הסימטריה שמקלה על פתרון משוואות מתמטיות

תחשוב על המנגינה של "Pop Goes the Weasel". עכשיו שר את המילים האלה:

שלילי b, פלוס או מינוס
השורש הריבועי של b בריבוע
מינוס ארבע a c
את כל! יותר משניים a

הג'ינגל הזה עזר לדורות של תלמידי אלגברה להיזכר בנוסחה הריבועית הפותרת כל משוואה בצורה $latex ax^2+bx+c=0$. הנוסחה שימושית כפי שהיא צפויה להופיע במילון תחת "חרדת מתמטיקה", ומבט מהיר מראה לך מדוע:

$$frac{-bpm sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

עד כמה שזה נראה מאיים, מסתתר בפנים הוא סוד פשוט שמקל על פתרון כל משוואה ריבועית: סימטריה. בואו נסתכל כיצד הסימטריה גורמת לנוסחה הריבועית לעבוד וכיצד חוסר סימטריה הופך את פתרון משוואות מעוקב (מהצורה $latex ax^3+bx^2+cx+d =0$) להרבה, הרבה יותר קשה. כל כך הרבה יותר קשה, למעשה, עד שכמה מתמטיקאים בשנות ה-1500 בילו את חייהם בסכסוכים ציבוריים מרים, כשהם מתחרים לעשות עבור קוביות מה שנעשה בקלות רבה עבור ריבועים.

פתרון משוואות הוא מיומנות ליבה בשיעורי מתמטיקה - זה עוזר לנו למצוא מקסימום רווחים, מרחקים מינימליים, נקודות צומת ועוד הרבה יותר. אחת המשוואות הבסיסיות ביותר שאנו לומדים לפתור היא $latex f(x)=0$. בהינתן פונקציה $latex f(x)$, המשוואה הזו שואלת: מה מכניס x להחזיר פלט של 0? מסיבה זו, פתרונות למשוואה זו נקראים לפעמים "אפסים" או "שורשים" של הפונקציה.

לפני שנמצא את השורשים של כל פונקציה ריבועית, נתחיל באחת פשוטה: מהם השורשים של $latex f(x)=x^2-9$? כדי למצוא אותם, פשוט פתור את המשוואה $latex f(x)=0$.

$latex f(x)=0$
$latex x^2-9=0$
$latex x^2=9$
$latex x=pm3$

קל למצוא שורשים אלה מכיוון שקל לפתור את המשוואה הזו. כל מה שאתה צריך לעשות זה לבודד x. שים לב שאנחנו צריכים את $latex pm$ בשורה האחרונה, כי גם ל-3 וגם ל-3 יש את המאפיין שכאשר אתה ריבוע אותם אתה מקבל 9. בדיקה מהירה ש-$latex f(3)=f(-3)=0 $ מוודא שאלו הן התשומות שהופכות את הפלט של $latex f(x)$ ל-0.

זה $latex pm$ גם מצביע על הסימטריה הטבועה בסיטואציה. לפונקציה הריבועית יש שני שורשים, ואם אתה מדמיין את שני השורשים על קו מספרים, תראה שהם סימטריים בערך $latex x=0$.

וכשאתה זוכר שהגרף של פונקציה ריבועית הוא פרבולה, זה מאוד הגיוני. לכל פרבולה יש ציר סימטריה שמפצל את הפרבולה לשני חלקים של תמונת מראה. במקרה של $latex f(x)=x^2-9$, ציר הסימטריה הוא y-ציר (השורה $latex x=0$). כאשר אתה משרטט את $latex f(x)=x^2-9$ בצורה הרגילה, על ידי טיפול x בתור המשתנה הבלתי תלוי והגדרת $latex y=f(x)$, אתה יכול לראות את השורשים שלו על x-ציר, במרחק שווה משני צידי ה- y-קס.

עבור ריבוע מסובך יותר כמו $latex f(x)=x^2-8x-9$, מציאת השורשים דורשת קצת יותר חפירה.

$latex f(x)=0$
$latex x^2-8x-9=0$
$latex x^2-8x=9$

אנחנו יכולים להגדיר את $latex f(x)$ שווה ל-0 ולהזיז את ה-9 לצד ימין כפי שעשינו קודם, אבל אנחנו לא יכולים לקחת את השורש הריבועי של שני הצדדים כדי לבודד x. המונח האחר הזה עם ה x בו עומדת בדרך. אבל הפונקציה הזו, כמו כל ריבוע, היא סימטרית, ואנחנו יכולים להשתמש בסימטריה הזו כדי לנווט סביב הבעיה. אנחנו רק צריכים אלגברה קטנה כדי להפוך את הסימטריה לשקופה יותר.

נכתוב מחדש את הפונקציה $latex f(x)=x^2-8x-9$ בתור $latex f(x)=x(x-8)-9$. כעת התמקד בחלק $latex x(x-8)$. זה יהיה 0 בשני מצבים - אם x = 0 או אם x = 8 - וזה מבטיח ש-$latex f(0)$ ו-$latex f(8)$ יקחו את אותו ערך של -9. זה נותן לנו שתי נקודות סימטריות על הפרבולה, ומכיוון שציר הסימטריה צריך לפצל את $latex x=0$ ו-$latex x=8$ באמצע, זה חייב להיות הקו $latex x=4$.

כעת, לאחר שמצאנו את הסימטריה, הגיע הזמן למנף אותה. אנחנו נעביר את הפרבולה שלנו ארבע יחידות שמאלה כך שציר הסימטריה שלה ינוע מהקו $latex x=4$ לישר $latex x=0$. יש דרך פשוטה לבצע את התרגום הזה בצורה אלגברית: אנחנו מחליפים כל x עם x + 4.

בואו נקרא ל-$latex g(x)$ הפונקציה הריבועית החדשה שנקבל כשאנחנו מחליפים x עם x+ 4. במילים אחרות, תן $latex g(x)=f(x+4)$. ראה מה קורה כשאנחנו מפשטים את $latex g(x)$:

$latex g(x)=f(x+4)$
$latex g(x)=(x+4)^2-8(x+4)-9$
$latex g(x)=x^2+8x+16-8x-32-9$
$latex g(x)=x^2-25$

לאחר שנחיל את הנכס החלוקתי מספר פעמים ונאסוף תנאים דומים, ה x המונח של הריבוע המתורגם החדש שלנו נעלם, וזה הופך את מציאת השורשים של $latex g(x)$ קל:

$latex g(x)=0$
$latex x^2-25=0$
$latex x^2=25$
$latex x=pm5$

השורשים של $latex g(x)$ הם $latex x=pm5$, אז כדי למצוא את השורשים של $latex f(x)=x^2-8x-9$, אנחנו פשוט מזיזים את השורשים של $latex g( x)$ חזרה ארבע יחידות ימינה. זה נותן לנו את השורשים של $latex f(x)$: $latex 4pm5$, או 9 ו-1, אותם תוכל לאמת על ידי חישוב $latex f(9)=f(-1)=0$.

הסוד לפתרון המשוואה הריבועית המעט קשה יותר זה היה להחליק אותה ולהפוך אותה למשוואה ריבועית קלה יותר על ידי ביטול המפריע x טווח. גישה זו תעבוד על כל פונקציה ריבועית. בהינתן $latex ריבועי שרירותי f(x)=ax^2+bx+c$, אתה תמיד יכול למצוא את ציר הסימטריה שלו עם אותה פיסת פירוק:

$latex f(x)=ax^2+bx+c$
$latex f(x)=x(ax+b)+c$

בצורה זו ניתן לראות ש$latex f(0)=fleft(-frac{b}{a}right)=c$, כלומר ציר הסימטריה נמצא באמצע הדרך בין $latex x=0$ ל-$latex x= -frac{b}{a}$. במילים אחרות, ציר הסימטריה של כל פונקציה ריבועית $latex f(x)=ax^2+bx+c$ הוא הישר $latex x=-frac{b}{2a}$. וזה אמור להיראות מוכר. זה מתחבא בנוסחה הריבועית!

$$ x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

קל יותר לראות אם תכתוב את זה כך:

$$ x=-frac{b}{2a}pmfrac{sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

הנוסחה הריבועית מסתמכת על העובדה שהשורשים של $latex f(x)=ax^2+bx+c$ הריבועי הם סימטריים לגבי $latex x=-frac{b}{2a}$. ובדיוק כפי שעשינו למעלה, אתה יכול להשתמש בסימטריה הזו כדי למצוא אותם: פשוט תרגם את $latex f(x)$ ב-$latex -frac{b}{2a}$. יש לכך השפעה של ביטול x מונח, המאפשר לך לאחר מכן לבודד בקלות x ולפתור. עשה זאת ותקבל את הנוסחה הריבועית. (ראה את התרגילים למטה לפרטים נוספים.) זה לא קל כמו לזמזם מנגינה לילדים, אבל זה מדגים את הקשרים האלגבריים והגיאומטריים החשובים שגורמים לנוסחה הזו לעבוד.

פתרון ריבועים בכוח הסימטריה עשוי להמריץ אותנו לנסות טקטיקה דומה על משוואות מעוקב. אבל בעוד לקוביות יש סימטריה, זה לא מהסוג שעוזר בפתרון משוואות כמו $latex f(x)=0$. לגרפים מעוקבים יש "סימטריה נקודתית", כלומר יש נקודה מיוחדת בגרף של כל פונקציה מעוקבת שבה, אם קו עובר דרך אותה נקודה וחותך את המעוקב בכל מקום אחר, הוא חותך את הגרף שוב באופן סימטרי לגבי אותה נקודה.

זהו סוג חזק של סימטריה, אבל זה לא עוזר במציאת שורשים. הסיבה לכך היא שהשורשים של פונקציה מתרחשים כאשר הגרף שלה חוצה את הקו האופקי $latex y=0$ (ה x-ציר), ובאופן כללי, הצמתים הללו אינם סימטריים לגבי נקודת הסימטריה המיוחדת של המעוקב.

למעשה, לקוביה עשוי להיות רק שורש. אין שם סימטריה.

עם זאת, יש משהו מהעבודה הקודמת שלנו עם ריבועיים שיכול לעזור.

אם יש לנו פונקציה ריבועית $latex f(x)=ax^2+bx+c$ ואנחנו יודעים שהשורשים שלה הם $latex r_1 $ ו-$latex r_2$, אז תמיד נוכל לכתוב $latex f(x)$ ב טופס "מחולק": $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$. עכשיו, כשאנחנו מכפילים את זה ומפשטים, אנחנו מקבלים משהו מאוד שימושי לעבוד איתו.

$latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-xr_2-r_1x+r_1r_2)$
$latex f(x)=a(x^2-(r_1+r_2)x+r_1r_2)$
$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2$

שימו לב כיצד המקדם של ה x מונח כולל את הסכום של שני השורשים $latex r_1$ ו-$latex r_2$. זה קשור לאחת הנוסחאות של Vieta (שאולי ראיתם פעם or פעמים לפני בעמודות אלו): בהינתן פונקציה ריבועית $latex f(x)=ax^2+bx+c$, סכום שני השורשים יהיה תמיד $latex -frac{b}{a}$. אתה יכול להראות זאת על ידי הגדרת הצורה הכללית של הריבוע שווה לצורתו המשולבת $latex ax^2+bx+c=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$ ותראה שהדרך היחידה שבה שני פולינומים יכולים למעשה להיות זהה אם המקדמים התואמים שלהם זהים. במקרה זה, זה אומר את המקדמים של x מונחים משני צדי המשוואה חייבים להיות שווים, כדי שנוכל לכתוב

$latex b=-a(r_1+r_2)$

ואז מחלקים:

$latex r_1+r_2 = -frac{b}{a}$

שימו לב שחלוקת שני הצדדים של המשוואה הזו ב-2 מדגים עובדה מעניינת: הממוצע של שני השורשים של הפונקציה הריבועית שווה ל- x-ערך של ציר הסימטריה:

$$ frac{r_1+r_2}{2} = -frac{b}{2a}$$

זה הגיוני, כי ציר הסימטריה צריך להיות באמצע שני השורשים, והממוצע של שני מספרים הוא המספר בדיוק באמצעם.

אבל שקול את הקשר החדש הזה בהקשר של התרגום הקודם שלנו. תרגום הפרבולה על ידי הזזת ציר הסימטריה מ-$latex x = -frac{b}{2a}$ ל-$latex x=0$ משנה גם את הממוצע של שני השורשים מ-$latex -frac{b}{2a} $ עד 0.

אבל אם הממוצע של השורשים הוא 0, אז סכום השורשים חייב להיות גם 0, וסכום שני השורשים מופיע בצורה המחולקת של הריבוע:

$latex f(x)=ax^2-a(r_1+r_2)+ar_1r_2$

המשמעות היא שתרגום הריבוע כך שסכום השורשים יהפוך ל-0 הופך גם את ה- x מונח להיעלם. זה מה שעזר לנו לפתור את המשוואה הריבועית הקודמת שלנו, ותוצאה דומה לגבי השורשים מתקיימת בפונקציות מעוקבות.

בהינתן $latex מעוקב כללי f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, נוכל לעשות מה שעשינו עם הריבוע. אם לעוקב יש שורשים $latex r_1$, $latex r_2$ ו-$latex r_3$, נוכל לכתוב את הפונקציה המעוקבת בצורתה המשולבת $latex f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)( x-r_3)$ והכפילו אותו. זה נותן לנו $latex f(x)=ax^3-a(r_1+r_2+r_3)x^2+a(r_1r_2+r_1r_3+r_2r_3)x-ar_1r_2r_3$ אשר לאחר מכן קבענו שווה לצורה הכללית $latex f (x)=ax^3+bx^2+cx+d$, ומכיוון שהמקדמים התואמים חייבים להיות זהים, נקבל את הנוסחה של Vieta לסכום השורשים של מעוקב:

$$ r_1+r_2+r_3 = -frac{b}{a}$$

שימו לב שאנחנו יכולים לחלק את שני הצדדים של המשוואה ב-3 כדי לקבל

$$ frac{r_1+r_2+r_3}{3} = -frac{b}{3a}$$

זה אומר לנו שהשורש הממוצע של המעוקב הוא $latex -frac{b}{3a}$. כעת, אם נתרגם את המעוקב בכמות זו, השורש הממוצע יהיה 0, מה שיגרום לסכום השורשים להיות שווה ל-0, מה שבתורו יגרום למקדם $latex x^2$ במעוקב המתורגם שלנו להיעלם.

בקיצור, הטרנספורמציה $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{3a}right)$ מניבה את מה שמכונה מעוקב "מדוכא", מה שפשוט אומר שאין לו מונח $latex x^2$ . המעוקב שהשתנה והמדוכא שלנו ייראה כך:

$latex g(x)=ax^3+mx+n$

המקדמים m ו n ניתן לבטא במונחים של א ב ג, ו d מהקובי המקורי. למה הם שווים פחות חשוב מהעובדה שיש טכניקות מובטחות למציאת השורשים של קוביות מדוכאות. למעשה, טכניקה כזו הייתה בלב מחלוקת אגדית בין ג'רולמו קרדנו לניקולו טרטליה בשנות ה-1500, שכללה ידידות, בגידה ודו-קרב מתמטיקה פומבי. זה סיפור ארוך ומרתק, עם מסקנה מתמטית יוצאת דופן: היכולת להפוך כל מעוקב לעוקב מדוכא, יחד עם היכולת לפתור כל מעוקב מדוכא, מאפשרים לנו לפתור כל משוואה מעוקבת. אתה תסלח לי שהשארתי את שאר הפרטים כי זה פשוט יותר קל להראות לך.

זוהי הנוסחה המעוקבת, שכמו הנוסחה הריבועית, פותרת כל משוואה מעוקבת. אבל בניגוד לנוסחה הריבועית, אין לה מנגינה קליט לשיר איתה. אתה מוזמן לנסות לכתוב אחד, אבל זה כנראה יצטרך כמה פסוקים ופזמון או שניים.

תרגילים

1. אם אתה מכיר שורש אחד של מעוקב, אתה בהחלט יכול למצוא את האחרים. למה?

2. השורשים של ריבוע עשויים להיות מספרים מרוכבים. האם זה לא משפיע על טיעון הסימטריה?

3. בהתחשב בריבוע הכללי $latex f(x)=ax^2+bx+c$, פתור את השינוי הריבועי $latex g(x)=fleft(x-frac{b}{2a}right)$ כדי לגזור את נוסחה ריבועית.

4. מהו הממוצע של השורשים של הפונקציה הקוורטית $latex f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$?

5. השתמש בחשבון כדי להראות שנקודת הפיתול של מעוקב היא גם נקודת הסימטריה שלו.