תורת שדות קוונטים Pries פתח פאזל מתמטי

בחודש שעבר, קארן ווגטמן ו מיכאל בורינסקי פרסם הוכחה שיש משאיות של מבנה מתמטי בתוך עולם מתמטי שלא היה נגיש עד כה שנקרא מרחב המודולים של הגרפים, שפוגטמן ומשתף פעולה הראשון שתואר באמצע 1980s.

"זו בעיה סופר קשה. זה מדהים שהם הצליחו", אמר דן מרגלית, מתמטיקאי במכון הטכנולוגי של ג'ורג'יה.

ווגטמן ובורינסקי התחילו בשאלות שווגטמן, מתמטיקאית מאוניברסיטת וורוויק, שאלה את עצמה במשך עשרות שנים. לאחר מכן, הזוג דמיין מחדש את הנושא בשפת הפיזיקה, תוך שימוש בטכניקות מתורת השדות הקוונטיים כדי להגיע לתוצאה שלהם.

ההוכחה מוכיחה כי קיימים מבנים מסוימים במרחב המודולים, אך היא אינה חושפת במפורש מהם אותם מבנים. בדרך זו, התוצאה החדשה שלהם דומה יותר לגלאי מתכות מאשר למצלמה - היא מתריעה להם שמשהו מעניין מסתתר, למרות שהם לא יכולים לתאר אותו במלואו.

אתה יכול לחשוב על מרחבי המודולים של גרפים כעל צורות מתמטיות עם עיטור נוסף. אם תעמוד בנקודה כלשהי על הצורה, תראה גרף צף מעליך - אוסף של נקודות, או קודקודים, המחוברים בקצוות. במקומות שונים במרחב מודולי, הגרפים משתנים, הקצוות שלהם מתכווצים או גדלים, ולפעמים נעלמים כליל. בגלל התכונות הללו, בורינסקי, פיזיקאי מתמטי במכון השוויצרי הפדרלי לטכנולוגיה בציריך, מתאר את מרחבי המודולים כ"ים גדול של גרפים".

ה"דרגה" של גרף היא מספר הלולאות שיש לו; עבור כל דרגה של גרפים, קיים רווח מודול. גודל הרווח הזה גדל במהירות - אם תקבע את אורכי הקצוות של הגרף, ישנם שלושה גרפים בדרגה 2, 15 בדרגה 3, 111 בדרגה 4, ו-2,314,204,852 בדרגה 10. במרחב המודולים, אורכים אלה יכולים להשתנות, ולהציג מורכבות עוד יותר.

צורת מרחב המודולים עבור גרפים בדרגה נתונה נקבעת על ידי קשרים בין הגרפים. כשאתה מסתובב בחלל, הגרפים הסמוכים צריכים להיות דומים, וצריכים להשתנות בצורה חלקה זה לזה. אבל היחסים האלה מסובכים, ומשאירים את מרחב המודולים עם תכונות מטרידות מבחינה מתמטית, כגון אזורים שבהם שלוש קירות של מרחב המודולים עוברים זה דרך זה.

מתמטיקאים יכולים ללמוד את המבנה של חלל או צורה באמצעות אובייקטים הנקראים כיתות קוהומולוגיה, שיכולים לעזור לחשוף כיצד חלל מורכב. למשל, שקול את אחת הצורות האהובות על מתמטיקאים, הסופגנייה. על הסופגנייה, שיעורי קוהומולוגיה הם פשוט לולאות.

אפשר לצייר כמה סוגים שונים של לולאות על פני הסופגנייה: לולאה 1 מקיפה את החור המרכזי של הסופגנייה; לולאה 2 חוטים דרך החור; הלולאה ה"טריוויאלית" השלישית יושבת על הצד של הסופגנייה.

עם זאת, לא כל שיעורי הקוהומולוגיה נוצרים שווים. לולאה שיושבת בצד החיצוני של הסופגניה - כמו הלולאה השלישית - יכולה תמיד להחליק או להתכווץ כדי להימנע מהצלבת לולאה אחרת. זה הופך אותו לשיעור קוהומולוגיה "טריוויאלי".

אבל לולאות 1 ו-2 אומרות הרבה יותר על מבנה הסופגניה - הן קיימות רק בגלל החור. כדי להבחין מתמטית בהבדל, אפשר להשתמש בצמתים, הסבירה מרגלית. לולאות 1 ו-2 יכולות להחליק על פני הסופגנייה, אבל אלא אם כן תכריח אותן להתנתק לגמרי מהשטח, הן תמיד יצטלבו אחת את השנייה. מכיוון ששתי הלולאות הללו מגיעות עם שותפים שהם לא יכולים שלא לחצות, הם שיעורי קוהומולוגיה "לא טריוויאליים".

בניגוד לסופגנייה, מתמטיקאים לא יכולים למצוא שיעורי קוהומולוגיה על מרחבי המודולים של גרפים רק על ידי ציור תמונה. עם מספר כה עצום של גרפים, קשה להתמודד עם מרחבי מודולים, אמרה נטלי וואהל, מתמטיקאית מאוניברסיטת קופנהגן. "מהר מאוד, המחשב לא יכול לעזור יותר," היא אמרה. ואכן, רק שיעור קוהומולוגיה לא טריוויאלי בעל מימד מוזר היה מחושב במפורש (ב-11 ממדים), יחד עם קומץ שווים.

מה שפוגטמן ובורינסקי הוכיחו הוא שיש מספר עצום של שיעורי קוהומולוגיה שנמצאים בתוך מרחב המודולים של גרפים בדרגה נתונה - למרות שאיננו יכולים למצוא אותם. "אנחנו יודעים שיש טונות, ואנחנו מכירים אחד", אמר וואהל, וכינה את מצב העניינים "מגוחך".

במקום לעבוד ישירות עם שיעורי קוהומולוגיה, בורינסקי ווגטמן למדו מספר שנקרא מאפיין אוילר. מספר זה מספק סוג של מדידה של מרחב המודולים. אתה יכול לשנות את מרחב המודולים בדרכים מסוימות מבלי לשנות את מאפיין אוילר שלו, מה שהופך את המאפיין אוילר לנגיש יותר משיעורי הקוהומולוגיה עצמם. וזה מה שעשו בורינסקי ווגטמן. במקום לעבוד ישירות עם מרחב המודולים של גרפים, הם חקרו את "עמוד השדרה" - בעצם שלד של המרחב הכולל. לעמוד השדרה אותו מאפיין אוילר כמו לחלל המודולים עצמו וקל יותר לעבוד איתו. חישוב המאפיין אוילר על עמוד השדרה הסתכם בספירת אוסף גדול של זוגות גרפים.

התובנה של בורינסקי הייתה להשתמש בטכניקות לספירת דיאגרמות פיינמן, שהן גרפים המייצגים דרכים שבהן חלקיקים קוונטיים מקיימים אינטראקציה. כשפיזיקאים רוצים לחשב, נניח, את הסיכויים שהתנגשות בין אלקטרון לפוזיטרון תייצר שני פוטונים, הם צריכים סכום על פני כל האינטראקציות האפשריות שמובילים לתוצאה הזו. זה אומר לעשות ממוצע על פני דיאגרמות פיינמן רבות, להניע אסטרטגיות ספירה חכמות.

"הבנתי שאפשר לנסח בעיה מסוג זה כמעין יקום של תורת השדות הקוונטיים של צעצוע", הסביר בורינסקי.

בורינסקי דמיין את הגרפים כמייצגים מערכות פיזיקליות בגרסה פשוטה של ​​היקום, כזו שבה, בין שאר ההנחות, יש רק סוג אחד של חלקיקים. מסגרת תורת השדות הקוונטית הייתה זקוקה להתאמה מסוימת עבור בורינסקי ו-Vogtmann כדי לקבל את הספירה הנכונה. לדוגמה, בתורת השדות הקוונטים, אין להבחין בין שני גרפים שהם תמונות מראה זה של זה, אמר בורינסקי. נוסחאות לחיבור דיאגרמות פיינמן כוללות גורמים המבטיחים שהגרפים הללו לא יספרו יתר על המידה. אבל כשזה מגיע לחישוב מאפיין אוילר, הגרפים האלה נחשבים שונים. "אנחנו צריכים לשחק משחק קטן עם הסימטריות של הגרפים", אמר בורינסקי.

עם קצת עזרה בתכנות מהפיזיקאי ג'וס ורמאסרן, בורינסקי ווגטמן התגברו לבסוף על הקושי הזה. במאמרם בינואר, הם הוכיחו כי אוילר המאפיין את מרחב המודולים של גרפים בדרגה n הופך להיות שלילי מאוד כמו n הולך וגדל. זה מרמז שיש הרבה הרבה שיעורי קוהומולוגיה לא טריוויאליים שיש לחשוף בתוך כל מרחב מודול.

למרות שהמאמר של בורינסקי ו-פוגטמן אינו מכיל רמזים נוספים לגבי שיעורי הקוהומולוגיה הללו, זוהי תוצאה מעודדת עבור חוקרים המבקשים למצוא אותם - ואולי זה מוסיף לריגוש של הציד. אמר מרגלית משיעורי הקוהומולוגיה: "אלה שאנחנו מכירים הם רק אבני החן האלה. ובכל פעם שאנחנו מוצאים אחד, זה הדבר היפה הזה."