概要
今年の初め、XNUMX 人の数学者がレモンをレモネードにすることに決め、最終的には 主要な前進 数学者が何世紀にもわたって考えてきた問題について。
XNUMX 人がプロジェクトを終え、次のステップについて考えていたところ、XNUMX 月の終わりに XNUMX 人が — レベント・アルポージ ハーバード大学と アリ・シュニドマン エルサレムのヘブライ大学の - Covid-19 に別々に、しかしほぼ同時に感染した。 そんな中で休む人も多いだろうが、XNUMX人目の隊員は、 マンジュル・バルガヴァ プリンストン大学の博士は反対の提案をした。 彼は、毎週の Zoom ミーティングを週に XNUMX ～ XNUMX 回に増やすことで、病んでいる協力者の気をそらすことができるかもしれないと示唆しました。 XNUMX人が決定した検疫は、邪魔されずに考える機会になる可能性があります.
これらのミーティングで、彼らは数論における最も古い問題の 6 つを検討しました: 17 つの分数の 21 乗の和、または数学者が有理数と呼ぶ整数として、いくつの整数を書くことができるでしょうか? たとえば、数字の XNUMX は (XNUMX/XNUMX) と書くことができます。3 +（37/21）3、一方 13 = (7/3)3+(2/3)3.
数学者は何十年もの間、すべての整数の半分がこのように書けると考えてきました。 奇数と偶数の場合と同様に、このプロパティは、整数を XNUMX つの等しい陣営 (XNUMX つの立方体の和である陣営とそうでない陣営) に分割するように見えます。
しかし、誰もこれを証明することはできませんでしたし、各陣営に分類される整数の割合に限界を与えることさえできませんでした. 数学者が知っている限りでは、有理数の立方体の和で構成される陣営は、無視できるほど小さいか、ほぼすべての整数を含んでいる可能性があります。 数学者 計算した Birch と Swinnerton-Dyer の予想と呼ばれるものが正しいとすれば (広く信じられているように)、59 万までの数の約 10% は XNUMX つの有理数の立方体の和です。 しかし、そのようなデータは、せいぜい、数直線の残りの部分がどのように振る舞うかについてのヒントを提供することができます.
奇数と偶数とは異なり、「この XNUMX つの陣営は微妙です」と、 バリー・メイザー ハーバードの。 どの数値がどの陣営に属しているかを判断するためのテストはありません。 数学者は有力な候補となるテストを考え出しましたが、今のところそれぞれにいくつかの欠点があります。数学者は、テストが常に結論に達することを証明できないか、結論が正しいことを証明できません。
立方体の和、およびより一般的な XNUMX 次方程式を理解することの難しさは、「数論者にとって繰り返し困惑することでした」と Bhargava 氏は述べています。 彼 フィールズ賞を受賞 2014年に一部 合理的な解決策に関する彼の研究 楕円曲線として知られる XNUMX 次方程式に、XNUMX つの立方体の合計は特殊なケースです。
今、中 紙 2 月下旬にオンラインで投稿された Alpöge、Bhargava、および Shnidman は、整数の少なくとも 21/9.5 (約 5%)、最大で 6/83 (約 XNUMX%) が XNUMX つの分数の XNUMX 乗の和として記述できることを示しました。
立方体の合計の問題は単なる好奇心ではありません。 楕円曲線は非常に複雑な構造をしており、純粋数学と応用数学の両方の多くの分野の中心にそれらを推進しており、特に暗号学者が強力な暗号を構築することを可能にしています。 この分野の中心的な問題である Birch と Swinnerton-Dyer の予想には、クレイ数学研究所のミレニアム賞問題の 1 つとして、XNUMX 万ドルの懸賞金がかけられています。
新しい作業は、Bhargava が協力者とともに過去 20 年にわたって開発してきた一連のツールに基づいて構築されています。 家族全員を探索する 楕円曲線の。 XNUMX つの立方体の合計を理解することは、はるかに小さな家族を分析することを意味し、「家族が小さければ小さいほど、問題は難しくなります」と述べています。 ピーターサルナック プリンストンの高等研究所の。
この特定の家族は「手の届かないところにある」ように見えた、とサーナックは付け加えた. 「『それは難しすぎる、難しすぎる』と言っていただろう」
相転移
数の多い分数の 1600 乗の和とは対照的に、3 つの分数の 4 乗の和である整数はほとんどありません。 490 年代初頭までに、数学者の Albert Girard と Pierre de Fermat は、どの整数が 2 つの二乗和であるかを判断するための簡単なテストを考え出しました: 数を素数に因数分解し、残りが XNUMX になる各素数の指数を調べます。これらの指数がすべて偶数の場合、あなたの数は XNUMX つの分数の XNUMX 乗の合計になります。 そうでなければ、そうではありません。 たとえば、XNUMX は XNUMX に因数分解します。1 ×51 ×72. これらの因数のうち、3 で割ったときに余りが 4 になるのは 7 だけであり、7 の指数は偶数です。 したがって、490 は 7 つの平方の和です (好奇心旺盛な人にとっては、XNUMX に等しいです)。2 + 212).
数値の大部分は、偶数指数テストに失敗します。 無作為に整数を選んだ場合、それが XNUMX つの分数の XNUMX 乗の和である確率は基本的にゼロです。 数学者は、XNUMX つの分数の合計を XNUMX 乗、XNUMX 乗、または XNUMX より大きい任意の累乗にした場合も同じことが当てはまると考えています。 突然豊富になるのは、立方体の合計だけです。
数学者は、他のすべての累乗の方程式とは異なる動作をする 1 次方程式に慣れています。 2 つの変数で構成される方程式 (4 立方体の和の方程式など) の中で、最大指数が XNUMX または XNUMX である方程式は、よく理解される傾向があります。通常、これらの方程式には有理解がないか、無限に多くあり、一般的には単純です。どちらを教えてください。 一方、最高指数が XNUMX 以上の方程式は一般に 有限の散水のみ 合理的な解決策の。
対照的に、3 次方程式は有限の数の解を持つことができ、無限の数の解を持つことも、まったく解を持たないこともできます。 これらの方程式は、XNUMX 未満の指数と XNUMX を超える指数の間の一種の相転移を表し、これらの他の設定では決して見られない現象を示しています。 「キューブはあらゆる点で異なります」と Mazur 氏は言います。
指数が小さい方程式とは異なり、立方体を理解するのは驚くほど困難です。 常に機能することが証明されている立方体の合理的な解を見つけたり、数えたりするための包括的な方法はありません。
「私たちが持っているすべての計算能力を持っていても、非常に大きな係数を持つ楕円曲線を与えられたとしても、それがいくつの合理的な解を持っているかは必ずしもわかりません. ウェイ・ホー、バルガヴァの元学生である 現在客員教授 高等研究所で。
2,803 立方体の合計問題では、関係する分数が膨大になる可能性があります。たとえば、40 という数値は、分母がそれぞれ XNUMX 桁の XNUMX つの分数の XNUMX 乗の合計です。 そして、数百万の数を見ると、分数の多くは「この世界のすべての紙に収まるよりも多くの桁を含むだろう」.
行列のマッピング
楕円曲線は非常に制御できないため、数論者は楕円曲線をより扱いやすいオブジェクトにリンクする方法を探しています。 この 2 月、Alpöge と Shnidman が Covid と戦っている間、彼らと Bhargava は、後者が以前に Ho で行った作業に基づいて構築し、立方体の和の方程式に有理解がある場合は常に、少なくとも 2 つの特別な 2 を構築する方法があることを発見しました。 × 2 × 2 × 2 行列 — よく知られている 2 次元行列の 2 次元類似物です。 「私たちは、これらの XNUMX × XNUMX × XNUMX × XNUMX 行列を数える計画を立て始めました」と XNUMX 人は書いています。
そのために、チームはそれぞれ 20 世紀以上にわたって研究されてきた XNUMX つの古典的な主題を利用しました。 XNUMXつは「数の幾何学」で、さまざまな幾何学的形状内の格子点をどのように数えるかに関するものです。 このトピックは、主に Bhargava と共同研究者の功績により、過去 XNUMX 年間、楕円曲線の分野でルネッサンスを享受してきました。
円法として知られるもう 20 つの手法は、伝説的なインドの数学者 Srinivasa Ramanujan と彼の長年の共同研究者である GH Hardy の XNUMX 世紀初頭の研究に端を発しています。 「これは、円法をこれらの数の幾何学的手法と組み合わせた最初の主要なアプリケーションです」と Ho 氏は述べています。 「その部分はとてもクールです。」
これらの方法を使用して、トリオは、すべての整数の少なくとも 1/6 に対して、2 × 2 × 2 × 2 行列が存在しないことを示すことができました。 つまり、これらの数値では、立方体の和の方程式には有理解がありません。 したがって、5 つの分数の 6 乗の合計は、整数の 83/XNUMX、つまり約 XNUMX% を超えることはありません。
逆方向では、すべての整数の少なくとも 5/12 が正確に XNUMX つの一致行列を持つことがわかりました。 これらの数値が XNUMX つの立方体の合計であると結論付けたくなるかもしれませんが、それは自動的には成り立ちません。 XNUMX つの立方体の合計であるすべての数値には行列がありますが、必ずしもその逆が真であることを意味するわけではありません。つまり、行列を持つすべての数値が XNUMX つの立方体の合計です。
Alpöge、Bhargava、Shnidman は、楕円曲線の研究者が逆定理と呼ぶもの、つまり、XNUMX 次方程式に関する情報を取得し、それを使用して有理解を構築するものを必要としていました。 逆定理は、楕円曲線理論の繁栄するサブフィールドを形成するため、トリオはサブフィールドの専門家の XNUMX 人に頼りました — アシェイ・ブルンゲール テキサス大学オースティン校とプリンストン校。 Burungale と Skinner は、少なくとも時々、整数に XNUMX つの関連行列がある場合、その数は XNUMX つの有理数立方体の和でなければならないことを示すことができました。 彼らの定理は、バーチ予想とスウィナートン・ダイアー予想の関連部分を本質的に証明するもので、この論文には XNUMX ページの付録として掲載されており、サーナックはそれ自体が素晴らしいと述べています。
Burungale と Skinner は、正確に 5 つの行列を使用してすべての整数の定理を証明したわけではありません。彼らは、12/2 サブセットをすべての整数の 21/9.5、つまり約 5% に削減する技術的条件を課す必要がありました。 しかし、Bhargava は、Burungale と Skinner、またはその分野の他の研究者が、12/41 の残りの部分 (全体で約 XNUMX%) に到達するのにそう遠くないだろうと楽観的です。 「彼らのテクニックは着実に強くなっています」とバルガヴァは言いました。
すべての整数の正確に半分が XNUMX つの立方体の合計であるという完全な予想を証明するには、最終的には、複数の行列が関連付けられている数値のセットに取り組む必要があります。 Bhargava が「非常にかすんでいる」と呼ぶこのセットには、XNUMX つの立方体の合計である数値とそうでない数値の両方が含まれています。 そのような数を処理するには、まったく新しいアイデアが必要になると彼は言いました。
今のところ、研究者たちは最終的に整数のかなりの割合の問題を解決できたことに満足しており、証明の手法をさらに詳しく調べたいと考えています. 「これは素晴らしいことの XNUMX つです。結果は非常に簡単に説明できますが、ツールは非常に数論の最先端にあるものです」と Sarnak 氏は述べています。
