia di spin $n$ con accoppiamenti casuali con segno tutto-a-tutto. Esiste un recente algoritmo classico di Montanari che, assumendo una congettura ampiamente diffusa, può trovare efficientemente una soluzione approssimativa per un'istanza tipica del modello SK entro $(1-epsilon)$ volte l'energia dello stato fondamentale. Speriamo di eguagliare le sue prestazioni con il QAOA.
Il nostro risultato principale è una nuova tecnica che ci permette di valutare l'energia di istanza tipica del QAOA applicata al modello SK. Produciamo una formula per il valore atteso dell'energia, in funzione dei parametri $2p$ QAOA, nel limite di dimensione infinita che può essere valutato su un computer con complessità $O(16^p)$. Valutiamo la formula fino a $p=12$ e troviamo che il QAOA a $p=11$ supera l'algoritmo di programmazione semidefinito standard. Inoltre, mostriamo la concentrazione: con una probabilità che tende a uno come $ntoinfty$, le misurazioni del QAOA produrranno stringhe le cui energie si concentrano al nostro valore calcolato. Essendo un algoritmo in esecuzione su un computer quantistico, non è necessario cercare i parametri ottimali istanza per istanza poiché possiamo determinarli in anticipo. Quello che abbiamo qui è un nuovo framework per analizzare il QAOA e le nostre tecniche possono essere di ampio interesse per valutarne le prestazioni su problemi più generali in cui gli algoritmi classici potrebbero fallire.
Immagine di presentazione: i valori raggiunti dal QAOA applicati al problema della minimizzazione dell'energia del modello del vetro spin di Sherrington-Kirkpatrick (SK). I valori per la profondità $ple8$ si basano sull'ottimizzazione dei parametri QAOA. I valori per $9le p le 12$ derivano dalla valutazione del QAOA ad alcuni parametri estrapolati da quelli a $p$ più bassi ma non ulteriormente ottimizzati. A $p=11$ e oltre, il QAOA supera il valore raggiunto dall'algoritmo di programmazione semidefinita standard (SDP).
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