概要
1977 年 XNUMX 月、革命家 紙 静かに現れた Journal d'Analyse 数学、専門の数学ジャーナル. 著者であるヒレル・ファステンバーグは、スリリングな、あるいは新しい結果さえ主張していません。 彼は単に、別の数学者であるエンドレ・セメレディが XNUMX 年前に証明した定理の証明を提示しただけでした。
それにもかかわらず、ファステンバーグの論文は数学に永続的な痕跡を残しました。 彼の新しい議論には、広範な結果をもたらす洞察の核が含まれていました。セメレディが解いたような整数の集合に関する問題を、空間内を動き回る点に関する問題に言い換えることができます。
それ以来、Furstenberg のテクニックは何度も何度も使用され、少しずつ調整され、改善されてきました。 今年の初めに、それらはスーパーチャージされ、整数のセットの無限パターンを明らかにする 47 つの新しい論文に登場し、現在 XNUMX 歳のセメレディの定理を飛躍的に超えて進歩しています。
ファステンバーグの証明
セメレディは、すべての整数の「正の部分」を含む集合を調べていました。 たとえば、すべての 5 の倍数を含むセットを考えてみましょう。数直線の幅が大きくなるにつれて、5 の倍数は定期的に現れ続けます。 数学者は、すべての 5 の倍数を含む集合は、すべての整数の XNUMX 分の XNUMX の端数を持つと言います。
対照的に、素数は無限に存在しますが、数が大きくなるにつれてそれらは非常にまれになり、すべての素数のセットに整数の正の部分が含まれないか、別の言い方をすれば、正の密度を持ちません。 . 代わりに、素数は密度がゼロであると言われます。
セメレディは、いわゆる算術数列、または等間隔の数の連鎖の例を探していました。 たとえば、{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …} のように、無限の数列があるとします。 完全な正方形は、最初の数項 {1, 25, 49} に隠れている長さ 24 の等差数列を持っています。 この進行の各数値は、前の数値よりも XNUMX 増えています。
セメレディは、整数の正の分数を含む集合には、任意に長い算術級数が含まれている必要があることを証明しました。 その結果は、加算的組合せ論と呼ばれる数学のサブフィールドのランドマークとなりました。
Szémeredi の証明は素晴らしいものでしたが、従うのはほぼ不可能でした。 「今日に至るまで、[セメレディの]証明を本当に理解している人はおそらく XNUMX 人か XNUMX 人しかいないと思います。 テレンス・タオ、カリフォルニア大学ロサンゼルス校の数学者。
したがって、Furstenberg のよりわかりやすい議論は歓迎されました。 それを書くために、Furstenberg は彼自身の分野である力学系の方法に依存していました。 動的システムは、時間とともに変化するプロセスです。 これは、ビリヤード台の周りを転がるビリヤード ボールのような単純なものかもしれません。 必要なのは、システムを数学的に表現する方法と、システムがどのように進化するかのルールだけです。 たとえば、ボールはその位置と速度で表すことができます。 そのシステムは、古典物理学の法則に従って、時間の経過とともに所定の方法で進行します。
ファステンバーグは、エルゴード理論と呼ばれるものに最も興味を持っていました。 任意の時点でのシステムの状態を見るのではなく、エルゴード理論家は長期間にわたって統計を研究します。 ビリヤード ボールの場合、これは、ボールが壁から跳ね返る傾向があるために、ボールが他の場所よりもテーブル上の特定の場所に多く留まるかどうかを判断することを意味します。
ファステンバーグの重要なアイデアは、整数のセットを固定オブジェクトとしてではなく、力学系の瞬間的な状態として見ることでした。 視点の小さな変更のように思えるかもしれませんが、エルゴード理論のツールを使用して組み合わせ論の結果を証明することができました。 当時、ファステンバーグは自分のアイデアが独り立ちするとは思いもしませんでした。 「ただ、私はこの別の証拠が欲しかったのです」と彼は言いました。 しかし、他の人々は、エルゴード理論と組み合わせ論の間のつながりの約束を見ました。 「全世代のエルゴード理論家が、組み合わせ論に突入し、これらすべての問題を解決し始めました。また、その逆もありました」と Tao 氏は述べています。
過去数年間で、XNUMX 人の数学者が — ブリナ・クラ, ジョエル・モレイラ, フロリアン・リヒター & ドナルド・ロバートソン — ファステンバーグの手法を開発して、整数の正の部分を含む任意のセット内で任意に長いプログレッションを見つけるだけでなく、合計セットと呼ばれる構造の無限バージョンを見つけました。
「サムセットはプログレッションよりもはるかに具体的ではありません。 それほど特別に見えるわけではありません」と Robertson 氏は言います。 「しかし、和集合は無限の構成であるのに対し、プログレッションは有限であるため、より興味深く、より繊細です。」
ファステンバーグがエルゴード理論と組み合わせ論の間に架け橋を築いたとすれば、Kra、Moreira、Richter、Robertson はそれを「XNUMX 車線の高速道路」に拡大した、と Tao は述べた。
B + C 推測
セメレディの定理は、1936 年に 2016 人の数学者によって最初に提案されましたが、証明されませんでした。 そのうちの XNUMX 人は、予想を立てることで有名なハンガリーの数学者、パウル・エルデシュでした。 XNUMX 年、モレイラはオハイオ州立大学で博士論文に取り組んでいたときに、偶然見つけました。 エルデシュが行った別の推測 sumset と呼ばれる構造について。
sumset は、他の XNUMX つのセットから作成されます。 それらに電話する B & C. 次のように書かれた総和 B + C, から XNUMX つの数値を取得して、考えられるすべての数値のペアを加算することによって構築されます。 B と他から C. Erdős は、任意の集合について次のように推測しました。 A 整数の正の部分を含む場合、他の無限集合が存在します B & C 合計が含まれている A. モレイラが読んでいた論文で、著者は A が整数の大部分を含むときのエルデシュの予想を証明していました。 しかし、より小さな正の密度セットの場合、結果はまだ不明でした。 「声明を読んですぐに、それは本当に良い質問だと思いました。なぜなら、それはとても単純だからです」とモレイラは言いました。 「それは間違っているか、難しいことではないかのどちらかです。 もちろん、これは間違っていました。 それは嘘でも簡単でもありませんでした。」
モレイラは、大学院時代の友人であるリヒターとロバートソンをプロジェクトに連れてきました。 現在マンチェスター大学に在籍しているロバートソンは、モレイラよりも XNUMX 年前に卒業し、リヒターは数年遅れていました。 XNUMX 人とも、組み合わせ論にエルゴード理論の手法を適用することに精通していました。 しかし、この問題は新たな課題をもたらしました。
「正の密度のセット内で無限の合計セットを見つける前例は事実上ありませんでした」と彼は言いました。 ダニエル・グラスコック、マサチューセッツ大学ローウェル校の数学者で、モレイラ、リヒター、ロバートソンと共に大学院に通いました。
おそらくそのため、和集合の問題を囲い込むのは困難であることが判明しました。 「私たちは、エルゴード理論を実現するために、少し強制する必要があります」とモレイラは言いました。 彼らの努力は最終的に報われました。 マルシン・サボク マギル大学の博士らは「驚くべき業績」と称し、2018 年にエルデシュ予想の証明に成功しました。 に発表され 数学の年報、数学の最も権威のあるジャーナルの XNUMX つです。
新しい証明
その論文には、XNUMX つの大きな疑問が残されていました。 これらのうちの XNUMX つは、 B + B + t 推測。
Moreira、Richter、Robertson も独自の問題を考え出しました。 A、XNUMX つの無限集合を見つけることができますか — B, C そしていま D- コラボレー B + C + D 内側にあります A? XNUMXつの無限集合はどうですか？ 五？
彼らがマルチセットのバージョンを提示した後、数学者はしばらく行き詰まりました。 ツーセット予想の手法は限界に達したようだ。
「この問題の動的再定式化を見つけることができませんでした」とリヒターは言いました。 彼らのアプローチは、「まさに最初に失敗した」と彼は言いました。
彼らが真の進歩を遂げるまでにXNUMX年かかりました。 この時までに、リヒターはノースウェスタン大学の博士研究員でした。 ブリナ・クラ 教授でした。 2020年、Covid-19のパンデミックにより直接会うことができなくなったKraとRichterは、Zoomを介してサムセットの問題について話し合っていることに気づきました.
「最終的に、私たちは理解できる他のいくつかのバリエーションを思いつきました」と Kra は言いました。
Kra と Richter は、毎週 Moreira と Robertson と話し始め、2018 年の証明を再検討しました。
「私たちがしなければならなかったのは、力学系への変換から始めて、証明のすべてのステップを再考することでした」と Kra 氏は述べています。
彼らの大義に役立ったのは2019年でした 紙 というフランスの数学者によって バーナード・ホスト. ホストは、モレイラ、リヒター、ロバートソンの結果を再証明し、エルゴード理論を歌わせる方法を見つけました。 モレイラの意見では、ホストは「私たちの証明を、書かれるべき方法で書く方法を見た」。
Host の改善を手にした後、Kra、Moreira、Richter、Robertson は証明を微調整し続け、可能な限り単純で最も洗練された議論を抽出しようとしました。 「問題の核心はどこにあるのかを実際に確認するために、何度も何度も分析していたと思います。」 リヒターは言った。 「最終的に、最初の証明とほとんど似ていない証明が得られました。」
彼らが最終的に得た証明は、Furstenberg の証明のように、整数の無限集合を力学系のタイム スタンプと見なしていました。 ただし、この動的システムは、点が空間内を飛び回るように想像する方が適切です。
これがどのように機能するかの大まかな図です: 閉じた部屋の 0 つの隅に立ち、それをコーナー XNUMX と呼びます。 A. そのセット、 A、整数の正密度集合です。
部屋の中を移動するためのルールも備えています。 毎秒、立っていた場所に基づいて、新しい場所に移動します。 あなたが従う正確なルールは、時間のセットに合わせて設計されます A — タイムスタンプが入っているときはいつでも A、部屋の特別なエリアにいることに気付くでしょう。
たとえば、 A 4 で割り切れるすべての数字で構成され、1 秒ごとに時計回りに部屋の次の隅に移動します。 2 秒後、コーナー XNUMX に移動します。 XNUMX 秒後、コーナー XNUMX など。 次に、XNUMX つのステップごとに — つまり、それが入っているたびに NS - 元のコーナー 0 に戻ります。
このプロセスは永遠に続きます。 時計回りにコーナーからコーナーへと移動し、各コーナーを無限に何度も訪れます。 無限に近づく点を集積点と呼びます。
Kra、Moreira、Richter、Robertson は、これらのスポットの XNUMX つを賢く選択して和集合を見つけることができることを証明しました。 B + C. コーナーの例では、コーナー 1 を取り上げます。1、5、9、13 の時間にそこに到着します。時間は 4 のように見えます。n + 1 (整数の場合) n。 レッツ B それらの時間のセットになります。
ここで、コーナー 0 から始めるのではなく、コーナー 1 から始めると想像してください。これは、4 で割り切れる時間に、コーナー 1 に戻ってきて、0 ステップ後にコーナー 3 に到達することを意味します。 7、11、4、または XNUMX の形式の任意の数n + 3.それらの時間のセットを呼び出します C.
ここで、もう一度コーナー 0 からプロセスを開始します。 今回は、 B からの番号 C — たとえば、13 から B と3から C- そしてそれらを合計します。
これには 13 + 3 = 16 秒かかります。 16 は 4 の倍数なので、 A. しかし、13 + 3 が 4 で割り切れることも予測できます。 A、実際には 13 と 3 を一緒に追加しません。 13 + 3 秒待ったときに動的システムで何が起こるかに従ってください。まず、13 秒が経過します。 その時点で、あなたはコーナー 1 にいることに気付きます。次に、コーナー 1 から始めて、さらに 0 ステップ移動して、コーナー 0 に戻ります。コーナー XNUMX から開始し、コーナー XNUMX に戻ったので、 XNUMX 秒の倍数。つまり、合計時間は元のセットの数値でした。 A.
この議論を機能させるために、グループは多くの厄介な数学的詳細に対処しなければなりませんでした。 たとえば、ほとんどの場合、XNUMX つのコーナーだけでなく、無限の数のスポットに移動できます。 つまり、実際には無限に何度もその場所に戻ることはありません。 無限に何度も近づくだけです。 それは議論に新たな数学的複雑さをもたらしました。 しかし、プロセスがどのように機能するかを理解すると、彼らが求めていたより難しい問題に取り組むことができることがわかりました.
「私たちはここでこの証明を思いつきました。それを一般化する方法はすぐに明らかになりました」と、現在スイス連邦工科大学ローザンヌ校にいるリヒターは言いました。 たとえば、予想のマルチセットバージョンを証明するために、研究者はパスに蓄積ポイントを追加するだけで済みます. 全体的な議論は同じでしたが、新しい複雑なレイヤーが追加されました.
すべての技術的なことを打ち出すことは容易ではありませんでした。 彼らが動的なセットアップに落ち着いた後、Kra、Moreira、Richter、Robertson は、より困難な予想の証明を解決するのに XNUMX 年以上かかりました。 今年の XNUMX 月、グループはついに XNUMX つの論文を投稿しました。 一つ証明された sumset予想のマルチセットバージョン。 他の 証明した B + B + t XNUMX 番目のセットを必要とする予想のバージョン C 最初のセットに等しい B、ある定数だけシフトされ、 t.
次のステップ
XNUMX 月の論文は sumset に関する XNUMX つの疑問を解決しましたが、Kra、Moreira、Richter、Robertson は、彼らの研究の長い未来を思い描いています。 「エルデシュが求めたすべてのことと同様に、彼は私たちにドアに足を踏み入れることを望んでいるだけです」と、現在ウォリック大学にいるモレイラは言いました。 「しかし今、私たちはドアを開けて、他に何があるかを探る必要があります。」
彼らの新しい論文では、XNUMX人の数学者は、まだ答えられていない質問の形で、いくつかの可能性のある探求の方向性を示しています. 任意の正の密度セットにもかかわらず、 A 無限総和を含む B + C、必ずしもXNUMXつのコンポーネントが含まれているわけではありません B & C. いつそれを主張できますか B & C 内部にも含まれている必要があります A? 著者はまた、和集合が A.
この分野でのもう XNUMX つの未解決の問題は、マギル大学のサボクの大学院生であるマット ボーエンによって既に回答されています。 彼はXNUMX月、 掲示 各整数にいくつかの色のいずれかを割り当てると、和集合を見つけることができるという証明 B+C と集合の積 BC XNUMX つの色の中でのみ。
Kra、Moreira、Richter、Robertson の新作がどこにつながるかはまだ不明です。 しかし、少なくともタオは、グループが開発した新しい技術について楽観的です. 彼らが彼らの方法で達成したことは、「実際には非常に驚くべきことです」と彼は言いました. 「以前は絶望的であると考えられていた無限集合を含む他の問題が、今では手の届くところにあります。」
